【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 13.5 復(fù)數(shù)1導(dǎo)學(xué)案 理 北師大版

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1、 §13.5　復(fù)　數(shù) 2014高考會這樣考　1.考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)相等的條件；2.考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.復(fù)習(xí)時要理解復(fù)數(shù)的相關(guān)概念如實(shí)部、虛部、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義；2.要把復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，尤其是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等．因考題較容易，所以重在練基礎(chǔ)． 1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝

2、c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復(fù)平面 建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫作復(fù)平面．x軸叫作實(shí)軸，y軸叫作虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)． (5)復(fù)數(shù)的模 向量的模r叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加

3、、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，則 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝ ＝＋i(c＋di≠0)． (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1．對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi必須滿足a、b

4、均為實(shí)數(shù)，才能得出實(shí)部為a，虛部為b.對于復(fù)數(shù)相等必須先化為代數(shù)形式才能比較實(shí)部與虛部． 2．復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算及性質(zhì)． 1．i是虛數(shù)單位，則＋i＝________. 答案　＋i 解析?。玦＝＋i＝＝＋i. 2．若復(fù)數(shù)(1＋i)(1＋ai)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 答案　1 解析　由(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(a＋1)i是純虛數(shù)得，由此解得a＝1. 3．復(fù)數(shù)(3＋4i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限

5、 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　由于(3＋4i)i＝－4＋3i，因此該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(－4,3)，相對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，選B. 4．(2011·浙江)把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作，i為虛數(shù)單位．若z＝1＋i，則(1＋z)·等于(　　) A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3 答案　A 解析　(1＋z)·＝(2＋i)·(1－i)＝3－i. 5．(2012·北京)設(shè)a，b∈R.“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的 (　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件

6、 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　當(dāng)a＝0，且b＝0時，a＋bi不是純虛數(shù)；若a＋bi是純虛數(shù)，則a＝0. 故“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件. 題型一　復(fù)數(shù)的概念 例1　(1)已知a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為(　　) A．1 B．i C. D．0 (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 思

7、維啟迪：(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則b＝0時，z∈R；b≠0時，z是虛數(shù)；a＝0且b≠0 時，z是純虛數(shù)． (2)直接根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解． 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)由＝＝＝＋i是純虛數(shù)，得a＝1，此時＝i，其 虛部為1. (2)由， 解得m＝－2或m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件． 探究提高　處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來處理． 　(1)若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為 (　　) A．－1 B．0 C．1

8、 D．－1或1 (2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2－3i)＝6＋4i(i為虛數(shù)單位)，則z的模為________． 答案　(1)A　(2)2 解析　(1)由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)， 得，解得x＝－1，故選A. (2)方法一　∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝＝＝2i， ∴|z|＝2. 方法二　由z(2－3i)＝6＋4i，得z＝. 則|z|＝＝＝＝2. 題型二　復(fù)數(shù)的運(yùn)算 例2　已知z1，z2為復(fù)數(shù)，(3＋i)z1為實(shí)數(shù)，z2＝，且|z2|＝5，求z2. 思維啟迪：兩種思路解此類問題：一是設(shè)出z1、z2，然后代入解方程；二是利用整體代換的思想求解． 解　z1＝z2(2＋i)，

9、 (3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R， ∵|z2|＝5， ∴|z2(5＋5i)|＝50， ∴z2(5＋5i)＝±50， ∴z2＝±＝±＝±(5－5i)． 探究提高　復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實(shí)數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結(jié)論的應(yīng)用． 　(1)已知復(fù)數(shù)z＝，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·＝________. (2)復(fù)數(shù)的值是________． (3)已知復(fù)數(shù)z滿足＝2－i，則z＝__________. 答案　(1)　(2)－16　(3)－－i 解析　(1)方法一　|z|＝＝， z·＝

10、|z|2＝. 方法二　z＝＝－＋， z·＝＝. (2)＝ ＝24·＝－16. (3)由＝2－i， 得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i. 題型三　復(fù)數(shù)的幾何意義 例3　如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求： (1)、所表示的復(fù)數(shù)； (2)對角線所表示的復(fù)數(shù)； (3)求B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)． 思維啟迪：結(jié)合圖形和已知點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)，根據(jù)加減法的幾何意義，即可求解． 解　(1)＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i. ∵＝，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i. (2)＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

