2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第三部分專(zhuān)題二 函數(shù)和反函數(shù)

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1、 2012考前沖刺數(shù)學(xué)第三部分 【高考預(yù)測(cè)】 1.函數(shù)的定義域和值域 2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 3.函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用 4.反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用 5.借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式 6.綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題 7.反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)1 函數(shù)的定義域和值域 1．(2012模擬題精選)對(duì)定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)= (1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2，寫(xiě)出函數(shù)h(x)的解析式; (2)求問(wèn)題(1)中函數(shù)h(x)的值域． 【錯(cuò)誤答案】 (1)∵f(x)的定

2、義域Df為(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定義域Dg為R.∴h(x)= (2)當(dāng)x≠1時(shí)，h(x)==x-1++2≥4．或h(x)= ∈(-∞，0)∪(0，+∞)． ∴h(x)的值域?yàn)?4，+∞)，當(dāng)x=1時(shí)，h(x)=1．綜合，得h(x)的值域?yàn)閧1}∪[4，+∞]． 【錯(cuò)解分析】 以上解答有兩處錯(cuò)誤：一是當(dāng)x∈Df但xDg時(shí)，應(yīng)是空集而不是x≠1．二是求h(x)的值域時(shí)，由x≠1求h(x)=x-1++2的值域應(yīng)分x>1和x<1兩種情況的討論． 【正確解答】 (1)∵f(x)的定義域Df=(-∞，1)∪(1，+∞)·g(x)的定義域是Dg=(-∞，+∞)．所以，h(x)=

3、 (2)當(dāng)x≠1時(shí)，h(x)= ==x-1++2． 若x>1，則x-1>0，∴h(x)≥2+2=4． 當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立． 若x＜1，則x-1<0．∴h(x)=-[-(x-1)- ]+2≤-2+2=0．當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立． 當(dāng)x=1時(shí)，h(x)=1． 綜上，得h(x)的值域?yàn)?-∞，0)∪{1}∪[4，+∞]． 2．(2012模擬題精選)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定義域?yàn)锽. (1)求A； (2)若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． ∵BA，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥或a ≤-2．而a<1，∴≤a≤1或

4、a≤-2， 故當(dāng)BA時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2)∪[，1]． 3．(2012模擬題精選)記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)榧螻．求 集合M，N； 集合M∩N．M∪N. 【錯(cuò)誤答案】 (1)由2x-3＞0解得x＞．∴M={x|x＞}．由1-≥0 得x-1≤x-3∴-1≤-3．∴N= ?． (2)∴M∩N=?．M∪N={x|x>}． A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C.{y|y>0} D．{y|y≥0} 【錯(cuò)誤答案】 選A或B 【錯(cuò)解分析】 錯(cuò)誤地認(rèn)為是求函數(shù)y=2-x和y=

5、的定義域的交集．實(shí)際上是求兩函數(shù)的值域的交集． 【正確解答】 ∵集合中的代表元素為y，∴兩集合表示兩函數(shù)的值域，又∴M={y|y=2-x}={y|y>0}，P={y|y=}={y|y≥0}．∴M∩P={y|y＞0}，故選C． 【特別提醒】 對(duì)于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對(duì)字母酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能為空集。2．求函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用． 【變式探究】 1 若函數(shù)y=lg(4-a·2x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A．(0，+∞) B．(0，2)

6、 C．(-∞，2) D．(-∞，0) 答案：D 解析：∵4-a 2 已知函數(shù)f(x)的值域是[-2，3]，則函數(shù)f(x-2)的值域?yàn)? ( ) A．[-4，1] B．[0,5] C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3] 答案：D 解析：f(x-2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位.因此f(x-2)的值域不變. 3 已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2) (1)若該函數(shù)的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 答案：解析：(1)由題設(shè)，得不等式x2-2mx+m+2>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立， ∴△

7、=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1

8、 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1．已知a≥0，且函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 【錯(cuò)誤答案】 ∵f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a] 又∵f(x)在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立.即ex[x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立． ∵ex>0，g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立． 即或△=4(1-a)2+8a＜0或 解得：a∈?． 故f(x)在[-1，1]上不可能為單調(diào)函數(shù)． 【錯(cuò)解分析】 上面解答認(rèn)為f(x

