專題講座8 分式與分式方程(含答案)

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1、專題八　分式與分式方程 考綱點(diǎn)金 內(nèi)容通覽 1．理解分式的概念，能對(duì)分式本身的性質(zhì)、意義進(jìn)行討論； 2．掌握分式的基本性質(zhì)，明白分式進(jìn)行變形的原理； 3．知道通分、約分的原理與要求，能進(jìn)行分式綜合運(yùn)算； 4．掌握分式方程的意義及解法，以及檢驗(yàn)的相關(guān)事項(xiàng)； 5．能解、列可化為整式方程的分式方程的應(yīng)用題． 能力舉要 1、會(huì)對(duì)分式本身的存在性進(jìn)行討論，能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行分類； 2、能化整、變形分式、能通分、約分化分式為最簡分式； 3、熟練地對(duì)分式進(jìn)行簡單的混合運(yùn)算，方法靈活、　算理合理、結(jié)果準(zhǔn)確。 搶分必會(huì) 1、分式是分母中含有　字母 的代數(shù)式； ①

2、分式有意義ó分母　≠　0， ②分式無意義ó分母　=　0， ③分式的值等于0ó分子 = 0且分母 ≠　0； 2、最簡分式就是分子、分母中不含有　公因式　的分式； 3、約分是把分子、分母中的　公因式　約去的過程； 通分是根據(jù)分式的　基本性質(zhì)　不改變　分式的值　，把幾個(gè)分母不同的分式化為　分母相同　的分式的過程； 4、分式基本性質(zhì)：= 、= （其中 M≠0 ）； 5、符號(hào)法則：== —( )=—； 6、運(yùn)算法則： (1)== (2) ()n =(n為正整數(shù)) (3) == （4）a-p= =()p（a； 7．科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)為

3、a×10 n 方式，其中 1　　　 |a| < 10 （n是整數(shù)）； 8．分母中含有　未知數(shù)　的方程叫分式方程，解分式分式程的基本思想是化分式方程為　整式方程　；故可能產(chǎn)生　增根　，因此必須　檢驗(yàn)?。? 教師備課資源 [整合串講] [教學(xué)建議] 1．首先要是搞清楚分式與分?jǐn)?shù)的區(qū)別以及分式何時(shí)有意義的問題．對(duì)于分式的基本性質(zhì)，則主要是在分式變形和運(yùn)算中能夠正確靈活地運(yùn)用． 　　2． 解分式方程的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是把分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程；二是驗(yàn)根，

4、把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，主要是分式四則運(yùn)算的運(yùn)用；驗(yàn)根則應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)，搞清原因，在學(xué)習(xí)時(shí)，可結(jié)合分式方程的解法中由分式方程到整式方程的轉(zhuǎn)化，以及轉(zhuǎn)化條件的討論和驗(yàn)根等，提高學(xué)生對(duì)這種基本數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)和掌握． 3．至于列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵在于用分式表示一些基本數(shù)量關(guān)系的能力，這一點(diǎn)解決好了，剩下的就是和用整式方程解應(yīng)用題類似的問題了．雖然如此，在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，還是應(yīng)當(dāng)結(jié)合典型問題的研究，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力． [好例盤點(diǎn)] ［例1］（2007·黃岡）下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是（ ） A、 B、 C、 D、． 解析：A是用分式的基本性質(zhì)分子與分母同

5、時(shí)乘以的 c,B是約分可以得到，C是分子與分母同時(shí)乘以10． 答案：D 點(diǎn)評(píng)：考查分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)就可以直接得． ［例2］（2007·茂名）若實(shí)數(shù)滿足，則． 解析：本題直接可以看到a、b異號(hào)，從而去絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行化簡． 答案：-1． 點(diǎn)評(píng)：要注意題中的已知條件，挖掘題中的隱含條件． ［例3］（2007·聊城）先化簡，再求值： ，其中． 解析： ．． 答案： 當(dāng)時(shí)，原式． 點(diǎn)評(píng)：正確進(jìn)行分子、分母分解因式以及熟練運(yùn)用分式的乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵。分式的乘除運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是約分． ［例4］（2007·貴陽）方程的解為 ． 解析：

