北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案 第二章 分解因式

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1、第二章 分解因式 2.1 分解因式 一、教學(xué)目標(biāo) 讓學(xué)生了解多項(xiàng)式公因式的意義，初步會(huì)用提公因式法分解因式. 二、教學(xué)過程 一塊場(chǎng)地由三個(gè)矩形組成，這些矩形的長(zhǎng)分別為，，，寬都是,求這塊場(chǎng)地的面積. 解法一：S=× + × + × =++=2 解法二：S=× + × + × = （ ++）=×4=2 1.公因式與提公因式法分解因式的概念. 把多項(xiàng)式ma+mb+mc寫成m與（a+b+c）的乘積的形式，相當(dāng)于把公因式m從各項(xiàng)中提出來，作為多項(xiàng)式ma+mb+mc的一個(gè)因式，把m從多項(xiàng)式ma+mb+mc各項(xiàng)中提出后形成的多項(xiàng)式（a+b+c），作為多項(xiàng)式ma+mb+mc的另一個(gè)因式，

2、這種分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例題講解 ［例1］將下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x. 分析：首先要找出各項(xiàng)的公因式，然后再提取出來. 解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）; （2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c） （4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7） 三、課堂練習(xí) 1.寫出

3、下列多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式. （1）ma+mb （m） （2）4kx－8ky （4k） （3）5y3+20y2 （5y2） （4）a2b－2ab2+ab （ab） 2.把下列各式分解因式 （1）8x－72=8（x－9） （2）a2b－5ab=ab（a－5） （3）4m3－6m2=2m2（2m－3） （4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9） （5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c） （6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1） 四、課后作業(yè) 1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）; （2

4、）8m2n+2mn=2mn（4m+1）; （3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）; （4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）; （5）－24x2y－12xy2+28y3 =－（24x2y+12xy2－28y3） =－4y（6x2+3xy－7y2）; （6）－4a3b3+6a2b－2ab =－（4a3b3－6a2b+2ab） =－2ab（2a2b2－3a+1）; （7）－2x2－12xy2+8xy3 =－（2x2+12xy2－8xy3） =－2x（x+6y2－4y3）; （8）－3ma3+6ma2－12ma =－（3ma3－6ma2+12ma） =－3

5、ma（a2－2a+4）; 2.利用因式分解進(jìn)行計(jì)算 （1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21 =12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1 =12.1×（1.3+0.9－1.2） =12.1×1=12.1 （2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4 =13.2×（2.34+0.66－2） =13.2×1=13.2 （3）當(dāng)R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14時(shí) πR12+πR22+πR32 =π（R12+R22+R32） =3.14×（202+162+122） =2512 2.2 提公因式法 一、教學(xué)目標(biāo) 讓學(xué)

6、生了解多項(xiàng)式公因式的意義，初步會(huì)用提公因式法分解因式. 例1 把a(bǔ)（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：這個(gè)多項(xiàng)式整體而言可分為兩大項(xiàng)，即a（x－3）與2b（x－3），每項(xiàng)中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作為公因式提出來. 解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b） ［例2］把下列各式分解因式: （1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2. 分析：雖然a（x－y）與b（y－x）看上去沒有公因式，但仔細(xì)觀察可以看出（x－y）與（y－x）是互為相反數(shù)，如果把其中一個(gè)提取一個(gè)“－”號(hào)，則可以出現(xiàn)公因式，如y－x=－（x－y）

7、.（m－n）3與（n－m）2也是如此. 解：（1）a（x－y）+b（y－x） =a（x－y）－b（x－y） =（x－y）（a－b） （2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）. 二、做一做 請(qǐng)?jiān)谙铝懈魇降忍?hào)右邊的括號(hào)前填入“+”或“－”號(hào)，使等式成立: （1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）; （3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2; （5）－m－

