2021-2022學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊《第1章勾股定理》綜合培優(yōu)提升測評【含答案】

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1、2021-2022學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊《第1章勾股定理》綜合培優(yōu)提升測評 一．選擇題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分） 1．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，則下列式子成立的是（　?。? A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2 2．如圖，圓柱的高為4cm，底面半徑為cm，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面B處的食物，已知四邊形ADBC的邊AD、BC恰好是上、下底面的直徑、問：螞蟻食到食物爬行的最短距離是（　?。ヽm． A．5 B．5π C．3+ D．3+ 3．一輪船以16海里

2、/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口1.5小時(shí)后，則兩船相距（　　） A．10海里 B．20海里 C．30海里 D．40海里 4．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于（　?。? A．23 B．46 C．65 D．69 5．下列各組數(shù)中，能稱為勾股數(shù)的是（　?。? A．1，，2 B．1.5，2.5，2 C．9，12，15 D．4，5，6 6．如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，木桿折斷之前的高度為（　?。? A

3、．7米 B．8米 C．9米 D．12米 7．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，則A、F兩點(diǎn)間的距離是（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 8．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為6，10，4，6，則最大正方形E的面積是（　　） A．94 B．26 C．22 D．16 9．一個(gè)圓桶底面直徑為7cm，高24cm，則桶內(nèi)所能容下的最長木棒為（　?。? A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm 10．一直角三角形的一條直角

4、邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（　　） A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm 二．填空題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為邊BC、AC、AB的長．若a+b＝16，c＝12，則Rt△ABC的面積為 　 ?。? 12．如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交會，∠QON＝30°．公路PQ上A處距離O點(diǎn)240m．如果火車行駛時(shí)，周圍200m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72km/h的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間為　 　秒． 13．如圖所示的網(wǎng)格是正方形

5、網(wǎng)格，則∠BAC+∠CDE＝　 　（點(diǎn)A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)）． 14．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB＝10，BC＝20，則AD＝　 ?。? 15．如圖，一棵高為16m的大樹被臺風(fēng)刮斷，若樹在離地面6m處折斷，樹頂端剛好落在地可上，此處離樹底部　 　m處． 16．如圖Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的取值為　 ?。? 1

6、7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC和BC為邊，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，則圖中的陰影部分的面積是　 ?。? 18．如圖，兩個(gè)正方形的面積分別是64和49，則AC的長為　 ?。? 19．我國古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖，若勾AE＝6，弦AD＝10，則小正方形EFGH的面積是　 ?。? 20．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長是　 ?。? 三．解答題（共7小題，21、22、23每小題8分，余下每小題9分，共計(jì)60分） 21．如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝13cm

7、，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝12cm，BD＝5cm． （1）求證：△BDC是直角三角形； （2）求△ABC的面積． 22．某運(yùn)動公園有一塊空地，如圖，△ABC所示，∠ACB＝90°，公園管理處計(jì)劃在△ADC區(qū)域內(nèi)安裝健身器材，其余部分種植草坪，綠化環(huán)境．經(jīng)測量：CD＝30米，AD＝40米，BC＝120米，AB＝130米． （1）求證：∠ADC＝90°； （2）若種植草坪的費(fèi)用每平方米300元，求種植草坪的總費(fèi)用． 23．濟(jì)南的泉城廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所．歷下區(qū)某校七年級（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得圖中風(fēng)箏的高度CE，

8、他們進(jìn)行了如下操作： ①測得BD的長為15米（注：BD⊥CE）； ②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長為25米； ③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米． （1）求風(fēng)箏的高度CE． （2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，求BH的長度． 24．如圖所示，是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為55cm，10cm，6cm，點(diǎn)A和點(diǎn)B是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，那么這只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少？ 25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E．若AC＝12，BC＝16，求AE的長． 26

