【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 12.5 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 理 北師大版

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1、 學(xué)案67　二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.3.能解決一些簡單的實(shí)際問題． 自主梳理 1．條件概率及其性質(zhì) (1)設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率． (2)條件概率具有的性質(zhì)： ①__________________； ②如果B和C是兩個互斥事件，則 P(B∪C|A)＝________________. 2．相互獨(dú)立事件 (1)設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B____________

2、. (2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝______， P(AB)＝________________＝________________. (3)若A與B相互獨(dú)立，則________________，________________，________________也都相互獨(dú)立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則________________． 3．二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的． (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示

3、事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．記作____________． 自我檢測 1．兩人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為，，則密碼被譯出的概率為(　　) A．0.45 B．0.05 C．0.4 D．0.6 2．(2011·三明月考)一學(xué)生通過一種英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是(　　) A. B. C. D. 3．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B，則P(X＝2)等于(　　) A. B.

4、 C. D. 4．已知P(AB)＝，P(A)＝，則P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 5．(2011·臨沂調(diào)研)一次測量中出現(xiàn)正誤差和負(fù)誤差的概率都是，在5次測量中至少3次出現(xiàn)正誤差的概率是(　　) A. B. C. D. 探究點(diǎn)一　條件概率 例1　在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件．試求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 變式遷移1　1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5

5、個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，問： (1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？ (2)從2號箱取出紅球的概率是多少？ 探究點(diǎn)二　相互獨(dú)立事件 例2　(2011·寧波模擬)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員，分別對一目標(biāo)射擊一次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求 (1)兩人都射中的概率； (2)兩人中恰有一人射中的概率； (3)兩人中至少一人射中的概率； (4)兩人中至多一人射中的概率． 變式遷移2　甲、乙、丙三人分別

6、獨(dú)立做一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人全做錯的概率是. (1)求乙、丙兩人各自做對這道題的概率； (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做對這道題的概率． 探究點(diǎn)三　獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 例3　(2010·天津漢沽一中月考)將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣?，小? 在下落過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是. (1)求小球落入A袋中的概率P(A)； (2)在容器入口處依次放入4個小球，記ξ為落

7、入A袋中小球的個數(shù)，試求ξ＝3的概率． 變式遷移3　粒子A位于數(shù)軸x＝0處，粒子B位于數(shù)軸x＝2處，這兩顆粒子每隔1秒鐘向左或向右移動一個單位，設(shè)向右移動的概率為，向左移動的概率為. (1)求4秒后，粒子A在點(diǎn)x＝2處的概率； (2)求2秒后，粒子A、B同時在x＝2處的概率． 1．一般地，每一個隨機(jī)試驗(yàn)都在一定的條件下進(jìn)行，而這里所說的條件概率，則是當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果的一部分信息已知(即在原隨機(jī)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，再加上一定的條件)，求另一事件在此條件下發(fā)生的概率．求條件概率，

8、必須理解條件概率的定義及公式，公式中的P(AB)是指事件A、B同時發(fā)生的概率． 2．一般地，事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即P(B|A)＝P(B)，這時，我們稱兩個事件A、B相互獨(dú)立，并把這兩個事件叫做相互獨(dú)立事件．事件的獨(dú)立是一種對等的性質(zhì)．如果事件A對事件B獨(dú)立，那么就可以說事件A與B相互獨(dú)立．顯然，必然事件與任何事件是相互獨(dú)立的． 3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的． 4．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的特點(diǎn)：關(guān)于Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，它是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是

9、重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)，p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n、p、k的意義，才能正確運(yùn)用公式． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2010·湖北)投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 2．(2011·溫州月考)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動：質(zhì)點(diǎn)每次移動一個單位；移動的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移動的概率都?質(zhì)點(diǎn)P移動五次后位于點(diǎn)(2,3)

10、的概率是(　　) A.5 B．C5 C．C3 D．CC5 3．設(shè)每門高射炮擊中飛機(jī)的概率為0.6，今有一架飛機(jī)來犯，問需要幾門高射炮射擊，才能至少以99%的概率擊中它(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 4．(2011·合肥模擬) 一個電路如圖所示，A、B、C、D、E、F為6個開關(guān)，其閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是(　　) A. B. C. D. 5．同時拋擲三顆骰子：設(shè)A＝“三個點(diǎn)數(shù)都不相同”，B＝“至少有一個6點(diǎn)”，則P(B|A)為(　　) A. B. C. D.

