《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案拋物線

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1、 第?7?講 拋物線 [最新考綱] 1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)． 2．理解數(shù)形結(jié)合的思想． 3．了解拋物線的實(shí)際背景及拋物線的簡單應(yīng)用. 知?識(shí)?梳?理 1．拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)?F?和一條定直線?l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物 線．點(diǎn)?F?叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線?l?叫做拋物線的準(zhǔn)線． (2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中?d?為點(diǎn)?M?到準(zhǔn)線的距離)． 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

2、 圖 形 標(biāo) 準(zhǔn) y2＝2px?(p>0)???????y2＝－2p x(p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 方 程 續(xù)表  p?的幾何意義：焦點(diǎn)?F?到準(zhǔn)線?l?的距離 頂點(diǎn) O(0,0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 F?2，0÷ F?－2，0÷ F?0，2÷ F?0，－2÷ 性質(zhì)  焦點(diǎn) ?p??? è????? ???p??? è??????? ??p? è???

3、?? ??p? è??????? 離心率 e＝1 x＝－2?????? px＝2 y＝－2?????? py＝2 準(zhǔn)線方程 p p 范圍 x≥0，y∈R?x≤0，y∈R?y≥0，x∈R?y≤0，x∈R 開口方向 向右????????向左 辨?析?感?悟 向上????????向下 1．對(duì)拋物線定義的認(rèn)識(shí) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)?F?和一條定直線?l?的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物 線．(×) (2)拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是?4.(×) 2．

4、對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的理解 1 (3)(2013·?北京卷改編)若拋物線?y＝ax2?的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則?a＝4，準(zhǔn)線方程為 y＝－1. (√) (4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(×) (5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線 的通徑，那么拋物線?x2＝－2ay(a＞0)的通徑長為?2a.(√) [感悟·?提升] 1．一點(diǎn)提醒 拋物線方程中，字母?p?的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)?F?到準(zhǔn)線的距 p 離，2等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．如(2)． 2．兩個(gè)

5、防范 一是求拋物線方程時(shí)，首先弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正 確地選擇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 二是求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，如(3). 考點(diǎn)一 拋物線的定義及其應(yīng)用 【例?1】?(2014·?深圳一模)已知點(diǎn)?A(2,0)，拋物線?C：x2＝4y?的焦點(diǎn)為?F，射線?FA 與拋物線?C?相交于點(diǎn)?M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)?N，則|FM|∶|MN|＝( )． A．2∶?5 C．1∶?5 B．1∶2 D．1∶3 解析 如圖所示，由拋物線定義知|MF|＝|MH|

6、， 所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|. 由△MHN∽△FOA， |MH| |OF| 1 則?|HN|?＝|OA|＝2， 則|MH|∶|MN|＝1∶?5， 即|MF|∶|MN|＝1∶?5. 答案 C 規(guī)律方法?拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的 點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離?)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及 拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題． 【訓(xùn)練?1】?(2014·?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知點(diǎn)?P?是拋物線?y2＝4x?上的

7、動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P?在?y?軸上的射影是?M，點(diǎn)?A?的坐標(biāo)是(4，a)，則當(dāng)|a|＞4?時(shí)，|PA|＋|PM|的最小 值是________． 解析 將?x＝4?代入拋物線方程?y2＝4x，得?y＝±4，|a|＞4，所以?A?在拋物線的外 部，如圖， x | 由題意知?F(1,0)，則拋物線上點(diǎn)?P?到準(zhǔn)線?l：?＝－1?的距離為|PN|，由定義知，PA| ＋|PM| ＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.當(dāng)?A，P，F(xiàn)?三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PF|取最小值，此 時(shí) |PA|＋|PM|也最小，最小值

8、為|AF|－1＝ 答案 9＋a2－1 9＋a2－1. 考點(diǎn)二 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 【例?2】?(2014·?鄭州一模)如圖， 過拋物線?y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)?F 的直線交拋物線于點(diǎn)?A，B， 交其準(zhǔn)線?l?于點(diǎn)?C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為( )． A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝?3x 解析 如圖，分別過?A，B?作?AA1⊥l?于?A1，BB1⊥l?于?B1，

9、 由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°， ∴∠AFx＝60°，連接?A1F，則△AA1F?為等邊三角形，過?F?作?FF1⊥AA1?于?F1，則?F1 1 1 3 為?AA1?的中點(diǎn)，設(shè)?l?交?x?軸于?K，則|KF|＝|A1F1|＝2|AA1|＝2|AF|，即?p＝2，∴拋物 線方程為?y2＝3x，故選?C. 答案 C 規(guī)律方法?(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位 置，開口方向，在方程的類

