高考數(shù)學(xué)(理科)二輪專題復(fù)習(xí)專題四 第2講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、 第?2?講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 考情解讀 高考對本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問題：?(1)以遞推公式或圖、表 形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中 檔題.(2)通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和 公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題. 限項(xiàng)的和.這種方法適用于求通項(xiàng)為???? 的數(shù)列的前?n?項(xiàng)和，其中{an}若為等差數(shù)列，則 1.數(shù)列求和的方法技巧 (1)分組轉(zhuǎn)化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不

2、是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等 差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并. (2)錯(cuò)位相減法 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前?n?項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·?bn}的前?n 項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. (3)倒序相加法 ( 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前?n?項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列?反序)，當(dāng)它 與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求 和. (4)裂項(xiàng)相消法 利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或?n?項(xiàng)的差，通過

3、相加過程中的相互抵消，最后只剩下有 1 1 anan＋1 anan＋1 ＝?èa?－a ?. 1??1 d n 1?? n＋1 常見的裂項(xiàng)公式： n(n＋1) n? n＋1 n(n＋k) k?n? n＋k (2n－1)(2n＋1) 2?2n－1 2n＋1 n＋???n＋k? k ① ② ③ ④ 1????1???1 ＝?－???； 1????11???1 ＝?(?－???)； 1???????1??1?????1 ＝?(????－????)； 1??????1

4、 ＝?(?n＋k－?n). 2.數(shù)列應(yīng)用題的模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量 就是公差. (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固 定的數(shù)就是公比. . (3)混合模型：在一個(gè)問題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型 ( (4)生長模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加?或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的 具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱該模型為生長模型.如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等. (5)遞推模型：如果

5、容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)?an?與它的前一項(xiàng)?an－1(或前?n?項(xiàng))間的遞推關(guān)系式， 我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)來解決問題. 熱點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和 例?1 等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3?分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且?a1，a2，a3 中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿

6、足：bn＝an＋(－1)nln?an，求數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和?Sn. 思維啟迪 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定{an}的通項(xiàng)公式；(2)分組求和. 解 (1)當(dāng)?a1＝3?時(shí)，不合題意； 當(dāng)?a1＝2?時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?a2＝6，a3＝18?時(shí)，符合題意； 當(dāng)?a1＝10?時(shí)，不合題意. 因此?a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比?q＝3. 故?an＝2·3n－1?(n∈N*). (2)因?yàn)?bn＝an＋(－1)nln?an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln?2＋(n－1)ln?3] ＝2·3n－1＋(－1)n(

7、ln?2－ln?3)＋(－1)nnln?3， 所以?Sn＝2(1＋3＋?＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln?2－ln?3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. Sn＝2× 1－3?? 2 ＝3n＋??ln?3－1； ＝3n－??? ln?3－ln?2－1. ì3n＋nln?3－1，????? n為偶數(shù)， 綜上所述，S?＝í ?3?－n－2?1ln?3－ln?2－1， n為奇數(shù). an?? 2 當(dāng)?n?為偶數(shù)時(shí)， 1－3n n ＋?ln?3 n 2 當(dāng)?n?為奇數(shù)時(shí)， 1－3n ?n－1 ?

8、Sn＝2×?1－3?－(ln?2－ln?3)＋è 2 －n?ln?3 n－1 2 2 n n 思維升華 在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差 數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列， 清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對 項(xiàng)數(shù)?n?進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式. 1 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝(2)n(n∈N*). (1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}(n∈N*)都是

9、等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{an}的前?2n?項(xiàng)和為?T2n，令?bn＝(3－T2n)·?n·(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項(xiàng). 1 1 (1)證明 因?yàn)?anan＋1＝(2)n，an＋1an＋2＝(2)n＋1， a 1 所以?n＋2＝?. 1 1 又?a1＝1，a2＝2，所以數(shù)列?a1，a3，?，a2n－1，?，是以?1?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列； 1 1 數(shù)列?a2，a4，?，a2n，?，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 1－(??)n?? [1－(??)n] ＋???????? ＝3－ 1－????? 1－ 3(??)n，

10、(2)解 由(1)可得?T2n＝(a1＋a3＋?＋a2n－1)＋(a2＋a4＋?＋a2n)＝ 1 2 1 所以?bn＝3n(n＋1)(2)n， 1 bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)(2)n＋1， 1???1????1 2???2????2 1????????1 2????????2 所以?bn＋1－bn＝3(n＋1)(??)n( －n) ＋＝3(n＋1)(??)n???1(2－n)， an＋1－an 2∴a2＝3，∴ a1＋1 1 n＋2 2 2 1 2 所以?b1b4>?>bn>?， 9 所

