2020版高考數學一輪復習 第三章 第二節(jié) 導數與函數的單調性課件 文.ppt

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1、第二節(jié)導數與函數的單調性,函數的導數與單調性的關系,教材研讀,考點一 利用導數解決不含參數的函數的單調性的問題,考點二 利用導數解決含參數的函數的單調性的問題,考點三 利用導數解決函數單調性的應用問題,考點突破,教材研讀,函數的導數與單調性的關系 函數y=f(x)在某個區(qū)間內可導, (1)若f (x)0,則f(x)在這個區(qū)間內單調遞增; (2)若f (x)<0,則f(x)在這個區(qū)間內單調遞減; (3)若f (x)=0,則f(x)在這個區(qū)間內是常數函數.,提醒由f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增(減)可得f (x)0(0)在該區(qū)間內恒成立,而不是f (x)0(<0)恒成立,“=”不能少,必要時還

2、需對“=”進行 檢驗.,知識拓展 用充分、必要條件詮釋導數與函數單調性的關系 (1)f (x)0(<0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增(減)的充分不必要條件. (2)f (x)0(0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增(減)的必要不充分條件. (3)若f (x)在區(qū)間(a,b)的任意子區(qū)間內都不恒等于零,則f (x)0(0)是 f(x)在區(qū)間(a,b)內單調遞增(減)的充要條件.,1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)若函數f(x)在(a,b)內單調遞增,則一定有f (x)0.( ) (2)若函數f(x)在某個區(qū)間內恒有f (x)=0,則f(x)在此區(qū)間內沒有單調性.( )

3、 (3)在(a,b)內f (x)0,且f (x)=0的根有有限個,則f(x)在(a,b)內是減函數.( ),答案(1)(2)(3),,,,2.函數y=f(x)的導函數y=f (x)的圖象如圖所示,則下面判斷正確的是 () A.在區(qū)間(-3,1)上f(x)是增函數 B.在區(qū)間(1,3)上f(x)是減函數 C.在區(qū)間(4,5)上f(x)是增函數 D.在區(qū)間(3,5)上f(x)是增函數,答案C由圖象可知,當x(4,5)時, f (x)0,故f(x)在(4,5)上是增函數.,C,3.函數f(x)=cos x-x在(0,)上的單調性是() A.先增后減B.先減后增 C.單調遞增D.單調遞減,答案

4、D在(0,)上, f (x)=-sin x-1<0,f(x)在(0,)上單調遞減,故選D.,D,4.函數f(x)=(x-3)ex的單調遞增區(qū)間是() A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+),答案D由f(x)=(x-3)ex,得f (x)=(x-2)ex, 令f (x)0,得x2,故f(x)的單調遞增區(qū)間是(2,+).,D,5.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函數,則a的最大值是.,答案3,解析f (x)=3x2-a,由題意知f (x)0在1,+)上恒成立,即a3x2在1, +)上恒成立,又x1,+)時,3x23,a3,即a的最大值是3.,利用導數解決不含參數的函數的單

5、調性的問題,考點突破,典例1(2019河北唐山質檢)求函數f(x)=ln x-x2+x-的單調區(qū)間.,解析因為f(x)=ln x-x2+x-, 且定義域為(0,+), 所以f (x)=-x+1=-. 令f (x)=0,得x1=,x2=(舍去).,當x 時, f (x)0; 當x 時, f (x)<0, 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為, 單調遞減區(qū)間為.,方法技巧 確定函數單調區(qū)間的步驟 (1)確定函數y=f(x)的定義域; (2)求f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間; (4)解不等式f (x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間.,提醒(1)

6、求函數的單調區(qū)間時,一定要先確定函數的定義域,否則極易出錯.如本例易忽視定義域為(0,+)而導致解題錯誤. (2)個別導數為0的點不影響函數在該區(qū)間上的單調性,如函數f(x)=x3, f (x)=3x20(x=0時, f (x)=0),但f(x)=x3在R上是增函數.,1-1已知函數f(x)=xln x,則f(x)() A.在(0,+)上單調遞增B.在(0,+)上單調遞減 C.在上單調遞增D.在上單調遞減,D,答案D因為函數f(x)=xln x, 所以f (x)=ln x+1(x0), 令f (x)0,解得x, 即函數的單調遞增區(qū)間為; 令f (x)<0,解得0

7、,故選D.,1-2已知定義在區(qū)間(-,)上的函數f(x)=xsin x+cos x,則f(x)的單調遞增區(qū)間是.,答案和,解析f (x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 令f (x)=xcos x0, 則其在區(qū)間(-,)上的解集為和, 即f(x)的單調遞增區(qū)間為和.,利用導數解決含參數的函數的單調性的問題,典例2設f(x)=ex(ax2+x+1)(a0),試討論f(x)的單調性.,解析f (x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1) =exax2+(2a+1)x+2 =ex(ax+1)(x+2)=aex(x+2). 當a=時, f (x)=ex(x+2)20恒成立,

