《2012高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 數(shù)學(xué)開放性問題問題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2012高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 數(shù)學(xué)開放性問題問題(10頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
數(shù)學(xué)開放性問題怎么解
數(shù)學(xué)開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型,問題探究型,數(shù)學(xué)建模型,操作設(shè)計(jì)型,情景研究型.如果未知的是解題假設(shè),那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標(biāo),那么就稱為結(jié)論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當(dāng)然,作為數(shù)學(xué)高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.
例 1 設(shè)等比數(shù)列的公比為 ,前 項(xiàng)和為 ,是否存在常數(shù) ,使數(shù)列 也成等比數(shù)列?若存在,求出常數(shù);若不存在,請 明 理 由.
講解 存
2、在型開放題的求解一般是從假設(shè)存在入手, 逐步深化解題進(jìn)程的.
設(shè)存在常數(shù), 使數(shù)列 成等比數(shù)列.
(i) 當(dāng) 時, 代入上式得
即=0
但, 于是不存在常數(shù) ,使成等比數(shù)列.
(ii) 當(dāng) 時,, 代 入 上 式 得
.
綜 上 可 知 , 存 在 常 數(shù) ,使成等比數(shù)列.
等比數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !
例2 某機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床,并立即投入生產(chǎn)使用,計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元,從第二年
3、開始,每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元,該機(jī)床使用后,每年的總收入為50萬元,設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)從第幾年開始,該機(jī)床開始盈利(盈利額為正值);
(3 ) 使用若干年后,對機(jī)床的處理方案有兩種:
(i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時,以30萬元價格處理該機(jī)床;
(ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時,以12萬元價格處理該機(jī)床,問用哪種方案處理較為合算?請說明你的理由.
講解 本例兼顧應(yīng)用性和開放性, 是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問題.
(1)
=.
4、
(2)解不等式 >0,
得 <x<.
∵ x∈N, ∴ 3 ≤x≤ 17.
故從第3年工廠開始盈利.
(3)(i) ∵ ≤40
當(dāng)且僅當(dāng)時,即x=7時,等號成立.
∴ 到2008年,年平均盈利額達(dá)到最大值,工廠共獲利12×7+30=114萬元.
(ii) y=-2x2+40x-98= -2(x-10)2 +102,
當(dāng)x=10時,ymax=102.
故到2011年,盈利額達(dá)到最大值,工廠共獲利102+12=114萬元.
解答函數(shù)型最優(yōu)化實(shí)際應(yīng)用題,二、三元均值不等式是常用的工具.
例3 已知函數(shù)f(x
5、)= (x<-2)
(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);
(2)設(shè)a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;
(3)設(shè)Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意n∈N,有bn<成立?若存在,求出m的值;若不存在說明理由.
講解 本例是函數(shù)與數(shù)列綜合的存在性問題, 具有一定的典型性和探索性.
(1) y=,
∵x<-2,∴x= -,
即y=f-1(x)= - (x>0).
(2) ∵ , ∴=4.
∴{}是公差為4的等差數(shù)列.
∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3.
∵
6、an>0 , ∴an=.
(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn<,得 m>對于n∈N成立.
∵≤5 ,
∴m>5,存在最小正數(shù)m=6,使得對任意n∈N有bn<成立.
為了求an ,我們先求,這是因?yàn)閧}是等差數(shù)列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構(gòu)造等差數(shù)列的一個典范.
例4 已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若函數(shù)
求函數(shù)f(n)的最小值;
(3)設(shè)表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加
7、以證明;若不存在,說明理由.
講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索.
(1)
(2) ,
,
.
(3),
.
故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立.
事實(shí)上, 數(shù)列{an}是等差數(shù)列, 你知道嗎?
例5 深夜,一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故,該市有兩家出租車公司——紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司,其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場目擊證人說,事故現(xiàn)場的出租車是紅色,并對證人的辨別能力作
8、了測試,測得他辨認(rèn)的正確率為80%,于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認(rèn)定對紅色出租車公平嗎?試說明理由.
講解 設(shè)該城市有出租車1000輛,那么依題意可得如下信息:
證人所說的顏色(正確率80%)
真
實(shí)
顏
色
藍(lán)色
紅色
合計(jì)
藍(lán)色(85%)
680
170
850
紅色(15%)
30
120
150
合計(jì)
710
290
1000
從表中可以看出,當(dāng)證人說出租車是紅色時,且它確實(shí)是紅色的概率為,而它是藍(lán)色的概率為. 在這種情況下,以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對紅色出租車顯然是不公平的.
本題的情景清新,
9、 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨(dú)特性, 在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見的.
例6 向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會實(shí)踐,對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究,得到如下兩個不同的信息圖:
(A)圖表明:從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞;
(B)圖表明:由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年的10個.
請你根據(jù)提供的信息解答下列問題:
(1)第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少?