9、)為單調(diào)函數(shù),f(x)就只能為單調(diào)增函數(shù)，其實(shí)f(x)還有可能為單調(diào)減函數(shù)，因此應(yīng)令f′(x)≥0或f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立． 【正確解答】 f′(x)=ex(x2-2ax)+ex(2x-2a)=ex[x2+2(1-a)x-2a] ∵f(x)在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)． (1)若f(x)在[-1，1]上是單調(diào)遞增函數(shù)． 則f′(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即ex[x2+2(1-a)x-2a]≥0在[-1，1]上恒成立．∵ex>0．∴g(x)=x2+2(1-a)x-2a≥0在[-1，1]上恒成立，則有或△=4(1-a)2+8a＜0或 【錯(cuò)誤答案】 (1

10、)設(shè)-1＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=ax2+ax2-ax1+＞0． ∴f(x)在(-1，+∞)上是增函數(shù)． (2)設(shè)x0為方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根，則有ax0+=0．即ax0==-1+， ① ∵x0≠-1，∴當(dāng)-13，-1+>2，而＜ax0<1 與①矛盾． ∴原方程沒(méi)有負(fù)數(shù)根． 【錯(cuò)解分析】 第(1)問(wèn)錯(cuò)在用定義證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)，沒(méi)有真正地證明f(x2)>f(x1)．而只是象征性地令f(x2)-f(x1)＞0這是許多學(xué)生解這類(lèi)題的一個(gè)通病．第(2)問(wèn)錯(cuò)在把第(1)問(wèn)的條件當(dāng)成第(2)問(wèn)的條件，因而除了上述證明外，還需證明x0<

11、-1時(shí)，方程也沒(méi)有負(fù)根． 【正確解答】 設(shè)-10，又a>1， ∴ax2-x1>1．而-10，x2+1>0． ∴f(x2)-f(x1)＞0 ∴f(x)在(-1，+∞)上為增函數(shù)． (2)設(shè)x0為方程f(x)=0的負(fù)數(shù)根，則有ax0+=0．即ax0=-1+ 顯然x0≠-1， 當(dāng)0＞x0＞-1時(shí)，1＞x0+1＞0，＞3，-1+>2．而-1的解． 當(dāng)x0<-1時(shí)．x0

12、+1＜0<0，-1+＜-1，而ax0>0矛盾．即不存在x0<-1的解． 3．(2012模擬題精選)若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a＞0且a≠1)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ( ) A.[，1] B.[，1] C.[，+∞] D.(1，-) ∵x∈(-，0)∴3x2∈(0，). ∴a≥．此時(shí)(x)>0．∴≤a<1． 當(dāng)a>1時(shí)，(x)在(-，0)上單調(diào)遞增， ∴′(x)=3x2-a≥0在(-，0)上恒成立． ∴a≤3x2在(-，0)上恒成立． 又3x2∈(0，)·∴a≤

13、0與a＞1矛盾． ∴a的取值范圍是[，1]. 故選B. 【特別提醒】 1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域． 2．函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的，如果f(x)在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都是增(減)函數(shù)，不能說(shuō) f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是增(減)函數(shù)． 3．設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在其定義域上也是單調(diào)函數(shù)．若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是增函數(shù)；若y=f(u)，u=g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是減函數(shù)．列出下

14、表以助記憶． y=f(u) u=g(x) y=f[g(x)] ↗ ↗ ↗ ↗ ↘ ↘ ↘ ↘ ↗ ↘ ↗ ↘ 上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”． 【變式探究】 1 函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)

15、+ ∞)根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行求解。 3 如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足f(a+b)=f(a)·f(b)． (1)設(shè)f(1)=k(k≠0)，試求f(n)(n∈N*) 解析(1) 設(shè)當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＞1，試解不等式f(x+5)＞. 答案：(2)對(duì)任意的 ∵f(0)=f(0+0)=f2(0)≠0. ∴f(0)=1, 設(shè)x11,又∵f(x2)>0. ∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2) ?f(x2)>f(x2). ∴f(x)為R上的減函數(shù)，解不等式f(x+5)> ∵f(

