第二章 概率與分布

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1、第二章 概率與分布（3４5)（駱福添） ·聯(lián)系： 對象 在離散點或 區(qū)間上分布 分布特征數(shù) 樣本數(shù)據(jù) 頻數(shù)分布表 頻數(shù)分布圖 描述指標(biāo) () （p) 隨機(jī)變量 概率分布表 概率分布圖 總體參數(shù) (） （p） 2。３　 二項分布 一、概率函數(shù) (概率分布表） ·名詞解釋：觀察結(jié)果二項、概率等于二項展開式 ·有放回地獨(dú)立重復(fù)摸球5次后黑球出現(xiàn)總次數(shù)X的概率函數(shù)。 ｆx　 表2。1 例2。3中離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)（n=５） X的可 能取值 　黑球數(shù) 0 １ ２ 3 4 5 概率P（x） 0。0003 ０．０

2、064 0.0512 0.20４8 ０.4０9６ ０.32７7 ·這個概率函數(shù)值恰好對應(yīng)于下列二項展開式的各個項： ?(0.2+0。８）5 ＝(0.２)５ +（0．8）(0．2)４　+(0．8）2 (0。２）３　 ?? 　 +（０.8）3 （0.2）２ +（0．8）4 （0.2)+(0.8）5 ·一般地，陽性概率為p，ｎ次獨(dú)立、重復(fù)試驗后該事件出現(xiàn)陽性數(shù)為ｘ次的概率為 , 　x=0, 1， ， n (２。1３)　 　 其中　 ， 0！=1, k!=k（k－1)…(2）(1),　k≠0 ?。?。１3)式稱為二項分布的概率函數(shù),稱相應(yīng)的隨機(jī)變量X服從二項分布(b

3、inoｍiａl　distribution)， 記為X~Β(p， n） ·至多出現(xiàn)x次數(shù)的概率為P=P(０)+P(１)＋…＋P（x)，簡記為 ??? (2。１４） 這就是二項分布變量X的分布函數(shù). 例2．3 　現(xiàn)有5只動物注射了半數(shù)致死量的毒物,試分別計算死亡動物數(shù)X＝0, １， 2, 3， 4, ５的概率。（提示：p＝0．５） 解 Ｐ（0）=(0.5)5 （0.5）０ ＝０.０３12５ 　 P(1)＝(0.5）４ （0．5）1　＝0．15625 P（2）＝（０。5）3?。?．５）2 ＝0。3１250 P(3）=（0.5)2 (0．5）３ =0．3１

4、２50 P（4)＝（0.５）1（0.5）４ ＝0.1562５ P(5)=（0．5）0　（0.5)5 ＝０。0３125 二、分布圖形的特征 (概率分布圖） 圖2.1 ·p〈0。5時,　在橫軸的正方向拖一長尾呈正偏峰（a） ·p＞0.５時， 在橫軸的負(fù)方向拖一長尾呈負(fù)偏峰(ｂ) ·p=0。5時, 呈對稱（c) ·n相當(dāng)大，np和n(１-p）都大于5,p=?,圖形也接近對稱（d) Pois 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (a) p<0.50 （正偏峰） 0 1 2 4 5 0 0.

5、1 0.2 0.3 0.4 0.5 (b) p>0.50 （負(fù)偏峰） 圖2.1 若干二項分布的概率函數(shù)直條圖 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 (d) p10.50, n相當(dāng)大 （對稱、正態(tài)） 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (c) p=0.50 （對稱） 三、總體均數(shù)與總體標(biāo)準(zhǔn)差 （平均水平與變異程度-分布參數(shù)) ·推導(dǎo)過程:(下述黑體字公式，可忽略） ?＝··＝ ?? （2。15） =

6、（２。１6） (2。17） ?(2．18） ? ? ? (2。19) ? （2.20） ?= ?? == ?(２.21） ·樣本頻率的總體均數(shù)、總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差 mx=np，??? mp=p? ? , ?(２。22) ??,? 　 四、實例討論（略） 第四節(jié) Poissｏn分布 一、概率函數(shù) ·Pｏisｓｏn分布是 （１）罕見的獨(dú)立事件陽性數(shù)目的隨機(jī)分布 （2）也可視為n很大,　p很小時二項分布Ｂ(p，　n）的極限情形 ·以放射性脈沖計數(shù)為例，Ｐｏｉsson分布的前提條件： (１） （n足夠大），區(qū)間足夠小,以致每