8、n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）. 解：（1）2－a=－（a－2）; （2）y－x=－（x－y）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（b－a）2=+（a－b）2; （5）－m－n=－（m+n）; （6）－s2+t2=－（s2－t2）. 三、課堂練習(xí) 把下列各式分解因式： 解：（1）x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y）; （2）3a（x－y）－（x－y） =（x－y）（3a－1）; （3）6（p+q）2－12（q+p） =6（p+q）2－12（p+q） =6（p+q）（p+q－2）;

9、 （4）a（m－2）+b（2－m） =a（m－2）－b（m－2） =（m－2）（a－b）; （5）2（y－x）2+3（x－y） =2［－（x－y）］2+3（x－y） =2（x－y）2+3（x－y） =（x－y）（2x－2y+3）; （6）mn（m－n）－m（n－m）2 =mn（m－n）－m（m－n）2 =m（m－n）［n－（m－n）］ =m（m－n）（2n－m）. 補(bǔ)充練習(xí) 把下列各式分解因式 解：1.5（x－y）3+10（y－x）2 =5（x－y）3+10（x－y）2 =5（x－y）2［（x－y）+2］ =5（x－y）2（x－y+2）; 2. m（a－b）－

10、n（b－a） =m（a－b）+n（a－b） =（a－b）（m+n）; 3. m（m－n）+n（n－m） =m（m－n）－n（m－n） =（m－n）（m－n）=（m－n）2; 4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q） = m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q） =（m－n）（p－q）（m +n）; 5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a） =（b－a）2－a（b－a）+b（b－a） =（b－a）［（b－a）－a+b］ =（b－a）（b－a－a+b） =（b－a）（2b－2a） =2（b－a）（b－a） =2（b－a）2 2.3運(yùn)用公式法

11、（一） 一、教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生了解運(yùn)用公式法分解因式的意義； 2.使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式. 3.使學(xué)生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式. 二、教學(xué)過程 1.請(qǐng)看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1） 左邊是整式乘法，右邊是一個(gè)多項(xiàng)式，把這個(gè)等式反過來就是 a2－b2=（a+b）（a－b） （2） 左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是整式的乘積. 利用平方差公式進(jìn)行的因式分解.第（1）個(gè)等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個(gè)等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式講解 觀察

12、式子a2－b2,找出它的特點(diǎn). 答：是一個(gè)二項(xiàng)式，每項(xiàng)都可以化成整式的平方，整體來看是兩個(gè)整式的平方差. 如果一個(gè)二項(xiàng)式，它能夠化成兩個(gè)整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個(gè)整式的和與差的積. 如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）. 9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n） 3.例題講解 ［例1］把下列各式分解因式： （1）25－16x2; （2）9a2－b2. 解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）; （2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2 =（3a+b）（

13、3a－b）. ［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x. 解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n） =（4 m +2n）（2 m +4n） =4（2 m +n）（m +2n） （2）2x3－8x=2x（x2－4） =2x（x+2）（x－2） 說明：例1是把一個(gè)多項(xiàng)式的兩項(xiàng)都化成兩個(gè)單項(xiàng)式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個(gè)二項(xiàng)式化成兩個(gè)多項(xiàng)式的平方

14、差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當(dāng)一個(gè)題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時(shí)，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法. 三、課堂練習(xí) 1.判斷正誤 解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×） （2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√） （3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×） （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×） 2.把下列各式分解因式 解：（1）a2b2－m2 =（ab）2－m 2

15、 =（ab+ m）（ab－m）; （2）（m－a）2－（n+b）2 =［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］ =（m－a+n+b）（m－a－n－b）; （3）x2－（a+b－c）2 =［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］ =（x+a+b－c）（x－a－b+c）; （4）－16x4+81y4 =（9y2）2－（4x2）2 =（9y2+4x2）（9y2－4x2） =（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x） 3.解：S剩余=a2－4b2. 當(dāng)a=3.6,b=0.8時(shí)， S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（c