16、x)>0, ∴不等式等價(jià)于f(x+5) ?f(x)>1.即f(2x+5)>f(0),又∵f(x)為減函數(shù)，∴2x+5<0. 解得不等式的解集為 4 是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)? 答案：解析：設(shè)(x)=ax2-x=a當(dāng)a>1時(shí)，要使f(x)在區(qū)間[2，4]上是減函數(shù)，則有： ? 當(dāng)0

17、)=x-2．則 ( ) A．f(sin)＜f(cos) B．f(sin)＞f(cos) C．f(sin1)＜f(cos1) D.f(sin)＜f(cos) 【錯(cuò)誤答案】 A 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期．設(shè)x∈[-1，0]知x+4∈[3，4] ∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2． ∴f(x)在[-1，0]上是增函數(shù) 又f(x)為偶函數(shù)．∴f(x)=f(-x) ∴x∈[0，1]時(shí),f(x)=x+2，即f(x)在[0，1]上也是增函數(shù)．又∵sin＜cos f(sin)＜f(cos)． 2．(2012模擬題精選

18、)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-∞，0)上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得f(x)＜0的x的取值范圍是 ( ) A．(-∞，2) B．(2，+∞) C．(-∞，-2)∪(2，+∞) D．(-2，2) 【錯(cuò)誤答案】 C f(-x)=f(x)＜0=f(2)．∴x＞2或x<-2． 【錯(cuò)解分析】 以上解答沒(méi)有注意到偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的單調(diào)性相反．錯(cuò)誤地認(rèn)為f(x)在[0，+∞]上仍是減函數(shù)，導(dǎo)致答案選錯(cuò)． 【正確解答】 D ∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)．∴f(x)<0．f(|x|)＜f(2)．又∵f

19、(x)在(-∞，0)上是減函數(shù)，∴f(x)在[0，+∞]上是增函數(shù)，|x|＜2-2

20、 ∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0) 【錯(cuò)解分析】 上面解答忽視了奇函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．即f(x)在x=0處有定義f(0)=0． 【錯(cuò)解分析】 (1)對(duì)題意理解錯(cuò)誤，題設(shè)中“在閉區(qū)間[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0”說(shuō)明除了f(1)、f(3)等于 0外再不可能有f(7)=0．(2)因f(x)在R上既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．不能認(rèn)為x∈[0，10]，[-10，0]上各有兩個(gè)解，則認(rèn)為在[0，2005]與在[-2005，0]上解的個(gè)數(shù)相同是錯(cuò)誤的，并且f(x)=0在[0，2005]上解的個(gè)數(shù)不是401個(gè)，而是402個(gè)． 【正確解答】 由f(2-x)=f

21、(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)丁y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2和x=7． 從而知函數(shù)y=f(x)不是奇函數(shù)． 由f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)．從而知f(x)是周期為10的周期函數(shù)． 又f(3)=f(1)=0,而f(7)=f(-3)≠0． 故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù)． (2)由(1)知f(x)是以周期為10的周期函數(shù)． ∴f(1)=f(11)=…=f(2001)=0 f(3)=f(13)=…=f(2003)=0 f(x)=0在[0，2005]上共有402個(gè)解．同理可求得f(x)=0在[-2005，0]上共有400個(gè)解． ∴f(x)=0在

22、[-2005，2005]上有802個(gè)解． 【特別提醒】 1．函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行 化簡(jiǎn)． 2．要注意從數(shù)和形兩個(gè)角度理解函數(shù)的奇偶性，要充分利用f(x)與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和圖像的對(duì)稱(chēng)性解決有關(guān)問(wèn)題． 3．解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運(yùn)用. (1)f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x)=f(|x|)． (2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)=0. 【變式探究】 1 f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2006，則f(2006)的值為 (

23、) A．2005 B．-2005 C.-2006 D．2006 答案：D 解析：由題設(shè)條件易得f(x+4)=f(x), ∴f(2006)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2006. ∴f(2006)=2006. 2 函數(shù)f(x)=lg(1+x2)，g(x)==tan2x中________是偶函數(shù)． 答案：解析：f(x)、g(x).運(yùn)用奇偶性定義進(jìn)行判斷。 3 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒滿(mǎn)足f(x+2)=-f(x)．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x+x2． (1)求證:f(x)是周期函數(shù)； 答案：解析：(1)f(x+2)=-f(-x

24、), ∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)。 (2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f(x)的解析式； 答案：當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x22. ∴f(x)=x2+2x. 又當(dāng)x ∈[2,4]時(shí)，x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)。 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 因而求得 x∈[2,4] 時(shí)f(x)=x2-6x+8.