10、型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)?p， 只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的 特點(diǎn)來解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問題更是如此． 1 1 【訓(xùn)練?2】?(2014·?蘭州一模)已知圓?x2＋y2＋mx－4＝0?與拋物線?y＝4x2?的準(zhǔn)線相 切，則?m＝ ( )． A．±2?2 B.?3??????????????C.?2???????????????D．±?3 解析 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?x2＝4y，所以準(zhǔn)線為?y＝－

11、1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為?x＋?2?÷2 ? m? è ? ??? m?? ? ＋y2＝ m2＋1 è－?2?，0? 4??，所以圓心為????????÷，半徑為 m2＋1 2  .所以圓心到直線的距離為?1， 即?? m2＋1 2 ＝1，解得?m＝±?3. 解 (1)由題意知，拋物線?E?的焦點(diǎn)為?F?0，2÷，直線?l1?的方程為?y＝k1x＋2. ì? ??x2＝2py???? 得?x2－2pk1x－p2＝0. 答案 D 考點(diǎn)三 直線與拋物線的位置關(guān)系 l l l 【例?3】?(2

12、013·?湖南卷)過拋物線?E：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)?F?作斜率分別為?k1，k2 的兩條不同直線?l1，2，且?k1＋k2＝2，1?與?E?相交于點(diǎn)?A，B，2?與?E?相交于點(diǎn)?C， D，以?AB，CD?為直徑的圓?M，圓?N(M，N?為圓心)的公共弦所在直線記為?l. →?→ (1)若?k1＞0，k2＞0，證明：FM·?FN＜2p2； 7?5 (2)若點(diǎn)?M?到直線?l?的距離的最小值為?5?，求拋物線?E?的方程． 審題路線 (1)寫出直線?l1?的方程?與拋物線聯(lián)立?用根與系數(shù)的關(guān)系求?M，N → → →?→ 的坐標(biāo)?寫出FM，F(xiàn)N的坐標(biāo)

13、?求FM·?FN?用基本不等式求得結(jié)論． (2)由拋物線定義求|AB|，|CD|?得到圓?M?與圓?N?的半徑?求出圓?M?與圓?N?的方 程?得出圓?M?與圓?N?的公共弦所在直線?l?的方程?點(diǎn)?M?到直線?l?的距離求出其 關(guān)于?k1?的函數(shù)式求其最小值?求得?p. ? p? p è ? p 由íy＝k1x＋2， p? → 2 2所以點(diǎn)?M?的坐標(biāo)為?pk1，pk1＋2÷，F(xiàn)M＝(pk1，pk1)． p? → 2同理可得點(diǎn)?N?的坐標(biāo)為?pk2，pk2＋2÷，F(xiàn)N＝(pk2，pk22)， ?k?＋k2?2 1所以

14、?0＜k1k2＜? 2|2pk21＋pk1＋p| p|2k1＋k1＋1| ?k1＋4÷2＋??ú? ???è 2 ? ? 2－故圓?M?的方程為(x－pk1)2＋?y－pk21 2÷ 設(shè)?A，B?兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則?x1，x2?是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù) 根． 從而?x1＋x2＝2pk1， y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk21＋p. ? è ? ? è ? →?→ 于是FM·?FN＝p2(k1k2＋k21k2)． 因?yàn)?k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2， ÷?＝1. →?→

15、 故FM·?FN＜p2(1＋12)＝2p2. p p | (2)由拋物線的定義得|FA|＝y(tǒng)1＋2，F(xiàn)B|＝y(tǒng)2＋2，所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝2pk21＋2p， 從而圓?M?的半徑?r1＝pk21＋p. ? p? è ? ＝(pk21＋p)2， 3 2 化簡得?x2＋y2－2pk1x－p(2k1＋1)y－4p2＝0. 3 同理可得圓?N?的方程為?x2＋y2－2pk2x－p(2k2＋1)y－4p2＝0. 1 于是圓?M，圓?N?的公共弦所在直線?l?的方程為(k2－k1)x＋(k22－k2)y＝0. 又?k2－k1≠0，k1＋k2＝2，