6、用比例的性質(zhì)可以直接得到，x=2x-4，再移項(xiàng)合并得到x=4， 最后檢驗(yàn)就可以得解． 答案： 4 點(diǎn)評(píng)：分式方程的解法的運(yùn)用，主要就防止漏檢驗(yàn)． ［例5］（2007·廣東）某文具廠加工一種學(xué)生畫圖工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技術(shù)，使每天的工作效率是原來的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，求該文具廠原來每天加工多少套這種學(xué)生畫圖工具？ 解析：設(shè)該文具廠原來每天加工x套，依據(jù)題意得， 解得x = 100 ． 經(jīng)檢驗(yàn)x = 100是原方程的解， 答案：該文具廠原來每天加工100套． 點(diǎn)評(píng)：要建立分式

7、方程的關(guān)系式，通過本題已知與未知的關(guān)系可以很容易得解．在解分式方程應(yīng)用題時(shí)要注意正確理解題意去建立方程；還要注意檢驗(yàn)的含義：一方面要檢驗(yàn)解適合方程另一方面還要檢驗(yàn)是否符合題意，方能準(zhǔn)確得解． 考點(diǎn)精析 [重要考點(diǎn)1] 分式的概念 理解分式的基本知識(shí)，對(duì)于其相關(guān)的應(yīng)用有很多幫助，要求學(xué)生弄清楚它的含義． [例1]（2006，重慶）使分式有意義的的取值范圍是（ ） （A） ． （B） ． （C） ． （D）． 思路點(diǎn)撥：考查分式有意義的條件是分母不為0. 解答:B 易混點(diǎn)辨析:混淆分式有意義與無意義的條件或者把分母不為0錯(cuò)解為分母中的字母不

8、為0. [重要考點(diǎn)2] 分式的基本性質(zhì) 主要要弄清基本性質(zhì)是進(jìn)行分式化簡運(yùn)算的基礎(chǔ)，要掌握其基本實(shí)質(zhì)，才能靈活運(yùn)用． [例2]（2005，南充）化簡　的結(jié)果是（ ） （A）． (B)—． (C)— ． (D) ． 思路點(diǎn)撥：考查利用分式的基本性質(zhì)約分 解答:C 易混點(diǎn)辨析:①忽視所乘或所除以的整式不為0的約束,②錯(cuò)用分子、分母中部分項(xiàng)同乘或同除以整式, ③對(duì)分式的約分和通分的步驟不熟悉. [重要考點(diǎn)3] 分式的運(yùn)算 一要弄清分式運(yùn)算的基本理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，二要弄清其運(yùn)算的基本要求． [例3]（2006，

9、樂山）計(jì)算的結(jié)果是（ ） （A）． (B) ． (C)1． (D) ． 思路點(diǎn)撥：考查利用分式的加法運(yùn)算 解答:D [例4]（2007，南充）化簡： 思路點(diǎn)撥：利用分解因式，再進(jìn)行約分 解答：解：原式 　　　　 　　　　 [例5]．（2006，宜賓）化簡求值：，其中. 思路點(diǎn)撥：考查利用分式的混合運(yùn)算以及求代數(shù)式的值. 分式的混合運(yùn)算應(yīng)遵循：先乘方、再乘除、最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里的運(yùn)算順序,在每一步計(jì)算時(shí)應(yīng)弄清計(jì)算順序以及計(jì)算法則, 解:原式 當(dāng)時(shí)， 原式 ． 易混點(diǎn)辨析:.①對(duì)分式運(yùn)算法則掌握得不夠熟練,計(jì)算時(shí)不講

10、算理,②沒有分清計(jì)算順序盲目計(jì)算. ③計(jì)算結(jié)果應(yīng)化為最簡分式或整式. [重要考點(diǎn)4]解簡單分式方程與它的相關(guān)的應(yīng)用．是屬于靈活運(yùn)用型題目． [例6]（2007，成都）解方程：. 思路點(diǎn)撥：去分母即成或則用比例關(guān)系也可以化簡為整式方程． 答案：x=-5． [例7]（2007年·瀘州）先將式子化簡，然后請(qǐng)你自選一個(gè)理想的x值求出原式的值． 思路點(diǎn)撥：分式運(yùn)算與分解因式的綜合運(yùn)用，即可得解. 答案：原式= 取值要在x≠1情況下就可以了. [例8]（2006年·眉山）解方程：． 思路點(diǎn)撥： 1+3(x-2)=x-1 X=2 經(jīng)檢驗(yàn)：x=