11、以(bn)max＝b2＝b3＝2. 熱點(diǎn)二 錯(cuò)位相減法求和 例?2 設(shè)數(shù)列{an}的前?n?項(xiàng)和為?Sn，已知?a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)， (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； n (2)若?bn＝ ，數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和為?Tn，n∈N*，證明：Tn<2. 思維啟迪 (1)n>1?時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n?兩式相減得{an}的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)；(2) 先利用錯(cuò)位相減法求出?Tn，再放縮. (1)解 ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，當(dāng)?n≥2?時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，

12、 即an＋1＋1＝2(n≥2)，① an＋1 又?S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1， a?＋1 ＝2，∴當(dāng)?n＝1?時(shí)，①式也成立， ∴an＋1＝2n，即?an＝2n－1(n∈N*). (2)證明 ∵an＝2n－1， n n n ?? －1)－(2n－1) n＋1 ∴bn＝(2n＋1 ＝2 －2n＝2n， 1 2 3 n ∴Tn＝2＋22＋23＋?＋2n， n－1 1 1 2 n ???????????? 2Tn＝22＋23＋?＋?2n?＋2n＋1， 1 1 1 1 n ∴兩式相減，得?Tn＝2(2＋22＋23＋?＋2n－2n＋1)

13、 1 n ＝2－2n－1－2n<2. 思維升華 錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前?n?項(xiàng)和是一種重要的方法.在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住 數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的 求和問題. 設(shè)數(shù)列{an}滿足?a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. 解得?d＝1?或?d＝－??， ＋即?Sn＝??[(3n－1)22n???1＋2].9 ???(2)設(shè)?bn＝ ，求數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和?Tn. ???????????????????????2 3 2 4 3 5 4 6 n n＋2 ????22 n＋1 n＋2

14、 4(n＋1)(n＋2) ?????思維升華 裂項(xiàng)相消法適合于形如{ }形式的數(shù)列，其中{an}為等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令?bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和?Sn. 解 (1)由已知得，當(dāng)?n≥1?時(shí)， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋?＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而?a1＝2，符合上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為?an＝22n－1. (2)由?bn＝nan＝n·22n－1?知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋?＋n·22n－1.① 從

15、而?22·?Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋?＋n·22n＋1.② ①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋?＋22n－1－n·22n＋1， 1 熱點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和 例?3 已知等差數(shù)列{an}，公差?d>0，前?n?項(xiàng)和為?Sn，S3＝6，且滿足?a3－a1,2a2，a8?成等比數(shù) 列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； 1 an·?an＋2 思維啟迪 (1)利用方程思想可確定?a，d，寫出{an}；(2)利用裂項(xiàng)相消法求?Tn. 解 (1)由?S3＝6，得?a2＝2. ∵a3－a1,2a2，a8?成等比數(shù)列， ∴(2d)·(2＋6d)＝42，

16、 4 3 ∵d>0，∴d＝1. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為?an＝n. 1 1 1 1 ??? (2)Tn＝1·3＋2·4＋3·5＋?＋n(n＋2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝?[(1－?)＋(?－?)＋(?－?)＋(?－?)＋?＋(?－ )] 13 1 1 3n2＋5n ＝?(?－ － )＝ . 1 an·?an＋k 已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且滿足?a4·?a7＝15，a3＋a8＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令?bn＝???? (n≥2)，b1＝??，求數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和?S

17、n.3 an＝a4＋(n－4)·?d＝3＋(n－4)·??＝ . 1 1 9an－1an 解 (1)根據(jù)題意?a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·?a7＝15， 所以?a4，a7?是方程?x2－8x＋15＝0?的兩根，且?a4

18、?????????1???????1??1?????1  ＝????????????＝????????????＝?(????－????)， 9·?????· 1 1 1 又?b1＝3＝2(1－3)， 1 1 1 1 1 1 1 1 n ??? 2n＋1??? 2n＋1 所以?Sn＝b1＋b2＋?＋bn＝2(1－3＋3－5＋?＋2n－1－ )＝2(1－2n＋1)＝ . 2n＋1 即數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和?Sn＝ n  . (2)設(shè)?An＝???1 ，若?An?大于?80?萬元，則?M?繼續(xù)使用，否則須在第?n?年年初