(2)哪一年的規(guī)模最大?為什
10、么?
講解 (1)設(shè)第n年的養(yǎng)雞場的個數(shù)為,平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)雞萬只,
由圖(B)可知, =30,且點(diǎn)在一直線上,
從而
由圖(A)可知, 且點(diǎn)在一直線上,
于是
=(萬只),(萬只)
第二年的養(yǎng)雞場的個數(shù)是26個,全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬只;
(2)由(萬只),
第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大,共養(yǎng)雞31.2萬只.
有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的.
例7 已知動圓過定點(diǎn)P(1,0),且與定直線相切,點(diǎn)C在l上.
(1)求動圓圓心的
11、軌跡M的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)P,且斜率為-的直線與曲線M相交于A,B兩點(diǎn).
(i)問:△ABC能否為正三角形?若能,求點(diǎn)C的坐標(biāo);若不能,說明理由;
(ii)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.
講解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系,是解析幾何中的存在性問題.
(1)由曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線,知曲線M的方程為.
(2)(i)由題意得,直線AB的方程為 消y得
于是, A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A,B(3,),
(3,)
假設(shè)存在點(diǎn)C(-1,y),使△ABC為正三角形,則|BC|=|
12、AB|且|AC|=|AB|,
即有
①
②
由①-②得
因?yàn)椴环息伲杂散?,②組成的方程組無解.
故知直線l上不存在點(diǎn)C,使得△ABC是正三角形.
(ii)設(shè)C(-1,y)使△ABC成鈍角三角形,
由
即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,)時,三點(diǎn)A,B,C共線,故.
,
,
.
(i) 當(dāng),即,
即為鈍角.
(ii) 當(dāng),即,
即為鈍角.
(iii)當(dāng),即,
即. 該不等式無解,所以∠ACB不可能為鈍角.
故當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.
需要提及的是, 當(dāng)△ABC為鈍角三角形時
13、, 鈍角的位置可能有三個,需要我們進(jìn)行一一探討.
例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的a,b∈R都滿足關(guān)系式 .
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
(3)若,求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)的和Sn.
講解 本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的基本知識,考查從一般到特殊的取特值求解技巧.
(1)在中,令得
.
在中,令得
,有 .
(2)是奇函數(shù),這需要我們進(jìn)一步探索. 事實(shí)上
14、 故為奇函數(shù).
(2) 從規(guī)律中進(jìn)行探究,進(jìn)而提出猜想.
由
,
………………………………
猜測 .
于是我們很易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明.
1° 當(dāng)n=1時,,公式成立;
2°假設(shè)當(dāng)n=k時,成立,那么當(dāng)n=k+1時,
,公式仍然成立.
綜上可知,對任意成立.
從而 .
,.
故
例9 若、,
(1)求證:;
(2)令,寫出、、、的值,觀察并歸納出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)證明:存在不等于零的常數(shù)p,使是等
15、比數(shù)列,并求出公比q的值.
講解 (1)采用反證法. 若,即, 解得
從而與題設(shè),相矛盾,
故成立.
(2) 、、、、,
.
(3)因?yàn)?又,
所以,
因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式,故可解得、.
我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎?
例10 如圖,已知圓A、圓B的方程分別是動圓P與圓A、圓B均外切,直線l的方程為:.
(1)求圓P的軌跡方程,并證明:當(dāng)時,點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到定直線l距離的比為定值;
(2) 延長PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q,求的最小值;
(3)如果存在某一位置,使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C,滿足
16、求a的取值范圍.
講解(1)設(shè)動圓P的半徑為r,則|PA|=r+,|PB| = r + ,
∴ |PA| -|PB| = 2.
∴ 點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),焦距為4,實(shí)軸長為2的雙曲線的右準(zhǔn)線的右支,其方程為 (x ≥1).若 , 則l的方程為雙曲線的右準(zhǔn)線, ∴點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.
(2)若直線PQ的斜率存在,設(shè)斜率為k,則直線PQ的方程為y = k ( x-2 )代入雙曲線方程, 得
由 , 解得>3.
∴ |PQ|=.
當(dāng)直線的斜率存在時,,得,|PQ|=6.
∴?。黀Q|的最小值為6.
(3)當(dāng)PQ⊥QC時,P、C、Q構(gòu)成Rt△.
∴ R到直線l的距離|RC|= ①
又 ∵ 點(diǎn)P、Q都在雙曲線上,
∴ ?。?
∴ ,即 ?。?
∴ ②
將②代入①得 ,|PQ|=2-4a≥6.
故有a≤-1.
“如果存在”并不意味著一定存在, 如何修改本題使其成為不存在的范例呢? 問題的提出既能延伸我們的思緒, 更能完善我們的知識技能, 無形中使解題能力得到逐漸的提升.
10
用心 愛心 專心