11、2 是原方程的增根。 答案：原方程沒有解 ［易混點(diǎn)辨析］解分式方程在去分母是漏乘一些整式項(xiàng)，也有在解分式方程時(shí)漏掉檢驗(yàn)這個(gè)步驟，對(duì)增根要學(xué)會(huì)舍棄. [重要考點(diǎn)5] 列分式方程解簡單應(yīng)用題. 在學(xué)習(xí)過程中要能靈活掌握基本模型，要做到運(yùn)用自如的建立自己的模型． [例9]（2006年·南充）A、B兩城鐵路長240千米，為使行駛時(shí)間減少20分，需要提速10千米／時(shí)，但在現(xiàn)有條件下安全行駛限速100千米／時(shí)，問能否實(shí)現(xiàn)提速目標(biāo)． 思路點(diǎn)撥：設(shè)提速后行駛的速度為x千米每小時(shí)，由題意得： 整理：x2-10x-7200=0 解之 x1=90 x2=-80 經(jīng)檢驗(yàn)：x1=90 x2=-

12、80都是原方程的解， 但x2=-80不符合題意，應(yīng)舍去， x=90＜100。驗(yàn)證符合. 答案：能完成提速目標(biāo). [例10]某公司投資某個(gè)工程項(xiàng)目，現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)有能力承包這個(gè)項(xiàng)目．公司調(diào)查發(fā)現(xiàn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成工程的時(shí)間是甲隊(duì)的倍；甲、乙兩隊(duì)合作完成工程需要天；甲隊(duì)每天的工作費(fèi)用為元、乙隊(duì)每天的工作費(fèi)用為元．根據(jù)以上信息，從節(jié)約資金的角度考慮，公司應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)、應(yīng)付工程隊(duì)費(fèi)用多少元？ 解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成需要天．根據(jù)題意得 　　　　， 　　　　解得　?。? 　　　　經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且，都符合題意． 　　　應(yīng)付甲隊(duì)（元）． 　　　　應(yīng)付乙隊(duì)（元）．

13、 　公司應(yīng)選擇甲工程隊(duì)，應(yīng)付工程總費(fèi)用元． ［易混點(diǎn)辨析］要注意解分式方程的應(yīng)用題，一方面要檢驗(yàn)解與所列方程是否相符，還要檢驗(yàn)它與實(shí)際問題是否相符，不要漏掉這兩個(gè)檢驗(yàn)步驟，否則不能正確作出答案． [例10]（2006年·巴中）已知方程的解是k，求關(guān)于x的方程的解． 思路點(diǎn)撥：先求出k再求x . 答案：k=2， x1=0，x2=－2． ［易混點(diǎn)辨析］此類題目一方面要注意找出合理的相等關(guān)系式，建立方程，解方程防止過失錯(cuò)誤；另一方面要注意答案數(shù)據(jù)與實(shí)際應(yīng)用題目的合理性；當(dāng)然還要注意漏根的現(xiàn)象發(fā)生. 全真檢測(cè) (測(cè)試時(shí)間30分鐘,共題,答對(duì)___題,正確率___%)

14、 1．(2007，自貢) 下列計(jì)算正確的是（　D?。? （A） （B） （C） （D）． 2．（2006，綿陽）使分式　的值為零的x的值是（　B ） （A）2 ． (B)-2 ． (C)2或-2． (D)0． 3．（2007，南充）如果分式的值為0，那么x為（　D?。? （A）－2 ．（B）0 ． （C）1 ． （D）2 ． 4．（2005，雅安）計(jì)算+＝ 0 ． 5．（2007，樂山）當(dāng)時(shí)，求的值． 解：原式 當(dāng)時(shí)，原式 6．（2007，綿陽）化簡：，并指出x的取值范圍． 解：原式=， x的取值范圍是x≠－2且x

15、≠1的實(shí)數(shù)． 7． （2007，懷化）解方程． 解： 去分母得： 解得： 經(jīng)檢驗(yàn)可知，是原方程的增根 原方程無解 8．（2005年·資陽）已知某項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)合做12天可以完成，共需工程費(fèi)用13800元，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間的2倍少10天，且甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多150元； （1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要多少天？ （2）若工程管理部門決定從這兩個(gè)隊(duì)中選　一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，以節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)？（請(qǐng)說明理由）． 解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成需x天，則乙隊(duì)單獨(dú)完成需要（2x－10）天， 根據(jù)