19、對?M?更 熱點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例?4 自從祖國大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在?11?個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試 驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受 理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座?120?萬元的蔬菜加工廠?M，M 的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初?M?的價(jià)值比上年年初減少?10?萬 元，從第七年開始，每年年初?M?的價(jià)值為上年年初的?75%. (1)求第?n?年年初?M?的價(jià)值?an?的表達(dá)式； a?＋a2＋?＋an n 新，證明：必須在第九

20、年年初對?M?更新. 思維啟迪 (1)根據(jù)題意，當(dāng)?n≤6?時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，當(dāng)?n≥7?時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列， 分別寫出其通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行合并即可；(2)先對?n?進(jìn)行分類，表示出?An，利用數(shù)列的單調(diào) 性質(zhì)確定其最佳項(xiàng)，并與?80?比較大小，確定?n?的值. (1)解 當(dāng)?n≤6?時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為?120，公差為－10?的等差數(shù)列，故?an＝120－10(n－1) ＝130－10n， 3 當(dāng)?n≥7?時(shí)，數(shù)列{an}從?a6?開始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以?a6＝130－60＝70?為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù) 列， 所以第?n?年

21、年初?M?的價(jià)值?an＝í??? 3 ?? 70×(??)n－6，n≥7. 3 故?an＝70×(4)n－6， ì?130－10n，n≤6， 4 (2)證明 設(shè)?Sn?表示數(shù)列{an}的前?n?項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得 當(dāng)?1≤n≤6?時(shí)，Sn＝120n－5n(n－1)， S An＝?nn＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80， 當(dāng)?n≥7?時(shí)，由于?S6＝570， 3 3 3 故?Sn＝570＋(a7＋a8＋?＋an)＝570＋70×4×4×[1－(4)n－6]＝780－210×(4)n－6. 因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列，

22、所以{An}是遞減數(shù)列. 780－210×(??)n－6 ????????? 因?yàn)?An＝?nn＝ n 3 S?4  ， 780－210×(??)2 780－210×(??)3 A8＝ 8 A9＝ 9 3 4 3 4  ≈82.734>80， ≈76.823<80， n?天的維修保養(yǎng)費(fèi)為???? (n∈N?*)元，使用它直至報(bào)廢最合算(所謂報(bào)廢最合算是指使用這臺(tái)儀 (1＋r)n－1 即?x·???????? ＝a(1＋r)n， 所以必須在第九年年初

23、對?M?更新. 思維升華 解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：?(1)建模，首 先要認(rèn)真審題，理解實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題；?(2)解模，利用 所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問題；?(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回 到實(shí)際問題中去，與實(shí)際問題相對應(yīng)，確定問題的結(jié)果. (1)設(shè)某商品一次性付款的金額為?a?元，以分期付款的形式等額地分成?n?次付清， 若每期利率?r?保持不變，按復(fù)利計(jì)算，則每期期末所付款是________元. (2)氣象學(xué)院用?3.2?萬元買了一臺(tái)天文觀測儀，已知這臺(tái)觀測儀

24、從啟用的第一天起連續(xù)使用，第 n＋49 10 器的平均耗資最少)，一共使用了________天. ar(1＋r)n 答案 (1) (2)800 解析 (1)設(shè)每期期末所付款是?x?元，則各次付款的本利和為?x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－ 3＋?＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n， (1＋r)n－1 r (1＋r)n－1 (2)由題意得，每天的維修保養(yǎng)費(fèi)是以?5?為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列.設(shè)一共使用了?n?天，則 (5＋???? )n 3.2×104＋ 使用?n?天的平均耗資為 ar(1＋r)n

25、 故?x＝ . 1 10 n＋49 10 2 n ＝??????? ＋ ＋?? ≥2 n????? 20?? 20 3.2×104 n 99 n 20 20 3.2×104??n??99 ×?＋?， 當(dāng)且僅當(dāng)??????? ＝?? 時(shí)取得最小值，此時(shí)?n＝800. (1)an＝í???1 an 3.2×104 n n 20 . 1.數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題的關(guān)鍵?若是等差數(shù)列或等比數(shù)列， 則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解： ì?S?(n＝1)， ? ?