25、 計(jì)算:(0+)f(1)+f(2)+…+f(2004) 答案：f(0)=0f(2)=0f(1)=1f(3)=-1,又f(x)是周期為4的周期函數(shù)。 ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=0. 又f(2004)=f(0)=0, ∴f(0)+f(1)+f(2)+ …+f(2004)=0. 4 設(shè)a、b∈R，且a≠2定義在區(qū)間(-b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù)，求b的取值范圍． 答案：解析：f(x)=lg是奇函數(shù)，等價(jià)于，對(duì)任意x∈(-b,b)都有：??????????

26、?① ② 式即為lg即a2x2=4x2.此式對(duì)任意x∈(-b,b)都成立相當(dāng)于a2=4, ∵a≠2, ∴a=-2.代入(2)得 即 易錯(cuò)點(diǎn)4 反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用 1．(2012模擬題精選)函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是 ( ) A．a(chǎn)∈(-∞，1) B．a(chǎn)∈[2，+∞] C．a(chǎn)∈[1，2] D．a(chǎn)∈(-∞，1)∪[2，+∞] ∴對(duì)稱(chēng)軸x=a不應(yīng)在(1，2)內(nèi)，∴a≤1或a≥2．故選C. 2．(典型例題Ⅰ)y=(1≤x≤2)的反函數(shù)是 ( ) A.y

27、=1+(-1≤x≤1) B.y=1+ (0≤x≤1) C.y=1- (-1≤x≤1) D.y=1- (0≤x≤1) 【錯(cuò)誤答案】 C ∵y2=2x-x2．∴(x-1)2=1-y2．∴x-1=-，∴x=1-．x、y對(duì)換得y=1- 又1-x2≥0．∴-1≤x≤1．因而f(x)的反函數(shù)為y=1-(-1≤x≤1)． 【錯(cuò)誤答案】 C ∵y= (ax-a-x)，∴a2x-2y·ax-1=0．a(chǎn)x==y+．∴x=loga(y+)，x、y對(duì)換．∴f-1(x)=loga(x+)(x∈R)又∵f-1(x)＞1，∴l(xiāng)oga(x+)＞1x +＞a. ＞a-x∴

28、 【錯(cuò)解分析】 上面解答錯(cuò)在最后解不等式＞a-x，這一步，因?yàn)閤+＞a-x應(yīng)等價(jià)于或a≤x.錯(cuò)解中只有前面—個(gè)不等式組．答案顯然錯(cuò)了. 【正確解答】 A 解法1 ∵y=(ax-a-x)a2x-2y·ax-1=0， ax==y+∴x=loga(y+)．∴f-1(x)=loga(x+)(x∈R)．∵f-1(x)>1 ∴l(xiāng)oga(x+)>1x+>a＞a-x＜x＜+∞. 解法2：利用原函數(shù)與反函數(shù)的定丈域、值域的關(guān)系．原題等價(jià)于x>1時(shí)，f(x)=(ax-a-x)的值域，∴f(x)=(ax-a-x)在R上單調(diào)遞增．∴f(x)＞(a-)=．選A. 4.(2012模

29、擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱(chēng)，且存在反函數(shù)f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=________． 【錯(cuò)誤答案】 填0 ∵y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對(duì)稱(chēng)，又∵f(4)=0，∴f(0)=4，∴f-1(4)=0 【錯(cuò)解分析】 上面解答錯(cuò)在由圖像過(guò)點(diǎn)(4，0)得到圖像過(guò)點(diǎn)(4，0)上，因?yàn)閒(x)圖像【變式探究】 1 函數(shù)y=3x2-1(-1≤x＜0)的反函數(shù)是 ( ) A．y=(x≥) B．y=- (x≥) C．y= (

30、-1=log3y ∵-1≤x<0, ∴x=- 2 (2012模擬題精選)定義在R上的函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為T(mén)，若函數(shù)【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 難點(diǎn)1 借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式 1．已知定義域?yàn)閇0，1)的函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足①對(duì)任意x∈[0，1]，總有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)． (1)求f(0)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最大值． 【解析】 (1)令x1=x2=0可得答案(2)，先證f(x)在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，再求其最大值． 【答案】 (1)令x