16、題意：＋＝ 解得：x1=3　（舍去） x2=20 所以：乙隊(duì)單獨(dú)完成需要2x－10＝30（天） 答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要20、30天 （2）設(shè)甲隊(duì)每天的費(fèi)用為y元，則12y＋12（y－150）＝138000，解得y＝650 所以：甲隊(duì)需工程費(fèi)用：650×20 = 13000 （元） 而 乙對(duì)需工程費(fèi)用：650×30 = 15000（元） 因?yàn)椋?3000<15000 所以：以節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)該選擇甲工程隊(duì)． 9．（2007，眉山）某種長途電話的收費(fèi)方式如下：接通電話的第一分鐘收費(fèi)a元，之后的每一分鐘收費(fèi)b元．如果某人打該長途電話被收費(fèi)8元錢，則此人打長途電

17、話的時(shí)間是( C )． A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘． 10．（2006，樂山）計(jì)算的結(jié)果是（ D ） A、 B、 C、1 D、－1． 11．（2007，眉山）計(jì)算：十a(chǎn)十b． 解：原式= 12．（2007，資陽）方程的解是____x=3____． 13．（2007，資陽）化簡求值：，其中x=－． 解：原式= = =-x2-x+2 . 當(dāng)x=時(shí)， 原式= = . 命題規(guī)律及復(fù)習(xí)策略 [命題規(guī)律1] 主要考查學(xué)生對(duì)分式基本性質(zhì)的運(yùn)用的靈活度，要求弄清它

18、的實(shí)質(zhì)，并能靈活應(yīng)用；如[全真檢測(cè)]題1，就是對(duì)分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，也要注意與相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)的混合考查． [復(fù)習(xí)策略1]要在平時(shí)的基本功學(xué)習(xí)中要徹底地明白分式的基本性質(zhì)的含義與靈活使用方法步驟，要能舉一反三． [命題規(guī)律2]對(duì)分式本身的性質(zhì)應(yīng)用考查也是中考中必不可少的主要內(nèi)容，特別是對(duì)分式的值與分式存在的意義的綜合考查就靈活多樣了，如[全真檢測(cè)]題2，在得到使分式的值為0的x的值的時(shí)候，要特別注意考察分母為0否，否則就會(huì)失分． [復(fù)習(xí)策略2] 當(dāng)然要掌握分式的定義及分式本身性質(zhì)的討論的基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)平時(shí)數(shù)學(xué)思維模式的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性． [命題規(guī)律3]分式的綜合運(yùn)算主要是加減、乘除、

19、乘方開方的混合運(yùn)算，一要注意各式里的符號(hào)，二要注意運(yùn)算順序，當(dāng)然基本知識(shí)得徹底掌握；如[全真檢測(cè)]題4、題5、題6、題7，要小心運(yùn)算。才能萬無一失得滿分． [復(fù)習(xí)策略3]加強(qiáng)平時(shí)基本技能的訓(xùn)練，弄懂基本計(jì)算順序與法則，同時(shí)要在符號(hào)的變化、基本公式的運(yùn)用、約分通分等方面培養(yǎng)學(xué)生的能力． [命題規(guī)律4]分式方程的解法及根（增根）的應(yīng)用，在中考中要引起重視，它既是全面考查解方程的基本技能，又要考查去分母是產(chǎn)生增根的原因；所以這一技能必須認(rèn)真掌握，如[全真檢測(cè)]題8，它要防止增根也要防止漏根． [復(fù)習(xí)策略4]要學(xué)生弄清分式方程的解法步驟和熟練的解題技能，同時(shí)要弄明白增根是分式方程的特有的狀況，必