26、Sn－Sn－1(n≥2). (2)遞推關(guān)系形如?an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通項(xiàng). a (3)遞推關(guān)系形如?n＋1＝f(n)，常用累乘法求通項(xiàng). (4)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋q(p、q?是常數(shù)，且?p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，常用待定系數(shù) 法.可設(shè)?an＋1＋λ＝p(an＋λ)，經(jīng)過比較，求得?λ，則數(shù)列{an＋λ}是一個(gè)等比數(shù)列. (5)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p?為常數(shù)，且?p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以 將關(guān)系式兩邊同除以?qn?轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以?pn＋1?轉(zhuǎn)為用迭加法求解. 2.數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)

27、化與化歸思想的常見類型： . (1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解 (2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和. (3)分組求和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù) 列的和求解. 提醒：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的?n＋1?項(xiàng)中的前?n?項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比 數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零. . 3.數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問題的能力?.其中，建立數(shù)列模型是解決這類 問題的核心，在解題中的主要思路：①首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用

28、相應(yīng)的通 項(xiàng)公式與求和公式求解；②通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解 ＋???2＋???3＋?＋???100∴S1＋S2＋?＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋?＋(a100－a99)－ 2????è2 2 2 ＋???3＋?＋???99?－ ＋???2＋?＋???100＝ 2??????è2 2 2????è2 2 100－1?.＝ ?è2 ??? 100－1答案 (1)－ (2) ?16 3è2 ?????a1 a2 an??2 真題感悟 1 1.(2013·?湖南)設(shè)?Sn?為數(shù)列{an}的前?n?項(xiàng)和，Sn

29、＝(－1)nan－2n，n∈N?*，則： (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋?＋S100＝________. 1 1??1 ? 解析 ∵an＝Sn－Sn－1 1 1 ＝(－1)nan－2n－(－1)n－1an－1＋2n－1(n≥2)， 1 ∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋2n(n≥2). 1 當(dāng)?n?為偶數(shù)時(shí)，an－1＝－2n(n≥2)， 1 當(dāng)?n?為奇數(shù)時(shí)，2an＋an－1＝2n(n≥2)， 1 1 ∴當(dāng)?n＝4?時(shí)，a3＝－24＝－16. 根據(jù)以上{an}的關(guān)系式及遞推式可求. 1 1 1 1

30、 a1＝－22，a3＝－24，a5＝－26，a7＝－28，?， 1 1 1 1 a2＝22，a4＝24，a6＝26，a8＝28，?. 1 1 1 ∴a2－a1＝2，a4－a3＝23，a6－a5＝25，?， ?1 1 1 1?? ?1 1 1????1 1 1?? 1??1 ? 3 2.(2014·?課標(biāo)全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足?a1＝1，an＋1＝3an＋1. 1 (1)證明{an＋2}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； 1 1 1?3 (2)證明?＋?＋?＋?

31、n＋??＝???，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為?an＝ . (2)證明 由(1)知???＝???n?? . 所以???n?? ≤ 3?－1? 2×3n－1 于是???＋???＋?＋???≤1＋??＋?＋???n－1 a1? a2???? an??2 1 1 得?an＋1＋2＝3(an＋2). 1 3 又?a1＋2＝2， 1 3 所以{an＋2}是首項(xiàng)為2，公比為?3?的等比數(shù)列. 1 3n 3n－1 2 2 2 1 2 an 3?－1 因?yàn)楫?dāng)?n≥1?時(shí)，3n－1≥2×3n－1， 1 1 . 1 1 1 1 1 a1 a2 an

32、 3 3 3 1 3 ????? ＝2(1－3n)<2. 1 1 1?3 所以?＋?＋?＋?

33、2.秋末冬初，流感盛行，特別是甲型?H1N1?流感.某醫(yī)院近?30?天每天入院治療甲流的人數(shù)依次 構(gòu)成數(shù)列{an}，已知?a1＝1，a2＝2，且?an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N?*)，則該醫(yī)院?30?天入院治療 甲流共有________人. 答案 255 解析 由于?an＋2－an＝1＋(－1)n， 所以?a1＝a3＝?＝a29＝1， a2，a4，?，a30?構(gòu)成公差為?2?的等差數(shù)列， 所以?a1＋a2＋?＋a29＋a30 ＝15＋15×2＋????? ×2＝255. bn? 2n＋3????? 6 a1? a2???? an (1)解