16、m2） 答：剩余部分的面積為10.4 cm2. 四、課后作業(yè) 1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）; （2）36－x2=（6+x）（6－x）; （3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）; （4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）; （5）0.25q2－121p2 =（0.5q+11p）（0.5q－11p）; （6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）; （7）9a2p2－b2q2 =（3ap+bq）（3ap－bq）; （8）a2－x2y2=（a+xy）（ a－xy）; 2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n

17、+n）（m +n－n）= m（m +2n）; （2）49（a－b）2－16（a+b）2 =［7（a－b）］2－［4（a+b）］2 =［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］ =（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b） =（11a－3b）（3a－11b）; （3）（2x+y）2－（x+2y）2 =［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］ =（3x+3y）（x－y） =3（x+y）（x－y）; （4）（x2+y2）－x2y2 =（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）; （5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4） =3

18、a（x+y2）（x－y2） （6）p4－1=（p2+1）（p2－1） =（p2+1）（p+1）（p－1）. 3.解：S環(huán)形=πR2－πr2=π（R2－r2） =π（R+r）（R－r） 當(dāng)R=8.45,r=3.45，π=3.14時(shí)， S環(huán)形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2） 答：兩圓所圍成的環(huán)形的面積為186.83 cm2. Ⅵ.活動(dòng)與探究 把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc =abc+

19、a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc =a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c） 運(yùn)用公式法（二） 一、教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生會(huì)用完全平方公式分解因式. 2.使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟，多方法的分解因式. 二、教學(xué)過程 在前面我們不僅學(xué)習(xí)了平方差公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 而且還學(xué)習(xí)了完全平方公式 （a±b）2=a2±2ab+b2 三、新課 判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否為完全平方式，要考慮三

20、個(gè)條件，項(xiàng)數(shù)是三項(xiàng)；其中有兩項(xiàng)同號(hào)且能寫成兩個(gè)數(shù)或式的平方；另一項(xiàng)是這兩數(shù)或式乘積的2倍. 1.例題講解 ［例1］把下列完全平方式分解因式： （1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9. ［師］分析：大家先把多項(xiàng)式化成符合完全平方公式特點(diǎn)的形式，然后再根據(jù)公式分解因式.公式中的a,b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式. 解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2 （2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2. ［例2］把下列各式分解因式： （1）3ax2

21、+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy. ［師］分析：對(duì)一個(gè)三項(xiàng)式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時(shí)，要仔細(xì)觀察它是否有公因式，若有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式. 如果三項(xiàng)中有兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號(hào)不是“+”號(hào)時(shí)，可以先提取“－”號(hào)，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2 （2）－x2－4y2+4xy =－（x2－4xy+4y2） =－［x2－2·x·2y+（2y）2］ =－（x－2y）2 四、課堂練習(xí) 1.（1）是完全平方式 x2－x

22、+=x2－2·x·+（）2=（x－）2 （2）不是完全平方式，因?yàn)?ab不符合要求. （3）是完全平方式 m2+3 m n+9n2 =（ m）2＋2× m×3n+（3n）2 =（ m +3n）2 （4）不是完全平方式 2.（1）x2－12xy+36y2 =x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4 =（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2 （3）－2xy－x2－y2 =－（x2+2xy+y2） =－（x+y）2; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2 =22－2×2×3（x－y）

23、+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2 五、課后作業(yè) 1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2; （2）9－12t+4t2=（3－2t）2; （3）y2+y+=（y+）2; （4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2; （5）+xy+y2=（+y）2; （6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2 2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9 =［（x+y）+3］2 =（x+y+3）2; （2）a2－2a（b+c）+（b+c）2 =［a－（b+c）］2 =（a－b－c）2; （3）4xy2－4x2y－y3 =y（4xy－4x2－y2） =－y（4x2－4xy+y2） =－y（2x－y）2; （4）－a+2a2－a3 =－（a－2a2+a3） =－a（1－2a+a2） =－a（1－a）2. 3.設(shè)兩個(gè)奇數(shù)分別為x、x－2,得 x2－（x－2）2 =［x+（x－2）］［x－（x－2）］ =（x+x－2）（x－x+2） =2（2x－2） =4（x－1） l