16、則?l?的方程為?x＋2y＝0. 因?yàn)?p＞0，所以點(diǎn)?M?到直線?l?的距離 d＝ ＝ 5 5 é?? 1? 7ù ? pê2è ? 8? ＝ . 5 1 7p 8???5 故當(dāng)?k1＝－4時(shí)，d?取最小值 . 由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝??|AB|. 7p 7?5 ??? 由題設(shè)，8?5＝?5?，解得?p＝8. 故所求的拋物線?E?的方程為?x2＝16y. 規(guī)律方法?(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似， 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系； (2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，

17、要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物 線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公 式． 【訓(xùn)練?3】?設(shè)拋物線?C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為?F，準(zhǔn)線為?l，A?為?C?上一點(diǎn)， 已知以?F?為圓心，F(xiàn)A?為半徑的圓?F?交?l?于?B，D?兩點(diǎn). (1)若∠BFD＝90°，△ABD?的面積為?4 2，求?p?的值及圓?F?的方程； (2)若?A，B，F(xiàn)?三點(diǎn)在同一直線?m?上，直線?n?與?m?平行，且?n?與?C?只有 一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值． 解 (1)由已知可得△

18、BFD?為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓?F?的半徑|FA|＝?2p. 由拋物線定義可知?A?到?l?的距離?d＝|FA|＝ 2p. 1 因?yàn)椤鰽BD?的面積為?4 2，所以2|BD|·?d＝4 2， 1 即2·2p· 2p＝4 2， 解得?p＝－2(舍去)或?p＝2. 所以?F(0,1)，圓?F?的方程為?x2＋(y－1)2＝8. (2)因?yàn)?A，B，F(xiàn)?三點(diǎn)在同一直線?m?上，所以?AB?為圓?F?的直徑，∠ADB＝90°. 1 2 3 3 所以∠ABD＝30°，m?的斜率為?3?或－?3?. 3 3 2 3 當(dāng)?m?的斜

19、率為?3?時(shí)，由已知可設(shè)?n：y＝?3?x＋b，代入?x2＝2py?得?x2－?3?px－ 2pb＝0. 4 由于?n?與?C?只有一個(gè)公共點(diǎn)，故?Δ＝3p2＋8pb＝0， p 解得?b＝－6. p |b?| | 因?yàn)?m?的縱截距?b1＝2，?|b1?＝3， 所以坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值也為?3. 3 當(dāng)?m?的斜率為－?3?時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值為?3. 綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到?m，n?距離的比值為?3. 1．認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)區(qū)分?y＝ax2(a≠0)與?y2

20、＝2px(p＞0)，前者不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為?y2 ＝mx?或?x2＝my(m≠0)． 2．拋物線的離心率?e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距 離．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義 轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化． p 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即|PF|＝|x|＋2或|PF| p ＝|y|＋2，它們?cè)诮忸}中有重要的作用，注意運(yùn)用．

21、 教你審題?9——靈活運(yùn)用拋物線焦點(diǎn)弦巧解題 【典例】?已知過拋物線?y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)?，斜率為?2?2的直線交拋物線于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.? (1)求該拋物線的方程； → → → (2)O?為坐標(biāo)原點(diǎn)，C?為拋物線上一點(diǎn)，?若OC＝OA＋λOB，求?λ?的值． [審題] 一審：由直線過拋物線焦點(diǎn)可利用焦點(diǎn)弦長公式求解． 解 (1)直線?AB?的方程是?y＝2???2?x－2÷，與?y2＝2px?聯(lián)立，從而有?4x2－5px＋p2 → → → 二審：由點(diǎn)?C?為拋物線上一點(diǎn)

22、，可設(shè)出?C?點(diǎn)坐標(biāo)，利用OC＝OA＋λ?OB表示出 點(diǎn)?C?坐標(biāo)，將點(diǎn)?C?坐標(biāo)代入拋物線方程求解． ? p? è ? 5p ＝0，所以?x1＋x2＝?4?， 5p 由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝?4?＋p＝9， 所以?p＝4，從而拋物線方程為?y2＝8x. (2)由于?p＝4,4x2－5px＋p2＝0?可簡化為?x2－5x＋4＝0， 從而?x1＝1，x2＝4，y1＝－2?2，y2＝4?2， 從而?A(1，－2?2)，B(4,4?2)； → 2 設(shè)?C(x3，y3)，則OC＝(x3，y3)＝(1，－2