34、 因?yàn)?3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以???n＋1＝ bn??? n b1??? 1? b2??? 2 b3??? 3???? b n－1??????? n－1 累乘，可得???n＝3n－1×n，因?yàn)?b1＝3，所以?bn＝n·3n， (2)證明 因?yàn)???n＝???? ，所以?an＝ bn 2n＋3??????? 2n＋3 an? n(n＋1)?3n ＝(??－??? )·???n 所以???＋???＋?＋???＝(1·???0－??·???1)＋(??·???1－??? ·???2)＋?＋(??·???n－1－?? ·???n)＝1－?? ·???n. 因?yàn)?n

35、∈N?*，所以?0

36、a n＋1 n(n＋1) ·3n. 1 2n＋3?1 因?yàn)?＝ · ＝3(n＋1)－n·?1n n(n＋1) 3 3 1 1 n n＋1?3 1 1 1 1 n－1－?? ＝n·?3 n＋1·?3n， 1 1 1 1 1?1 1?1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 an 3 23 23 2＋1?3 n?3 n＋1?3 n＋1?3 6 1 1 1 5 1 1 n＋1?3 6 n＋1?3 5 1 1 1 所以?≤?＋?＋?＋?<1. (推薦時(shí)間：60?分鐘) 一

37、、填空題 1.數(shù)列{an}共有?5?項(xiàng)，其中?a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,3,4，則滿足條件的不同數(shù)列 的個(gè)數(shù)為________. 答案 4 i 解析 設(shè)?bi＝ai＋1－ai，?＝1,2,3,4，則?bi?等于?1?或－1，由?a5＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2 ∵Sn＝???1 a?＋an?? －123＋3n n＝???????? ×n， －a1)＝b4＋b3＋b2＋b1，知?bi(i＝1,2,3,4)共有?3?個(gè)?1,1?個(gè)－1. 所以符合條件的{an}共有?4?個(gè). 2.已知在數(shù)列

38、{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|a30|＝________. 答案 765 解析 ∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3. ∴{an}是以－60?為首項(xiàng)，3?為公差的等差數(shù)列. ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63. 令?an≤0，得?n≤21. ∴前?20?項(xiàng)都為負(fù)值. ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|a30| ＝－(a1＋a2＋?＋a20)＋a21＋?＋a30 ＝－2S20＋S30. 2 2 ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|a30|＝765. －?? ＝2，則?S

39、2?015?的值等于________. a 3.在等差數(shù)列{an}中，1＝－2?015，其前?n?項(xiàng)和為?Sn，若 S12?S10 12??10 解析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列{???n}也是等差數(shù)列， 公差?d＝1，故 2?015?＝－2?015＋(2?015－1)×1＝－1， 答案 －2?015 S n S 根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)?1?＝a1＝－2?015， S 2?015 所以?S2?015＝－2?015. 4x 1 2 2?014 ＋2????????? 4.設(shè)?f(x)＝4x ，若?S＝f(2?015)＋f(2?0

40、15)＋?＋f(2?015)，則?S＝________. 答案 1?007 41－x 4x 2 ＋2????????????? ＋2??? 解析 ∵f(x)＝4x ，∴f(1－x)＝41－x ＝2＋4x， ＋???? ＝1. ∴f(x)＋f(1－x)＝ 4x?????2 4x＋2?2＋4x S＝f(????1 )＋f(???? )＋?＋f(???? )，① S＝f(???? )＋f(???? )＋?＋f(???? )，② ①＋②得，2S＝[f(???? )＋f(???? )]＋[f(???? )＋f(???? )]＋?＋[f(??

41、?? )＋f(???? )]＝2?014， 2 2?014 2?015 2?015 2?015 2?014 2?013 1 2?015 2?015 2?015 1 2?014 2 2?013 2?014 1 2?015 2?015 2?015 2?015 2?015 2?015 ∴S＝???? ＝1?007. 2?014 2 5.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式?an＝ncos  nπ 2?，其前?n?項(xiàng)和為?Sn，則?S2?012?等于________. ∴a1＋a2＋?＋a2?012＝2＋2＋?＋??2??＝2×503＝1?0

42、06. 6.數(shù)列{an}滿足?a1＝1，且對任意的?m，n∈N?*都有?am＋n＝am＋an＋mn，則???＋???＋???＋?＋ 答案? 4?024 所以?an＝1＋2＋3＋?＋n＝?n(n＋1) 2 因此???＝?????? ＝2èn－n＋1?， a1? a2 a3???? a2?012 ＝2è1－2＋2－3＋?＋2?012－2?013? ＝2è1－2?013?＝2?013. 答案 1?006 解析 用歸納法求解. 2 ∵an＝ncos?nπ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0， a6＝－6，a7＝0，a8＝8，?. 由此易知?a4