11、 (3)＝＋＝＋， ∴所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i. 探究提高　根據(jù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論． 　已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)z＝x＋yi(x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由題意得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(

12、12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根據(jù)條件，可知， 解得2

13、 故所求復(fù)數(shù)為 或或或.[12分] 溫馨提醒　(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法． (2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解．這是常用的數(shù)學(xué)方法． (3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解. 方法與技巧 1．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過程． 2．在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合． 3．要記住一些常用的結(jié)果，如i、－＋i的有關(guān)性質(zhì)等，可簡化運(yùn)算步驟提高

14、運(yùn)算速度． 失誤與防范 1．判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義． 2．對于復(fù)系數(shù)(系數(shù)不全為實(shí)數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立．因此解此類方程的解，一般都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解． 3．兩個虛數(shù)不能比較大?。? 4．利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件． 5．z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立，例如：當(dāng)z＝3i時z2＝－9<0. A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2012·廣東)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)等于

15、(　　) A．6＋5i B．6－5i C．－6＋5i D．－6－5i 答案　D 解析　＝＝－(5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i，故選D. 2．(2012·山東)若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為 (　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案　A 解析　∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. 3．(2012·福建)若復(fù)數(shù)z滿足zi＝1－i，則z等于 (　　) A．－1－i B．1－i C．－1＋i

16、 D．1＋i 答案　A 解析　方法一　由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i. 方法二　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i， 得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i. 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得即 ∴z＝－1－i. 4．若＝1－bi，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a＋bi|等于 (　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　由＝1－bi得a＝2，b＝－1，所以a＋bi＝2－i， 所以|a＋bi|＝.所以選A. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5．(2012·上海)計算：＝________(i為虛數(shù)單位)

17、． 答案　1－2i 解析?。剑剑?－2i. 6．(2012·江蘇)設(shè)a，b∈R，a＋bi＝(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________． 答案　8 解析　∵＝＝(25＋15i)＝5＋3i， ∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝8. 7．已知復(fù)數(shù)z滿足＝1－2i，則復(fù)數(shù)z＝____________. 答案?。玦 解析　z＝＝＝＝－＋i. 三、解答題(共22分) 8．(10分)(2011·上海)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2. 解　(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i. 設(shè)z2＝a＋2i

18、，a∈R， 則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i. 9．(12分)復(fù)數(shù)z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值． 解　1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i ＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ＝＋(a2＋2a－15)i. ∵1＋z2是實(shí)數(shù)， ∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15

19、分) 1．(2012·湖北)方程x2＋6x＋13＝0的一個根是 (　　) A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i 答案　A 解析　方法一　x＝＝－3±2i，故應(yīng)選A. 方法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0， 即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0， ∴解得 即x＝－3±2i，故應(yīng)選A. 2．設(shè)f(n)＝n＋n(n∈N*)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為 (　　) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個 答案　C 解析　f(n)＝n

20、＋n＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，… ∴集合中共有3個元素． 3．對任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是 (　　) A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2 C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 答案　D 解析　∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正確； 對于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正確； ∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正確； 對于D，|z|＝≤|x|＋|y|，故D正

21、確． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4．(2012·湖南)已知復(fù)數(shù)z＝(3＋i)2(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 答案　10 解析　方法一　∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝10. 方法二　∵z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i， ∴|z|＝＝10. 5．(2011·江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝－3＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部是________． 答案　1 解析　設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i， 得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1. 6．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，

22、且|z－2|＝，則的最大值為________． 答案　 解析　∵|z－2|＝ ＝， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由圖可知max＝＝. 三、解答題 7．(13分)已知復(fù)數(shù)z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值時的z. 解　方法一　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)， ∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4， |z－i|＝|x＋yi－i| ＝|x＋(y－1)i|＝ ＝＝. ∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2. 故當(dāng)y＝－2時，5－2y取得最大值9，從而取得最大值3，此時x＝0，即|z－i|取得最大值3時，z＝－2i. 方法二　類比實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義，可知方程|z|＝2表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，而|z－i|表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)A(0,1)的距離．如圖，連接AO并延長與圓交于點(diǎn)B(0，－2)，顯然根據(jù)平面幾何的知識可知，圓上的點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離最大，最大值為3，即當(dāng)z＝－2i時，|z－i|取最大值3. 11