23、?2)＋λ(4,4?2)＝(4λ＋1,4?2λ－2?2)， 又?y3＝8x3，即[2?2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得?λ＝0?或?λ＝2. p2 y | [反思感悟]?(1)解決與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)問題，常用到?x1x2＝?4?，?1y2＝－p2，AB| 2p 1 1 2 | ＝x1＋x2＋p＝sin2θ(θ?為?AB?的傾斜角)，AF|＋|BF|＝p這些結(jié)論，就會(huì)帶來意想不 到的效果． (2)解析幾何中像這樣可以引申推廣的規(guī)律有很多，只要我們平時(shí)善于總結(jié)、歸 納同類題的解題方法，并注意探究和

24、發(fā)掘變換事物中所蘊(yùn)涵的一般規(guī)律，就一定 會(huì)有更多發(fā)現(xiàn)． 【自主體驗(yàn)】 1．(2012·?安徽卷)過拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn)?F?的直線交該拋物線于?A，B?兩點(diǎn)．若 |AF|＝3，則|BF|＝________. 25|AF|·|BF|＝?? ， 解得|AF|＝??，|BF|＝??. 1 1 2 3 解析 法一 由|AF|＋|BF|＝p.得|BF|＝2. ì?|AF|＝p＋|AF|cos?θ， 法二 設(shè)∠BFO＝θ，則í ??|BF|＝p－|BF|cos?θ， 1 3 由|AF|＝3，p＝2，得?cos?θ＝3，∴|BF|＝2.

25、 3 答案 2 2．(2012·?重慶卷)過拋物線?y2＝2x?的焦點(diǎn)?F?作直線交拋物線于?A，B?兩點(diǎn)，若|AB| 25 ＝12，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________. 1 1 2 25 25 解析 由?|AF|?＋?|BF|?＝?p?＝?2?及?|AB|?＝?|AF|?＋?|BF|?＝?12?，得?|AF|·|BF|?＝?24?，再由 12 ì?|AF|＋|BF|＝25， í 24 5 5 6 4 5 答案 6 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40?分鐘) 一、

26、選擇題 y2 1．(2013·?四川卷)拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn)到雙曲線?x2－?3?＝1?的漸近線的距離是 ( )． 1 3 A.2 B.?2 C．1 D.?3 y2 解析 拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn)?F(1,0)，雙曲線?x2－?3?＝1?的漸近線方程是?y＝±?3x， 即?3x±y＝0，故所求距離為 |?3±0| (?3)2＋(±1)2 3 ＝?2?.選?B. 解析 拋物線的焦點(diǎn)為?2，0÷，準(zhǔn)線為?x＝－2.雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以2＝ 答案 B ． 2?(2014·?濟(jì)寧模擬)已

27、知圓?x2＋y2－6x－7＝0?與拋物線?y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切， 則?p?的值為( )． 1 A．1 B．2 C.2 D．4 解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為?4.圓心到準(zhǔn)線的距 ? p? è ? 離為?3－?－2÷＝4，解得?p＝2. 答案 B 3．點(diǎn)?M(5,3)到拋物線?y＝ax2?的準(zhǔn)線的距離為?6，那么拋物線的方程是( )． A．y＝12x2 B．y＝12x2?或?y＝－36x2 1 1 C．y＝－36x2 D．y＝12x2?或?y＝－36x2 1 1 解析 分兩類?a>

28、0，a<0?可得?y＝12x2，y＝－36x2. 答案 D x2 y2 4．(2014·?濰坊一模)已知拋物線?y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)?F?與雙曲線?4?－?5?＝1?的右焦 點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與?x?軸的交點(diǎn)為?K，點(diǎn)?A?在拋物線上且|AK|＝?2|AF|，則 A?點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( )． A．2?2 B．3 C．2?3 D．4 ?p ? p p è ? 3，即?p＝6，即?y2＝12x.過?A?做準(zhǔn)線的垂線，垂足為?M，則|AK|＝?2|AF|＝?2|AM|， 即|KM|＝|AM|，設(shè)?A(x，y)，則?y＝x＋3，代入?y

29、2＝12x，解得?x＝3. 答案 B x2 y2 5．(2013·?天津卷?)已知雙曲線?a2－b2＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線?y2＝ 2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于?A，B?兩點(diǎn)，O?為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為?2， △AOB?的面積為?3，則?p＝( )． 3 A．1 B.2 C．2 D．3 c 解析 由已知得雙曲線離心率?e＝a＝2，得?c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即?b＝?3 b p a.又雙曲線的漸近線方程為?y＝±ax＝±?3x，拋物線的準(zhǔn)線方程為?x＝－2，所以 ? p 3?? ? p