43、n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n， 且?a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2， a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，?， a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2. 又?2?012＝4×503， 503個(gè) 1 1 1 1 a1 a2 a3 a2?012 ＝________. 2?013 解析 令?m＝1，得?an＋1＝an＋n＋1，即?an＋1－an＝n＋1， 于是?a2－a1＝2，a3－a2＝3，?，an－an－1＝n， 上述?n－1?個(gè)式子相加得?an－a1＝2＋3＋?＋n， ， 1 2 ?1 1

44、?? an n(n＋1) 1 1 1 1 所以?＋?＋?＋?＋ ? 1 1 1 1 1?? ? 1?? 4?024 7.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，記?Sn?是數(shù)列{an}的前?n?項(xiàng)和，則?S60＝________. 答案 480 解析 ∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，?，且?a4＋a2＝1，a6＋a4 ＝1，a8＋a6＝1，?，∴{a2n－1}為等差數(shù)列，且?a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即?a1＝1，a3＝2， a5＝3，a7＝4， ∴S

45、60＝4×15＋ ×4＝480. 8.設(shè)?Sn?為數(shù)列{an}的前?n?項(xiàng)和，若???2n(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若 解析 由題意可知，數(shù)列{cn}的前?n?項(xiàng)和為?Sn＝ ，前?2n?項(xiàng)和為?S2n＝ n(c1＋cn)???????????? 2n(c1＋c2n) 2????????????????????????? 2 以???2n＝????????? ＝2＋??????? ＝2＋?????? .因?yàn)閿?shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，即???2n為非零 Sn n(c1＋cn)???? 4＋nd－d????? 4－d Sn 1＋ 解析?? ∵Sn＋

46、1＝??＋??＋?＋??????? ＝(1－??)＋(??－??)＋?＋( －???? )＝1－??? ＝ n＋2 ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8， S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，?， 15×14 2 S Sn 數(shù)列?{cn}是首項(xiàng)為?2，公差為?d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列?{cn}是“和等比數(shù)列”，則?d＝ ________. 答案 4 ，所 2n(c1＋c2n) S 2 2nd 2 S 2 nd 常數(shù)，所以?d＝4. 1

47、1 1 1 3 ???? 9.設(shè)?Sn＝2＋6＋12＋?＋n(n＋1)(n∈N*)，且?Sn＋1·?Sn＋2＝4，則?n?的值是________. 答案 5 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 (n＋1)(n＋2) n＋1 n＋2 n＋2 n＋1 ， n＋2 ?? ∴Sn＋2＝n＋3. n＋1 3 ?? ∴Sn＋1·?Sn＋2＝n＋3＝4，解得?n＝5. n?1?1 10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為?an＝?＋ ，前?n?項(xiàng)和為?Sn，若對任意的正整數(shù)?n，不等式?S2n－ m Sn>16恒成立，則常

48、數(shù)?m?所能取得的最大整數(shù)為_________________________________. 答案 5 m 解析 要使?S2n－Sn>16恒成立， ??m 只需(S2n－Sn)min>16 . 因?yàn)?S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn) ＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn) ＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1 2n＋2 2n＋3 n＋2 (2)設(shè)?bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和為?Sn，是否存在正整數(shù)?k，使得???＋???＋???＋?＋???

49、2 ∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn＝ 4 ＝ 1－4＋2－5＋3－6＋?＋n－n＋3è ? ?＝ 1 ?2n＋2 2n＋4 n＋2 2n＋2 2n＋4 ??所以 < m< ，m?所能取得的最大整數(shù)為?5. ??????∵???＝ ＝ n－n＋3?，è ? ?????S1 S2 S3 Sn 1＋??＋??－ － －＝ 2 3 n＋1 n＋2 n＋3?< ，3è ??(2)令?bn＝(－1)n－1???4n???，求數(shù)列{bn}的前?n?項(xiàng)和?Tn. 1 1 ＋ － 1 1 1 1 1 > ＋ － ＝ － >0， 1 所以?S2n－Sn≥S2－S1＝3，