11、 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·湖北)一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9，則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為________(用數(shù)字作答)． 7．(2010·重慶)加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為、、，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________． 8．(2010·福建)某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于__

12、____． 三、解答題(共38分) 9．(12分)一名學(xué)生騎車從家到學(xué)校的途中有6個路口，假設(shè)他在每個路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且概率都為.求： (1)這名學(xué)生在途中遇到紅燈次數(shù)ξ的分布列； (2)這名學(xué)生首次遇到紅燈或到達(dá)目的地而停車時所經(jīng)過了的路口數(shù)η的分布列； (3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率． 10．(12分)(2011·六安模擬)設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0實(shí)根的個數(shù)(重根按一個計(jì))． (1)求方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率； (2)求ξ的分布列； (

13、3)求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率． 11．(14分)甲、乙兩個乒乓球選手進(jìn)行比賽，他們的水平相當(dāng)，規(guī)定“七局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局，求：(1)乙取勝的概率； (2)比賽打滿七局的概率； (3)設(shè)比賽局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列． 學(xué)案67　二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 自主梳理 1．(2)①0≤P(B|A)≤1?、赑(B|A)＋P(C|A)　2.(1)相互獨(dú)立　(2)P(B)　P(B|A)P(A)　P(A)P(B)　(3)A與　與B　與　(4)A與B相

14、互獨(dú)立　3.(2)X～B(n， p) 自我檢測 1．C　2.C　3.D　4.B　5.D　 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　求條件概率的通常方法是利用條件概率公式P(B|A)＝.這就需要求P(AB)和P(A)．如果事件具有等可能特點(diǎn)，還可以看作是基本事件空間改變后的古典概型，利用P(B|A)＝來計(jì)算． 解　設(shè)A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}． (1)P (A)＝＝. (2)方法一　根據(jù)條件概率的定義計(jì)算，需要先求出事件AB的概率：P(AB)＝×， 所以有P(B|A)＝＝＝. 方法二　事件A發(fā)生的條件下，事件空間包含的基本事件個數(shù)為nA＝100－1＝99個．

15、 事件A發(fā)生的條件下，事件B包含4個基本事件． ∴P(B|A)＝＝. 變式遷移1　解　記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球； 事件B：從1號箱中取出的是紅球． 則P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝， (1)P(A|B)＝＝. (2)∵P(A|)＝＝， ∴P(A)＝P(AB)＋P(A) ＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝. 例2　解題導(dǎo)引　(1)審題應(yīng)注意關(guān)鍵的詞句，例如“至少有一個發(fā)生”、“至多有一個發(fā)生”、“恰好有一個發(fā)生”等． (2)復(fù)雜事件的概率拆分為幾個互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式進(jìn)行求解． (3)求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率

16、的方法主要有： ①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式； ②正面計(jì)數(shù)較繁或難以入手時，可以從對立事件入手計(jì)算． 解　(1)記事件A：甲射中目標(biāo)； 事件B：乙射中目標(biāo)． 兩人都射中的概率為 P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)兩人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”兩種情況，其對應(yīng)事件為互斥事件，則 P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26. (3)方法一　兩人至少有一人射中包括“兩人都射中”和“兩人有一人射中”兩種情況，其概率為P(AB)＋P(B

17、)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P() ＝0.72＋0.26＝0.98. 方法二　因?yàn)椤皟扇酥辽儆幸蝗松渲小迸c“兩人都未射中”互為對立事件． 所以“兩人至少有一人射中”的概率為： 1－P( )＝1－P()P()＝1－0.2×0.1＝0.98. (4)方法一　至多有一人射中包括“有一人射中”和“兩人都未射中”，故所求概率為 P( )＋P(A)＋P(B) ＝P()P()＋P(A)P()＋P()P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. 方法二　“至多有一人射中”的對立事件為“兩人都射中”， 故所求概率為1－P(AB)＝1－P(A)P(B) ＝