30、3p? è－?? 2????，Bè ? 不妨令?A? 2， p÷ ?－2，－?2?÷，于是|AB|＝?3p由?AOB?的面積為?3可得 1 p 2·?3p·?2＝?3，所以?p2＝4，解得?p＝2?或?p＝－2(舍去)． 答案 C 二、填空題 6．若點(diǎn)?P?到直線?y＝－1?的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小?2，則點(diǎn)?P?的軌跡方程是 ________． 解析 由題意可知點(diǎn)?P?到直線?y＝－3?的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)?P?的 軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以?y＝－3?為準(zhǔn)線的拋物線，且?p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程 為?

31、x2＝12y. 答案 x2＝12y 7．已知拋物線?y2＝4x?上一點(diǎn)?M?與該拋物線的焦點(diǎn)?F?的距離|MF|＝4，則點(diǎn)?M?的 橫坐標(biāo)?x0＝________. 解析 拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn)為?F(1,0)，準(zhǔn)線為?x＝－1. 根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)?M?到準(zhǔn)線的距離為?4，則?M?的橫坐標(biāo)為?3. 答案 3 x2 y2 8．拋物線?x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為?F，其準(zhǔn)線與雙曲線?3?－?3?＝1?相交于?A，B?兩 點(diǎn)，若△ABF?為等邊三角形，則?p＝________. y2＝－2px(p＞0)，則焦點(diǎn)?F?－2，0

32、÷. 2ìm?＝6p， p? 故í 2?－3＋2÷?＋m2＝5， ??2 p2 3 解析 如圖，在等邊三角形?ABF?中，DF＝p，BD＝?3?p， 1 ??3 p? 3p 4 è?3 ? ∴B?點(diǎn)坐標(biāo)為? p，－2÷.又點(diǎn)?B?在雙曲線上，故?3?－?3?＝1.解得?p＝6. 答案 6 三、解答題 9．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是?x?軸，拋物線上的點(diǎn)?M(－3，m)到焦點(diǎn) 的距離為?5，求拋物線的方程和?m?的值． 解 法一 根據(jù)已知條件，拋物線方程可設(shè)為 ? p ? è ? ∵點(diǎn)?M(－3，m)

33、在拋物線上，且|MF|＝5， ? ? ? ? è ? ìp＝4， ìp＝4， 解得í 或í ?m＝2?6 ?m＝－2?6. ∴拋物線方程為?y2＝－8x，m＝±2?6. p 法二 設(shè)拋物線方程為?y2＝－2px(p>0)，則準(zhǔn)線方程為?x＝2，由拋物線定義，M p 點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于?M?點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以有2－(－3)＝5，∴p＝4. ∴所求拋物線方程為?y2＝－8x， 又∵點(diǎn)?M(－3，m)在拋物線上， 故?m2＝(－8)×(－3)， ∴m＝±2?6. 10．設(shè)拋物線?C：y2＝4x，F(xiàn)?為?C?的焦點(diǎn)，過?F

34、?的直線?l?與?C?相交于?A，B?兩點(diǎn)． (1)設(shè)?l?的斜率為?1，求|AB|的大??； →?→ (2)求證：OA·?OB是一個(gè)定值． (1)解 ∵由題意可知拋物線的焦點(diǎn)?F?為(1,0)，準(zhǔn)線方程為?x＝－1，∴直線?l?的 設(shè)?A(x1，y1)，B(x2，y2)，由í 方程為?y＝x－1， ìy＝x－1， ?y2＝4x 得?x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6， 由直線?l?過焦點(diǎn)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. (2)證明 設(shè)直線?l?的方程為?x＝ky＋1， ìx＝ky＋1， 由í ?y2

35、＝4x  得?y2－4ky－4＝0. x2＝2py??的焦點(diǎn)坐標(biāo)為?0，2÷，a2－b2＝1?的漸近線方程為?y＝±ax，即?y＝±???3x. → → ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)． →?→ ∵OA·?OB＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. →?→ ∴OA·?OB是一個(gè)定值． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25?分鐘) 一、選擇題 x2 y2 1．已知雙