50、 m?1 16 16?3 3 二、解答題 11.在等比數(shù)列{an}中，a1>0，n∈N*，且?a3－a2＝8，又?a1，a5?的等比中項(xiàng)為?16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； 1 1 1 1 S1 S2 S3 Sn 對任意?n∈N*恒成立.若存在，求出正整數(shù)?k?的最小值；若不存在，請說明理由. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為?q，由題意可得?a3＝16. ∵a3－a2＝8，∴a2＝8，∴q＝2. ∴an＝2n＋1. n＋1 ， n(n＋3) . 1 4 4?1 1?? Sn n(n＋3) 3 1 1 1 1 ∴?＋

51、?＋?＋?＋ 4? 1 1 1 1 1 1 1?? 3 4? 1 1 1 1 1???22 9 ∴正整數(shù)?k?的最小值為?3. 12.(2014·?山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為?2，前?n?項(xiàng)和為?Sn，且?S1，S2，S4?成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； anan＋1 2×1 解 (1)因?yàn)?S1＝a1，S2＝2a1＋?2?×2＝2a1＋2， 4×3 S4＝4a1＋?2?×2＝4a1＋12， 由題意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得?a1＝1， 2n?? ，n為偶數(shù). (或?Tn＝

52、 2n＋1 解 (1)當(dāng)廣告費(fèi)為?1?千元時(shí)，銷售量?S＝b＋??＝ . ?(2)bn＝(－1)n－1???4n ??????anan＋1 (2n－1)(2n＋1) ?2n－1 2n＋1 所以?an＝2n－1. 4n ＝(－1)n－1 1 1 ＝(－1)n－1( ＋ ). 當(dāng)?n?為偶數(shù)時(shí)， 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ??????????????? 2n＋1 Tn＝(1＋3)－(3＋5)＋?＋(2n－3＋2n－1)－(2n－1＋2n＋1)＝1－2n＋1＝ . 當(dāng)?n?為奇數(shù)時(shí)， 1 1 1 1 1 1 1 1 2n＋2 ??

53、????????????? 2n＋1 Tn＝(1＋3)－(3＋5)＋?－(2n－3＋2n－1)＋(2n－1＋2n＋1)＝1＋2n＋1＝ . ì?2n＋2，n為奇數(shù)， 所以?T?＝í2n＋1 n 2n＋1 2n＋1＋(－1)n－1 ) 13.某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利?a?元的前提下，可賣出?b?千克.若做廣告宣傳，廣告費(fèi) b 為?n(n∈N*)千元時(shí)比廣告費(fèi)為(n－1)千元時(shí)多賣出2n千克. (1)當(dāng)廣告費(fèi)分別為?1?千元和?2?千元時(shí)，用?b?表示銷售量?S； (2)試寫出銷售量?S?與?n?的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)?a＝5

54、0，b＝200?時(shí)，要使廠家獲利最大，銷售量?S?和廣告費(fèi)?n?分別應(yīng)為多少？ b 3b 2 2 b b 7b ＋??? 當(dāng)廣告費(fèi)為?2?千元時(shí)，銷售量?S＝b＋2 22＝?4?. (2)設(shè)?Sn(n∈N*)表示廣告費(fèi)為?n?千元時(shí)的銷售量， b 由題意得?S1－S0＝2， b S2－S1＝22， ? b Sn－Sn－1＝2n. b b b b 以上?n?個(gè)等式相加得，Sn－S0＝2＋22＋23＋?＋2n， ＋b[1－(??)n???1] 1－ 1 b b b b 2 即?S＝Sn＝b＋2＋22＋23＋?＋2n＝ 1

55、2 1 ＝b(2－2n)，n∈N?*. (3)當(dāng)?a＝50，b＝200?時(shí)，設(shè)獲利為?Tn，則有 1 Tn＝Sa－1?000n＝10?000×(2－2n)－1?000n 10 ＝1?000×(20－?2n?－n)， 10 設(shè)?bn＝20－?2n?－n， 10 10 5 則?bn＋1－bn＝20－2n＋1－n－1－20＋?2n?＋n＝2n－1， 當(dāng)?n≤2?時(shí)，bn＋1－bn>0；當(dāng)?n≥3?時(shí)，bn＋1－bn<0. 所以當(dāng)?n＝3?時(shí)，bn?取得最大值， 即?Tn?取得最大值，此時(shí)?S＝375， 即該廠家獲利最大時(shí)，銷售量和廣告費(fèi)分別應(yīng)為?375?千克和?3?千元.