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1、第3講數(shù)列的綜合問題,專題二數(shù)列,板塊三專題突破核心考點(diǎn),,考情考向分析,1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍. 3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.,,,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系,,熱點(diǎn)一利用Sn，an的關(guān)系式求an,2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式. (2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.,(3
2、)在已知數(shù)列an中，滿足 f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)an. (4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).,解答,例1已知等差數(shù)列an中，a22，a3a58，數(shù)列bn中，b12，其前n項(xiàng)和Sn滿足：bn1Sn2(nN*). (1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；,解a22，a3a58， 2d23d8，d1，ann(nN*). bn1Sn2(nN*)， bnSn12(nN*，n2). 由，得bn1bnSnSn1bn(nN*，n2)， bn12bn(nN*，n2). b12，b22b1， bn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， bn2n(nN*).
3、,解答,兩式相減，得,給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.,,解答,跟蹤演練1(2018綿陽診斷性考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：a1anS1Sn. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解由已知a1anS1Sn，,當(dāng)n2時，由已知可得a1an1S1Sn1， 得a1(anan1)an. 若a10，則an0，此時數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0. 若a12，則2(anan1)an，化簡得an2an1， 即此時數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 故an2n(nN
4、*). 綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0或an2n.,解答,(2)若an0，數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Tn，試問當(dāng)n為何值時，Tn最小？ 并求出最小值.,解因?yàn)閍n0，故an2n.,由n50，解得n5，所以當(dāng)n4或n5時，Tn最小，,,熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題,數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題.,解答,例2(2018遵義聯(lián)考)已知函數(shù)f(x
5、)ln(1x) . (1)若x0時，f(x)0，求的最小值；,解由已知可得f(0)0，,若0，則當(dāng)x0時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增， f(x)f(0)0，不合題意；,則當(dāng)x0時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x0時，f(x)f(0)0，符合題意.,證明,，,以上各式兩邊分別相加可得,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn) (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視. (2)解題時準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件. (3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.,,跟蹤演練2(2018南昌模擬)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*
6、)，滿足S42a41，S32a31. (1)求an的通項(xiàng)公式；,解答,解設(shè)an的公比為q， 由S4S3a4，S42a41得， 2a42a3a4，,所以a12a14a18a11，所以a11， 所以an2n1(nN*).,證明,證明由(1)知bnlog2(an1an) log2(2n2n1)2n1，,,用數(shù)列知識解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項(xiàng)是什么，項(xiàng)數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和，還是求通項(xiàng)，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進(jìn)行合理推算，得出實(shí)
7、際問題的結(jié)果.,熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,解答,例3科學(xué)研究證實(shí)，二氧化碳等溫室氣體的排放(簡稱碳排放)對全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)境部門對A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2017年的碳排放總量為400萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放總量比上一年的碳排放總量減少10%.同時，因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸(m0). (1)求A市2019年的碳排放總量(用含m的式子表示)；,解設(shè)2018年的碳排放總量為a1,2019年的碳排放總量為a2，， 由已知，a14000.9m， a20.9(4000.9m)
8、m 4000.920.9mm3241.9m.,解答,(2)若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.,解a30.9(4000.920.9mm)m 4000.930.92m0.9mm， ， an4000.9n0.9n1m0.9n2m0.9mm,(40010m)0.9n10m. 由已知nN*，an550， (1)當(dāng)40010m0，即m40時，顯然滿足題意； (2)當(dāng)40010m0，即m<40時，,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得(40010m)0.910m550，解得m190. 綜合得m40時， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10m550， 解得m55，綜合得40
9、常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法 (1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值yN(1p)n. (2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1r)n. (3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和ya(1nr). (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b .,,跟蹤演練3(2018上海崇明區(qū)模擬)2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目.規(guī)劃從 2017 年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資 2 千萬元用于此項(xiàng)目.
10、2016 年該項(xiàng)目的凈收入為 5 百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均在上一年的基礎(chǔ)上增長50%.記 2016 年為第 1 年，f(n)為第 1 年至此后第n(nN*)年的累計利潤(注：含第n年，累計利潤累計凈收入累計投入，單位：千萬元)，且當(dāng)f(n)為正值時，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利.,解答,(1)試求f(n)的表達(dá)式；,解由題意知，第1年至此后第n(nN*)年的累計投入為82(n1)2n6(千萬元)， 第1年至此后第n(nN*)年的累計凈收入為,解答,(2)根據(jù)預(yù)測，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由.,當(dāng)n3時，f(n1)f(n)0， 故當(dāng)n4時，f(n)遞增.,該項(xiàng)目將從第8年
11、開始并持續(xù)贏利. 答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.,x4.,從而當(dāng)x1,4)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.,該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利. 答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利.,真題押題精練,1.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1，則S6______.,真題體驗(yàn),解析,63,答案,解析Sn2an1，當(dāng)n2時，Sn12an11， anSnSn12an2an1(n2)， 即an2an1(n2). 當(dāng)n1時，a1S12a11，得a11. 數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，,S612663.,2.(2017山東)已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1
12、x23，x3x22. (1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；,解答,解設(shè)數(shù)列xn的公比為q.,所以3q25q20， 由已知得q0， 所以q2，x11. 因此數(shù)列xn的通項(xiàng)公式為xn2n1(nN*).,(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1，1)，P2(x2，2)，，Pn1(xn1，n1)得到折線P1P2Pn1，求由該折線與直線y0，xx1，xxn1所圍成的區(qū)域的面積Tn.,解答,解過P1，P2，，Pn1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，，Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1， 記梯形PnPn1Qn1Qn的面積為bn，,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n
13、3(2n1)2n2. 又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1， ,得 Tn321(2222n1)(2n1)2n1,押題預(yù)測,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式Snkan1，k為不等于0的常數(shù). (1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列；,押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識，考查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力.,解答,押題依據(jù),解若數(shù)列an是等比數(shù)列，則由n1得a1S1ka2，從而a2ka3. 又取n2，得a1a2S2ka3， 于是a10，顯然矛盾，故數(shù)列an不是等比數(shù)列.,押題依據(jù)是高考的熱點(diǎn)問題，即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合，其中將求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法“裂項(xiàng)相消法”與“錯位相減法”結(jié)合在一起，考查了綜合分析問題、解決問題的能力.,解答,押題依據(jù),從而Snan1. 當(dāng)n2時，由Sn1an，得anSnSn1an1an，,從而其前n項(xiàng)和Sn2n2(nN*). 由得bnn2，,記C2121220n2n2， 則2C2120221n2n1，,即n2n900，因?yàn)閚N*且n1，故n9， 從而最小正整數(shù)n的值是10.,
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