36、曲線?C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率為?2.若拋物線?C2：x2＝2py(p>0) 的焦點(diǎn)到雙曲線?C1?的漸近線的距離為?2，則拋物線?C2?的方程為( )． 8?3 16?3 A．x2＝?3?y B．x2＝?3?y C．x2＝8y D．x2＝16y x2 y2 解析 ∵a2－b2＝1?的離心率為?2， c c2 a2＋b2 b ∴a＝2，即a2＝?a2 ＝4，∴a＝?3. ? p? x2 y2 b è ? 由題意，得 p 2  ＝2， 1＋(?3)2 ∴p＝8.故?C2

37、：x2＝16y，選?D. 答案 D 2．(2014·?洛陽統(tǒng)考)已知?P?是拋物線?y2＝4x?上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)?P?到直線?l：2x－y ＋3＝0?和?y?軸的距離之和的最小值是( )． A.?3 B.?5 C．2 D.?5－1 解析 由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為?F(1,0)．設(shè)點(diǎn)?P?到直線?l?的距離為?d，由拋物 線的定義可知，點(diǎn)?P?到?y?軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)?P?到直線?l?的距離與到?y 軸的距離之和為?d＋|PF|－1.易知?d＋|PF|的最小值為點(diǎn)?F?到直線?l?的距離，故?d ＋|PF|的最小

38、值為 |2＋3| 22＋(－1)2  ＝?5，所以?d＋|PF|－1?的最小值為?5－1. －1－1，所以?yA＝2???3.因?yàn)?PA⊥l，所以?yP＝y(tǒng)A＝2???3，代 答案 D 二、填空題 x2 y2 3．(2014·?鄭州二模)已知橢圓?C：?4?＋?3?＝1?的右焦點(diǎn)為?F，拋物線?y2＝4x?的焦點(diǎn) 為?F，準(zhǔn)線為?l，P?為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A?為垂足．如果直線?AF?的傾斜角 為?120°，那么|PF|＝________. 解析 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為?F(1,0)，準(zhǔn)線方程為?x＝－1.因?yàn)橹本€?AF?的

39、傾斜角為 120°，所以?tan?120°＝ yA 入?y2＝4x，得?xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 答案 4 三、解答題 4．(2013·?遼寧卷)如圖，拋物線?C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．點(diǎn)?M(x0，y0) 在拋物線?C2?上， 過?M?作?C1?的切線，切點(diǎn)為?A，B(M?為原點(diǎn)?O?時(shí)，A，B?重合于?O)．當(dāng)?x0＝1－?2 MA?的斜率為－2，所以?A?點(diǎn)坐標(biāo)為?－1，4÷， (2)設(shè)?N(x，y)，A?x1，?4?÷，B?x2，?4?÷，x1≠x2， 1 時(shí)，切線?MA?

40、的斜率為－2. (1)求?p?的值； (2)當(dāng)?M?在?C2?上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段?AB?中點(diǎn)?N?的軌跡方程(A，B?重合于?O?時(shí)，中點(diǎn) 為?O)． x 解 (1)因?yàn)閽佄锞€?C1：x2＝4y?上任意一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為?y′＝2，且切線 1 ? 1? è ? 1 1 故切線?MA?的方程為?y＝－2(x＋1)＋4. 因?yàn)辄c(diǎn)?M(1－?2，y0)在切線?MA?及拋物線?C2?上， 1 1 3－2?2 于是?y0＝－2(2－?2)＋4＝－ 4 ，① (1－?2)2 3－2?2 y0＝－ 2p ＝－ 2p .② 由①②得?

41、p＝2. ??1x2? ? ? x2? è ? è ? 2?? .③ 由?N?為線段?AB?中點(diǎn)知?x＝ x1＋x2 x21＋x22 8?? .④ y＝?2?(x－x1)＋?4?，⑤ y＝?2?(x－x2)＋?4?.⑥ 所以?x1x2＝－? 6? .⑦ y＝ 切線?MA，MB?的方程為 x1 x21 x2 x22 由⑤⑥得?MA，MB?的交點(diǎn)?M(x0，y0)的坐標(biāo)為 x?＋x x?x 1 x0＝?1?2 2，y0＝?4?2. 2 因?yàn)辄c(diǎn)?M(x0，y0)在?C2?上，即?x0＝－4y0， x21＋x2 因此?AB?中點(diǎn)?N?的軌跡方程為?x?＝??y.2 4 由③④⑦得?x2＝3y，x≠0. 4 當(dāng)?x1＝x2?時(shí)，A，B?重合于原點(diǎn)?O，AB?中點(diǎn)?N?為?O，坐標(biāo)滿足?x2＝3y. 4 3