31、1=x2=0，由條件①得f(0)≥0，由條件③得f(0)≤0．故f(0)=0． (2)任取0≤x1≤x2≤1，可知x2-x1∈(0，1)，則f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x)．又∵x1- x2∈(0，1)，∴f(x2-x1)≥0．∴f(x)≥f(x1) ∴f(x)在[0，1]上是增函數(shù)，于是當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有f(x)≤f(1)=1．∴當(dāng)x=1時(shí)，[f(x)]max=1．即f(x)的最大值為1． 2．設(shè)f(x)是定義在(0，+∞)上的函數(shù)，k是正常數(shù)，且對(duì)任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立． 若f(x)是(0，+∞)上的增函數(shù)，且k=1

32、，求證：f(x)=x． (2)對(duì)于任意的x1、x2∈(0，+∞)，當(dāng)x2>x1時(shí)，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，證明：＜＜． 【解析】 (1)用反證法證明；(2)用反證法先證f(x)＞x，再運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮． 難點(diǎn)2 綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題 1．設(shè)f(x)是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)．當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f(x)=g(2-x)，且當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3， (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)是否存在正實(shí)數(shù)a(a＞6)，使函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線(xiàn)y=12上，若存在，求出正實(shí)數(shù)a

33、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】 (1)運(yùn)用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正實(shí)數(shù)a． 【答案】 (1)當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，2-x∈[2，3] f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax 得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0]) ∵y=f(x)在[-1，1]上是偶函數(shù) ∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=f(-x)=-4x3+2ax ∴f(x)= (2)命題條件等價(jià)于[f(x)]max=12，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以只需考慮0≤

34、x≤1的情況． 求導(dǎo)f′(x)=-12x2+2a(0≤x≤1，a>6)， 由f′(x)=0得x=或x=-(舍)． ∵＞1，當(dāng)0≤x≤1時(shí) f′(x)>0，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增， ∴[f(x)]max=f(1)=12，∴a=8． 綜上，存在a=8使得f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線(xiàn)y=12上． 2．函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[2，3]時(shí),f(x)=x-1．在y=f(x) ∴△ABC的面積S=(2t-2)(a-t)=-t2+(a+1)t-a=-(t-)2+-a． ∴當(dāng)<≤2即2

35、當(dāng)>2，即a>3時(shí)，函數(shù)S在[1，2]上單調(diào)遞增，∴S有最大值S(2)=a-2． 難點(diǎn)3 反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合 1．在R上的遞減函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)且僅當(dāng)x∈MR+函數(shù)值f(x)的集合為[0，2]且f()=1；又對(duì)M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)． (1)求證：∈M，而M； (2)證明:f(x)在M上的反函數(shù)f-1(x)滿(mǎn)足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)． (3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤(x∈[0，2])． 【解析】 由給定的函數(shù)性質(zhì)，證明自變量x是屬于還是不屬于集合"，最后利用反函數(shù)的概念、性質(zhì)證明

36、反函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)和解反函數(shù)的不等式． 【答案】 (1)證明：∵∈M，又=×,f()=1．∴f()=f(×)=f()+f()=1+1=2∈[0，2]， ∴∈M， 又∵f()=f(×)=f()+f()=1+2=3[0，2]．∴M. 設(shè)f(x)的反函數(shù)為f-1(x)，當(dāng)a=-1時(shí)，試比較f-1[g(x)]與-1的大小，并證明你的結(jié)論． 若a>1，n∈N*且n≥2，比較f(n)與nf(1)的大小，并證明你的結(jié)論. 【解析】 先根據(jù)函數(shù)f(x)·g(x)的奇偶性和f(x)+g(x)=ax可解出f(x)·g(x)．再借助基本不等式和疊加法證明后兩小題. 【答案】 (1

37、)f(x)+g(x)=ax， 又f(-x)+g(-x)=a-x，而f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴-f(x)+g(x)=ax, ∴f(x)=,g(x)=． ∴f(x)·g(x)= ·==f(2x) (2)∵0