8、 函數f(x)在R上單調遞增;當02,,令f (x)=aex(x+2)0, 得x-2或x<-, 令f (x)=aex(x+2)<0, 得-

9、a-1)ln x+ax2+1的單調性.,解析f(x)的定義域為(0,+), f (x)=+2ax=. 當a1時, f (x)0,故f(x)在(0,+)上單調遞增; 當a0時, f (x)0,故f(x)在上單調遞減,在上 單調遞增.,利用導數解決函數單調性的應用問題 命題方向一比較大小或解不等式,典例3(1)若0ln x2-ln x1B.-x1D.x20時,有0的解集是.,C,答案(1)C(2)(-,-2)(0,2),解析(1)令f(x)=,則f (x)==.當0 x1,故選C. (2)令(x)=,當x0時,(x)0,即f(x)0,,在(2,+)內恒有(x)0,在(-2,0)內恒有f(x)0的解

10、集, 即f(x)0的解集, x2f(x)0的解集為(-,-2)(0,2).,命題方向二已知函數的單調性求參數 典例4已知函數f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a0. (1)若函數h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區(qū)間,求a的取值范圍; (2)若函數h(x)=f(x)-g(x)在1,4上單調遞減,求a的取值范圍.,解析(1)h(x)=ln x-ax2-2x,x(0,+), 所以h(x)=-ax-2. 因為h(x)在(0,+)上存在單調遞減區(qū)間, 所以當x(0,+)時,-ax-2-有解. 令G(x)=-, 所以只要aG(x)min即可.,而G(x)=-1, 所以G(x)min=-1

11、, 所以a-1且a0. (2)因為h(x)在1,4上單調遞減, 所以當x1,4時,h(x)=-ax-20恒成立, 即a-恒成立, 所以aG(x)max.,因為x1,4,所以, 而G(x)=-1, 所以G(x)max=-(此時x=4), 所以a-且a0.,探究1(變問法)本例(2)中,若函數h(x)在1,4上單調遞增,求a的取值范圍.,解析因為h(x)在1,4上單調遞增, 所以當x1,4時,h(x)0恒成立, 所以當1,4時,a-恒成立, 又當x1,4時,=-1(此時x=1),所以a-1,即a的取值范圍是(- ,-1.,探究2(變問法)本例(2)中,若h(x)在1,4上存在單調遞減區(qū)間,求a的取

12、值范圍.,解析h(x)在1,4上存在單調遞減區(qū)間, 則h(x)-有解, 又當x1,4時,=-1, 所以a-1,又a0, 所以a的取值范圍是(-1,0)(0,+).,探究3(變問法)本例(2)中,若函數h(x)在1,4上不單調,求a的取值范圍.,解析h(x)在1,4上不單調, h(x)=0在(1,4)上有解, 即a=-=-1有解, 令m(x)=-,x(1,4), 則-1

13、單調性求參數的取值范圍的方法 (1)可導函數在區(qū)間(a,b)上單調,實際上就是在該區(qū)間上f (x)0(或f (x)0)恒成立,得到關于參數的不等式,從而轉化為求函數的最值的問題,求出參數的取值范圍.,(2)可導函數在區(qū)間(a,b)上存在單調區(qū)間,實際上就是f (x)0(或f (x)0(或f (x)min<0)在該區(qū)間上有解,從而轉化為不等式問題,求出參數的取值范圍. (3)若已知f (x)在區(qū)間I上的單調性,區(qū)間I上含有參數時,可先求出f(x)的 單調區(qū)間,令I是其單調區(qū)間的子集,從而求出參數的取值范圍.,3-1已知函數f(x)(xR)滿足f(1)=1,且f(x)的導數f (x)<,則不等式f

14、(x2)< +的解集為.,答案(-,-1)(1,+),3-2已知函數f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在區(qū)間(1,+)上為增函數,求a的取值范圍; (2)若f(x)在區(qū)間(-1,1)上為減函數,求a的取值范圍; (3)若f(x)的單調遞減區(qū)間為(-1,1),求a的值.,解析(1)因為f (x)=3x2-a,且f(x)在區(qū)間(1,+)上為增函數,所以f (x)0在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+)上恒成立,所以a3,即a的取值范圍是(-,3. (2)由題意得f (x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成立.因為-10.f(x)=x3-ax-1,f (x)=3x2-a.由f (x)=0,得x=,f(x) 在區(qū)間(-1,1)上單調遞減,=1,即a=3.,