18、1－0.72＝0.28. 變式遷移2　解　(1)設(shè)甲、乙、丙三人各自做對這道題分別為事件A、B、C，則P(A)＝， 由題意得， 解得P(B)＝，P(C)＝或P(B)＝，P(C)＝， 所以乙、丙兩人各自做對這道題的概率為和或和. (2)設(shè)“甲、乙、丙三人恰有一人做對這道題”為事件D，則 P(D)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋ P()P()P(C)＝＋＋＝， 所以甲、乙、丙三人恰有一人做對這道題的概率是. 例3　解題導(dǎo)引　因?yàn)樾∏蛎看斡龅胶谏系K物相互獨(dú)立，且每次向左(或向右)的概率都是，因此該試驗(yàn)屬n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意n＝3，P＝. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的

19、條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)．在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的． 解　(1)方法一　記小球落入B袋中的概率P(B)， 則P(A)＋P(B)＝1，由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球?qū)⒙淙隑袋， 所以P(B)＝3＋3＝， ∴P(A)＝1－＝. 方法二　由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球?qū)⒙淙階袋． ∴P(A)＝C3＋C3＝. (2)由題意，ξ～B. ∴P(ξ＝3)＝C31＝. 變式遷移3　解　(1)要求4秒后，粒子A在x

20、＝2處的概率，即求粒子A四次移動中恰有三次向右移動發(fā)生的概率： C()3()＝. (2)要使粒子A、B在2秒后同時在點(diǎn)x＝2處，粒子A一定要往右移動2次，而粒子B往右和左各一次，所求概率為：2·C＝. 課后練習(xí)區(qū) 1．C　2.B　3.D　4.B　5.A 6．0.947 7　7.　8.0.128 9．解　(1)由已知ξ～B， 分布列為P(ξ＝k)＝Ck6－k， k＝0,1,2,3，…，6.(2分) 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (4分) (2)η＝k表示這名學(xué)生首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，即在前k個路口沒有遇

21、上紅燈，但在第k＋1個路口遇上紅燈，則η的取值可能為0,1,2,3,4,5,6，其中η＝6表示路上沒有遇上紅燈． 當(dāng)0≤k≤5時，P(η＝k)＝·k； 當(dāng)k＝6時，P(η＝6)＝6.(9分) 所以η的分布列為 η 0 1 2 3 4 5 6 P · ·()2 ·()3 ·()4 · ()5 ()6 (10分) (3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件概率為 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－()6＝.(12分) 10．解　(1)基本事件總數(shù)為6×6＝36，若使方程有實(shí)根，則Δ＝b2－4c≥0，即b≥2. 當(dāng)c＝1時，b＝2,3,4,5,6；

22、 當(dāng)c＝2時，b＝3,4,5,6； 當(dāng)c＝3時，b＝4,5,6； 當(dāng)c＝4時，b＝4,5,6； 當(dāng)c＝5時，b＝5,6； 當(dāng)c＝6時，b＝5,6， 所求事件個數(shù)為5＋4＋3＋3＋2＋2＝19， 因此方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為.(4分) (2)由題意知，ξ＝0,1,2，則P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝， 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P (8分) (3)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M， “方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根”為事件N， 則P(M)＝，P(M∩N)＝， P(N|M)＝＝.(12分) 11．解　(

23、1)當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：第一種是乙連勝四局；第二種是在第三局到第六局，乙贏了三局，第七局乙贏． 在第一種情況下，乙取勝的概率為4＝， 在第二種情況下，乙取勝的概率為C4＝， 所以當(dāng)甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率為 ＋＝.(5分) (2)比賽打滿七局有兩種結(jié)果：甲勝或乙勝，記“比賽打滿七局甲勝”為事件A，記“比賽打滿七局乙勝”為事件B. 則P(A)＝C4＝， P(B)＝C4＝， 又A，B互斥，所以比賽打滿七局的概率為 P(A)＋P(B)＝.(9分) (3)P(ξ＝4)＝2＝， P(ξ＝5)＝C2＝， P(ξ＝6)＝C3＋4＝， P(ξ＝7)＝C4＋C4·＝，(13分) 所以ξ的分布列為 ξ 4 5 6 7 P (14分) 10