9、．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交AB于點(diǎn)E，且BE2﹣EA2＝AC2． （1）求證：∠A＝90°； （2）若AC＝6，BD＝5，求AE的長． 27．綜合與實(shí)踐． 勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者． （1）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個(gè)圖形說明a2+b2＝c2． （2）業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的

10、Rt△ABC和Rt△DAE按如圖2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．請你利用這個(gè)圖形說明c2+a2＝b2．（提示：連接EC，CD） 答案 一．選擇題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分） 1．解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC2+BC2＝AB2，故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯誤， 故選：D． 2．解：把圓柱體沿著AC直線剪開，得到矩形如下： 則AB的長度為所求的最短距離， 根據(jù)題意圓柱的高為4cm，底面半徑為cm， 則可以知道

11、AC＝4cm，BC＝底面周長， ∵底面周長為2πr＝2×π×＝6（cm）， ∴BC＝3cm， ∴根據(jù)勾股定理得出AB2＝AC2+BC2， 即AB2＝42+32， ∴AB＝5（cm）． 答：螞蟻至少要爬行5cm路程才能食到食物， 故選：A． 3．解：如圖所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里）， ∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形， ∴BC＝30（海里）． 故選：C． 4．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中

12、， BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2， ∴MC2﹣MB2 ＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2） ＝AC2﹣AB2 ＝132﹣102 ＝69． 故選：D． 5．解：A、不是正整數(shù)，該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意． B、1.5，2.5不是正整數(shù)，該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意． C、由于92+122＝152，所以該數(shù)是勾股數(shù)，符合題意． D、由于42+52≠62，所以該組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意． 故選：C． 6．解：∵一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處， ∴折斷的

13、部分長為＝5（米）， ∴折斷前高度為5+3＝8（米）． 故選：B． 7．解：過F作FG⊥AB，交AB的延長線于G， ∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3， ∴CD＝3，EF＝6， 根據(jù)題意，AG＝AB+CD+EF＝12，GF＝BC+DE＝16， 在Rt△AGF中， AF＝20． 故選：B． 8．解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3， 即S3＝6+10+4+6＝26． 故選：B． 9．解：如圖，AC為圓桶底面直徑，CB是桶高， ∴AC＝7cm，CB＝24cm， ∴線段AB的長度就是桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長

14、度， ∴AB＝25（cm）． 故桶內(nèi)所能容下的最長木棒的長度為25cm． 故選：B． 10．解：設(shè)另一條直角邊是a，斜邊是c．根據(jù)題意，得，聯(lián)立解方程組，得．故選D． 二．填空題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分） 11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得：a2+b2＝c2， ∵c＝12， ∴a2+b2＝144， ∵a+b＝16， ∴a2+b2+2ab＝256， ∴ab＝56， ∴Rt△ABC的面積為：ab＝， 故28． 12．解：如圖：過點(diǎn)A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米， ∵∠QON＝30°，OA＝240米， ∴AC＝120米，

15、 當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB＝200米， ∵AB＝200米，AC＝120米， ∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米， ∵火車在鐵路MN上沿ON方向以72km/h＝20米/秒的速度行駛， ∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷20＝16（秒）． 故16． 13．解：設(shè)小正方形的邊長是1，連接AD， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， 即△ADC是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°， ∴∠BAC+∠CDE＝45°， 故45°． 14．

16、解：連接AE， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，又EO⊥AC， ∴∠AEO＝∠CEO， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CEO， ∴∠AEO＝∠ADE， ∴AD＝AE， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即102+（20﹣AE）2＝AE2， ∴AE＝， ∴AD＝AE＝， 故． 15．解：設(shè)樹頂端落在離樹底部x米處，由題意得： 62+x2＝（16﹣6）2， 解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合題意舍去）． 故8． 16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：BC＝8 當(dāng)AB＝AP時(shí)，由△ABC≌△APC可知： PC＝BC＝8 ∴

