2019高考數(shù)學二輪復習 專題四 概率與統(tǒng)計 第2講 概率、隨機變量及其分布列課件.ppt

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1、第2講概率、隨機變量及其分布列,高考定位1.計數(shù)原理、古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題,中低檔難度;2.概率模型多考查獨立重復試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等;對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”,多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn),??疾楠毩⑹录母怕剩瑤缀畏植己投椃植嫉钠谕?,1.(2018全國卷)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30723.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是(),答案C,真題感悟,2.(2018全國卷)如圖來自古希

2、臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為,黑色部分記為,其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點,此點取自,,的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1p2B.p1p3C.p2p3D.p1p2p3,答案A,3.(2018全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

3、為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0;(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.()若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X);()以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?,令f(p)0,得p0.1.當p(0,0.1)時,f(p)0,f(p)單調(diào)遞增;當p(0.1,1)時,f(p)400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.,1

4、.概率模型公式及相關結(jié)論,考點整合,3.超幾何分布,4.離散型隨機變量的均值、方差(1)離散型隨機變量的分布列為,離散型隨機變量的分布列具有兩個性質(zhì):pi0;p1p2pipn1(i1,2,3,,n).,(2)E()x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量的數(shù)學期望或均值.D()(x1E())2p1(x2E())2p2(xiE())2pi(xnE())2pn叫做隨機變量的方差.(3)數(shù)學期望、方差的性質(zhì).E(ab)aE()b,D(ab)a2D().XB(n,p),則E(X)np,D(X)np(1p).X服從兩點分布,則E(X)p,D(X)p(1p).,熱點一古典概型與幾何概型【例1】(1)(2

5、018太原二模)某商場舉行有獎促銷活動,抽獎規(guī)則如下:箱子中有編號為1,2,3,4,5的五個形狀、大小完全相同的小球,從中任取兩球,若摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù),則中獎;否則不中獎.則中獎的概率為(),探究提高1.求古典概型的概率,關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到排列、組合的有關知識,計數(shù)時要正確分類,做到不重不漏.2.計算幾何概型的概率,構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關鍵,有時需要設出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域.,解析(1)如圖所示,畫出時間軸:,答案(1)B(2)C,熱點二互斥事件、相互獨立事件的概率考法1互斥條件、條件概率【例21】

6、(2016全國卷選編)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:,設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下:,(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率.解(1)設A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”,則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)設B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”,則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)0.100.0

7、50.15.,考法2相互獨立事件與獨立重復試驗的概率【例22】(2018衡水中學調(diào)研)多家央企為了配合國家戰(zhàn)略支持雄安新區(qū)建設,紛紛申請在新區(qū)建立分公司.若規(guī)定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個片區(qū)中的一個片區(qū)設立分公司,且申請其中任一個片區(qū)設立分公司都是等可能的,每家央企選擇哪個片區(qū)相互之間互不影響且必須在其中一個片區(qū)建立分公司.向雄安新區(qū)申請建立分公司的任意4家央企中,(1)求恰有2家央企申請在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率;(2)用X表示這4家央企中在“雄縣”片區(qū)建立分公司的個數(shù),用Y表示在“容城”或“安新”片區(qū)建立分公司的個數(shù),記|XY|,求的分布列.,隨機變量的所有可能取值為0,2,4

8、.,所以隨機變量的分布列為,【訓練2】(2018天津卷)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望;設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.,解(1)由題意得,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應從甲、乙、丙三個部

9、門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.,所以,隨機變量X的分布列為,設事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則ABC,且B與C互斥.由知,P(B)P(X2),P(C)P(X1),,熱點三隨機變量的分布列、均值與方差考法1超幾何分布【例31】(2018西安調(diào)研)4月23日是“世界讀書日”,某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解高三學生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個小組中隨機抽取10名學生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)

10、計如下:,(1)從參加問卷調(diào)查的10名學生中隨機抽取兩名,求這兩名學生來自同一個小組的概率;(2)在參加問卷調(diào)查的10名學生中,從來自甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取兩名,用X表示抽得甲組學生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.,解(1)由已知得,問卷調(diào)查中,從四個小組中抽取的人數(shù)分別為3,4,2,1,,(2)由(1)知,在參加問卷調(diào)查的10名學生中,來自甲、丙兩小組的學生人數(shù)分別為3,2.X的可能取值為0,1,2.,則隨機變量X的分布列為,【訓練3】在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理

11、暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X).,解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,,(2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則,因此X的分布列為,考法2與獨立重復試驗有關的分布列【例32】(2018濰坊一模)某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線

12、正常工作,需對該生產(chǎn)線進行檢測.現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)14,標準差2,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.以頻率值作為概率估計值.,(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為X,依據(jù)以下不等式評判(P表示對應事件的概率):P(

13、.,解(1)由題意知,14,2,由頻率分布直方圖得P(0.6826,P(2

14、00度的戶數(shù)為X,求X的數(shù)學期望;(2)已知該縣某山區(qū)自然村有居民300戶.若計劃在該村安裝總裝機容量為300千瓦的光伏發(fā)電機組,該機組所發(fā)電量除保證該村正常用電外,剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價格進行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機容量的發(fā)電機組年平均發(fā)電1000度,試估計該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接收益多少元.,則該自然村年均用電約150000度.又該村所裝發(fā)電機組年預計發(fā)電量為300000度,故該機組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能剩余電量約150000度,能為該村創(chuàng)造直接收益120000元.,22列聯(lián)表:,(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機支付

15、”和“不使用手機支付”抽取一個容量為10的樣本,再從中隨機抽取3人,求這三人中“使用手機支付”的人數(shù)的分布列及期望.,則使用手機支付的人群中的中老年的人數(shù)為1208436人,所以22列聯(lián)表為,17.7347.879,P(K27.879)0.005,故有99.5%的把握認為“市場購物用手機支付與年齡有關”.(2)根據(jù)分層抽樣原理,從這200名顧客中抽取10人,,“不使用手機支付”的人數(shù)為4.設隨機抽取的3人中“使用手機支付”的人數(shù)為隨機變量X.則X0,1,2,3.,所求隨機變量X的概率分布為,探究提高1.本題考查統(tǒng)計與概率的綜合應用,意在考查考生的識圖能力和數(shù)據(jù)處理能力.此類問題多涉及相互獨立事

16、件、互斥事件的概率,在求解時,要明確基本事件的構(gòu)成.2.聯(lián)系高中生使用手機這一生活現(xiàn)象,利用數(shù)學中列聯(lián)表、獨立性檢驗,予以研究二者的相關性,考查了相互獨立事件同時發(fā)生、分布列.題目主旨,引導學生正確對待使用手機,切勿玩物喪志,并倡導互幫互助的學習風氣.,【訓練5】(2018哈爾濱二模)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級,等級系數(shù)X依次為1,2,,8,其中X5為標準A,X3為標準B.已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為6元/件;乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為4元/件,假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準.(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示:,且X1的數(shù)學期望

17、E(X1)6,求a,b的值;,(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件,相應的等級系數(shù)組成一個樣本,數(shù)據(jù)如下:用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望;(3)在(1)、(2)的條件下,若以“性價比”為判斷標準,則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.,解(1)因為E(X1)6,所以50.46a7b80.16,即6a7b3.2,又由X1的概率分布列得0.4ab0.11,即ab0.5,,(2)由已知得,樣本的頻率分布表如下:,用這個樣本的頻率分布估計總體分布,將頻率視為概率,可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下:,所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8,即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性,理由如下:,所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.,2.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計算公式為P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗中,兩個事件不會同時發(fā)生,計算公式為P(AB)P(A)P(B).,

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