38、-a-1)[an-1+an-3+…+a-(n-3)+a-(n-1)-n] 當(dāng)a>1時(shí)，a-a-1>0 an-1+a-(n-1)＞2 an-3+a-n(n-3)＞2 …… ∴an-1+an-3+…+a-(n-1)+a-(n-3)＞0 ∴f(n)-nf(1)＞0,即f(n) ＞nf(1) 【典型習(xí)題導(dǎo)練】 1 函數(shù)f(x)=x+,則其反函數(shù)的定義域是 ( ) A．(-∞，-1)∪[1，+∞) B．[1，+∞) C．[-1，0] D．[-1，0]∪(1，+∞) 答案：D 解析：反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，x2-1≥0?x≥1或x≤-1,當(dāng)x≥

39、1時(shí)，函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)值域?yàn)椋?，+∞）當(dāng)x≤-1時(shí)，f(x)=x+為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)值域?yàn)閇-1，0]，故值域?yàn)閇-1，0]∪(1,+ ∞), 從而選D. 2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(-x)=-f(x+4)．當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)的值為 ( ) A.可能為0 B．恒大于0 C.恒小于0 D．可正可負(fù) 答案：C 解析：不妨設(shè)x1

40、稱(chēng)，函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞增，∴f(x1)+f(x2)

41、 ( ) ①函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]； ②方程{x}=有無(wú)數(shù)解； ③函數(shù){x}是周期函數(shù)； ④函數(shù){x}是增函數(shù)． A.1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案：C 6 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(3，5)，則函數(shù)y=f(1-x) ( ) A.圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，且在(2，4)內(nèi)是增函數(shù) B．圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，且在(2，4)內(nèi)是減函數(shù) C.圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=0，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù) D．圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù) 答案：解析：[-1，3]由x2-2x-8≥

42、0?x≤-2或x≥4.由1-|x-a|>0?|x-a|<1?a-10?|x-a|<1?a-1

43、f(x2)從而f(x)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則有f(x)存在反函數(shù)。 令f(x)=uf(y)=u,則f-1(u)=x,f-1(u)=y. ∴u+v=f[f-1(u)]+f-1[f-1(u)]=f[f-1(u)?f-1(u)] ∴f-1(u+v)=f-1(u) ?f1-(v), ∴f-1(x)=[f-1]2∴ 故 11 已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|x2-14x+24≤0}，x1t∈R，且AB． (1)對(duì)于區(qū)間[a，b]，定義此區(qū)間的“長(zhǎng)度”為b-a． 若A的區(qū)間“長(zhǎng)度”為3，試求t的值． (2)某個(gè)函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0．

44、6，試確定t的取值范圍． 12集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的，對(duì)任的x≥0,f(x)∈[-2，4]，有f(x)在[0，+∞]上是增函數(shù)． (1)試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·()(x≥0)是否在集合A中?若不在集合A中，試說(shuō)明理由； 答案：解析：（1）log2t-2=3?t=32; 對(duì)于(1)中你認(rèn)為是集合A中的函數(shù)f(x)不等式f(x)+f(x+2)＜2f(x+1)是否對(duì)于任意的x≥D總成立?證明你的結(jié)論． 答案：B=[2,12],由題意及概率的意義得即t∈[256,4096]. 12 集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的，對(duì)任意的x≥0，f(x)

45、∈[-2，4]，有f(x)在[0，+8]上地增函數(shù)。 試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·（）x（x≥0）是否在集合A中？若不在集合A中，試說(shuō)明理由； 答案：解析：（1）函數(shù)f1(x)=不在集合A中，這是因?yàn)楫?dāng)x=49>0,f1(49)=5>4,不滿(mǎn)足條件f2(x)=4-6在集合A中。 (2)若不等式f(x)＞0對(duì)于x∈(0，+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 答案：f(x)>0即a>-恒成立，∴a> 由（1）的結(jié)論知當(dāng) (3)若f(x)(x≥1)的反函數(shù)f-1(x)，試求f-1(a+). 答案：根據(jù)反函數(shù)的意義，令 14 已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b定義在區(qū)間[-1，1]上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其圖像上任意兩點(diǎn)(x1≠x2)． (1)求證：f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，b)成中心對(duì)稱(chēng)圖形； 答案：∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b,得a=-1. ∴f(x)=x3-x+b的圖象可由y=x3-x的圖象向上（或 25 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心