17、BP＝16， ∴t＝16， 當(dāng)BA＝BP時(shí)，BP＝10， ∴t＝10， 當(dāng)PA＝PB時(shí)，設(shè)BP＝x， 在Rt△ACP中， 由勾股定理得： （8﹣x）2+62＝x2， ∴x＝， ∴BP＝． ∴t＝． 故16或10或． 17．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4， ∴BC2+AC2＝AB2＝16， ∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形， ∴圖中的陰影部分的面積是BC2+AC2＝×16＝8． 故8． 18．解：∵兩個(gè)正方形的面積分別是64和49， ∴AB＝BD＝8，DC＝7， 根據(jù)勾股定理得：AC＝17． 19．解：如圖，∵勾AE＝6，弦AD＝

18、弦AB＝10， ∴股BE＝8， ∴小正方形的邊長＝8﹣6＝2， ∴小正方形的面積＝22＝4． 故答案是：4． 20．解：此題應(yīng)分兩種情況說明： （1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，在Rt△ABD中， BD＝9， 在Rt△ACD中， CD＝5 ∴BC＝5+9＝14 ∴△ABC的周長為：15+13+14＝42； （2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)， 在Rt△ABD中，BD＝9， 在Rt△ACD中，CD＝5， ∴BC＝9﹣5＝4． ∴△ABC的周長為：15+13+4＝32 ∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長為32．

19、 綜上所述，△ABC的周長是42或32． 故填：42或32． 三．解答題（共7小題21、22、23每小題8分，余下每小題9分，共計(jì)60分） 21．證明：（1）∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm， ∴BC2＝BD2+CD2， ∴△BDC為直角三角形； （2）設(shè)AB＝xcm，∵△ABC是等腰三角形， ∴AB＝AC＝xcm， ∵△BDC為直角三角形， ∴△ADC也為直角三角形， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴x2＝（x﹣5）2+122， 解得：， ∴＝＝． 22．（1）證明：∵∠ACB＝90°， ∴△ACB是直角三角形， ∵BC＝120米，AB＝13

20、0米， ∴AC＝50（米）， ∵CD＝30米，AD＝40米， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC＝90°； （2）由（1）得：種植草坪的面積為： ×AC×BC﹣×AD×DC＝×50×120﹣×30×40＝2400（平方米）， ∵種植草坪的費(fèi)用每平方米300元， ∴2400×300＝（元）， 答：種植草坪的總費(fèi)用為元． 23．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得： CD＝20（米）， 所以CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：風(fēng)箏的高度CE為21.7米． （2）由等積法知：BD×DC＝BC×DH， 解得：DH＝＝

21、12， 在Rt△BHD中，BH＝9（米）， 答：BH的長度為9米． 24．解：如圖所示，將這個(gè)臺階展開成一個(gè)平面圖形，則螞蟻爬行的最短路程就是線段AB的長． 在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）． 由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329． 所以AB＝73（cm）． 因此，螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是73cm． 25．解：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：AB＝20． ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E． ∴AE＝BE＝AB＝10． 26．（1）證明：連接CE，如圖

22、， ∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC， ∴CE＝BE， ∵BE2﹣EA2＝AC2， ∴CE2﹣EA2＝AC2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°； （2）解：∵D是BC的中點(diǎn)，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵∠A＝90°，AC＝6， ∴AB＝8， 在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2， ∵CE＝BE， ∴62+AE2＝（8﹣AE）2， 解得：AE＝， ∴AE的長為． 27．解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為ab，小正方形面積為（b﹣a）2， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即c2＝a2+b2； （2）連接EC，CD， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE， ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED， ∴∠AFE＝90°， ∴AC⊥DE， ∵四邊形ABCD的面積＝（BC+AD）×AB＝， 四邊形AECD的面積＝S△AEC+S△ACD＝AC×DE＝b2， ∴△BEC的面積＝四邊形ABCD的面積﹣四邊形AECD的面積＝﹣b2＝ac﹣a2， ∴c2+a2＝b2．