20、須驗(yàn)根，養(yǎng)成思考問題的全面性． [命題規(guī)律5]列分式方程解應(yīng)用題，也是必考內(nèi)容，它的要求跟列一次方程、二次方程解原因題一樣，徹底掌握；如[全真檢測(cè)]題9，只要弄清反比關(guān)系，就能很清楚的找到答案． [復(fù)習(xí)策略5]分式方程的應(yīng)用題，關(guān)鍵是要讀懂題意，建立方程；要培養(yǎng)學(xué)生善于思考，善于挖掘已知、未知兩者的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)思維完成數(shù)學(xué)實(shí)際問題的解答；同時(shí)要注意：“生活、設(shè)計(jì)、決策、銷售、開放探索”等方面為背景的應(yīng)用題，是數(shù)學(xué)問題的熱點(diǎn)． 2008考勢(shì)預(yù)測(cè)精練 [復(fù)習(xí)策略]（針對(duì)性訓(xùn)練1～4題） 1、分式的值為零，則x＝ -2 ； 當(dāng) a < 0 時(shí)，分式的

21、值為負(fù)？ 2、函數(shù)的定義域是 x ≠ 3 3、若a=則　的值等于　－ ． 4、若+=2則的值等于 ． [復(fù)習(xí)策略]（針對(duì)性訓(xùn)練5～8題） 5、下列運(yùn)算中，其中正確的是（ D 　） （A）+=． （B） =a3．　　 （C）= a+b． （D）=． 6．若分式無論x取何值都有意義，則m的取值范圍是（ C ）． (A) m1． (B) m1 ． (C)m>1． (D)m<1． 7．分式化簡正確是( A ) (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． 8．方程　=的解是（　D

22、　） （A）1．?。˙）－1．?。–）1．?。―）0． 9．若分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則此分式的值 （ A ） （A）不變 ． （B）是原來的3倍． （C）是原來的 ．（D）是原來的 ． [復(fù)習(xí)策略]（針對(duì)性訓(xùn)練10～12題） 10、先化簡代數(shù)式(—)÷，然后請(qǐng)你自取一組a ,b的值代入計(jì)算（注意所取的值要使原式有意義?。? 解:原=[-].] =．= a+b　 要使原式有意義 ∴當(dāng) a≠-b a≠b a≠0 b≠0 的任意數(shù)字即可 11．如果關(guān)于x的方程=1—無解，求m的值． 解：由已知得，方程增根為x＝3，把原方程整式化

23、為2＝x-3-m即x=5+m，雖然增根x＝3，不適合原分式方程，但是整式方程x=5+m的根， 所以把x=3代入x=5+mt 得到m=-2. 12．解方程=-3． 解：去分母得1=-(1-x)-3(x-2) 整理得2x=4 x=2 經(jīng)檢驗(yàn)，x = 2是方程的增根 ∴原方程沒有解. [復(fù)習(xí)策略]（針對(duì)性訓(xùn)練13～14題） 13．我市政公司，為了改變部分街道面積水嚴(yán)重問題，決定將一總長為1200m的排水工程承包給甲、乙兩工程隊(duì)來施工，若甲、乙兩隊(duì)合做，需12天完成此項(xiàng)工程；甲隊(duì)先做8天后，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)做還需18天才能完工； （1）問甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各

24、需多少天？ （2）若已知甲隊(duì)施工一天需要費(fèi)用2萬元，乙隊(duì)施工一天需要費(fèi)用1萬元，要使完成該工程的所需要費(fèi)用不超過35萬元，則乙工程隊(duì)至少要施工多少天？ 解：（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程分別需要x天、y天，由題意得： 解之： 　經(jīng)檢驗(yàn)知它們適合方程組和題意. （2）甲隊(duì)每天施工1200/20＝60米 m，乙隊(duì)每天施工1200/30＝40m 又設(shè)甲、乙兩隊(duì)實(shí)際完成此項(xiàng)工程分別需要a 天、b天，由題意得 解之得b15 答：乙工程隊(duì)至少要施工15天. 14. 解答一個(gè)問題后，將結(jié)論作為條件之一，提出與原問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原問題的一個(gè)“逆向”問題．例如，原問題是“若矩形的兩邊長分別為3和4，求矩形的周長”，求出周長等于14后，它的一個(gè)“逆向”問題可以是“若矩形的周長為14，且一邊長為3，求另一邊的長”；也可以是“若矩形的周長為14，求矩形面積的最大值”，等等． （1）設(shè)A＝－，B＝，求A與B的積； （2）提出（1）的一個(gè)“逆向”問題，并解答這個(gè)問題． 解: （1）A×B = (－)× = =2x+8 (2)略.