7、個區(qū)間陽性數(shù)<2（平穩(wěn)性） （２) 每個區(qū)間陽性概率都是(重復(fù)、小概率) (3) 不同區(qū)間是否發(fā)生是統(tǒng)計獨(dú)立的(獨(dú)立性) 數(shù)學(xué)上可以證明，　當(dāng)n→∞時Pｎ（x)的極限為 ?? ? (2.２3） ·應(yīng)用: ?許多發(fā)病率很低的疾?。ㄈ缒[瘤，不具傳染性、無永久免疫、無遺傳性），發(fā)病人數(shù)X近似地服從Poisson分布，其中 二、分布圖形的特征 例２．4 　據(jù)報導(dǎo),　新生兒染色體異常率為１％，　試用兩種方法計算1０0名新生兒發(fā)生ｘ＝0， 1， 2例染色體異常的概率。 解 利用二項分布和Poissｏｎ分布計算的結(jié)果如表２。２所示 表2。2　 用二項分布和PＯISSON分布計算染

8、色體異常概率的比較 Ｘ P（x） Β（1％， １00） Π（1) 0 （0。99)10０ (０。0１）0=0。３660 e—１ (１）0 /0！＝0．3679 1 （0．99）１00-１ (0。01)1＝0.369７ ｅ-1 （１）1 ／１！=0。3６７９ ２ (0。99)１00-2 （0。01）２＝0。１８49 ｅ－1 (１)2 /２!=0。18３9 ·Ｐoisson分布圖形: ?呈正偏峰 不可能出現(xiàn)負(fù)偏峰的圖形　　f２_3a 三、總體均數(shù)和總體方差 二項分布的總體均數(shù)和總體方差為 ??　 和　　 Ｐｏisｓon分布的總體均數(shù)和總體方差為

9、 和 　 　 即總體均數(shù)等于總體方差。這是Ｐoissｏn分布獨(dú)有的性質(zhì)，　可通過考察樣本均數(shù)是否接近樣本方差, 來判斷是否為Poisson分布 四、可加性 設(shè)X1～Π（λ１　)， Ｘ2 ～Π（λ2)， 且互相獨(dú)立， ? 則X1　＋X2 ~Π（λ1 +λ２?。? 　 　 　　　 例如,　假定每10分鐘內(nèi)記錄到的放射性脈沖數(shù)服從Π（λ）,　獨(dú)立、重復(fù)2次，　測定值為X1和X2 , 則它們之和服從Π（2λ）. ·但須注意，　設(shè)X～Π（λ)， 則2X并不服從Π（2λ)，　X/２也不服從Π（λ／2）。 例如, １0分鐘內(nèi)測定的放射性脈沖數(shù)乘2后并不等于２0分鐘

10、內(nèi)的測定資料, 不能用Π（2λ）來描述； 10分鐘的測定值除以2后也不等于5分鐘內(nèi)的測定值， 也不能用Π（λ/2）來描述。 第五節(jié) 正態(tài)分布 一、概率密度函數(shù) 實踐中許多連續(xù)型隨機(jī)變量的頻率密度直方圖形狀是中間高、兩邊低、左右對稱的， 為便于研究相應(yīng)的總體規(guī)律, 人們用概率密度函數(shù) ? （２.24) f2_3 來描述這類隨機(jī)變量，　并稱這樣的變量服從正態(tài)分布（noｒmal distributioｎ)　或高斯分布（Gauｓｓian dｉstｒｉbｕtion）。 正態(tài)分布有兩個參數(shù)μ和σ。μ是總體均數(shù)；σ是總體標(biāo)準(zhǔn)差（永遠(yuǎn)大于零）。這兩個參數(shù)可完全決定一個正態(tài)分布，　

11、故常簡記為N（μ, σ2　)。當(dāng)μ＝0，　σ＝1時，　概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 密度函數(shù) 分布函數(shù) ?（2．２5） 這樣的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 簡記為Ｎ（0， 1）。 正態(tài)概率密度曲線圖性質(zhì)： (1）　關(guān)于對稱; （2）　在處曲線最高; (3） 在處各有一個拐點; （4） 曲線下面積為1；　 （５） 若固定， 隨值不同, 曲線位置不同， 故稱為位置參數(shù)； （6) 若固定， 大時,　曲線矮而胖；小時, 曲線瘦而高，　故稱為形狀參數(shù)。 m-2s m-s m m+s m+2s -2 -1 0

12、 1 2 x z (a) (b) 圖2.3 正態(tài)概率密度圖 (a)一般形狀 (b)與m和s關(guān)系 m1 m2 s2

13、尾部面積a： f2_3　表2．3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾個重要的臨界值 雙側(cè)臨界值Za 單側(cè)尾部面積 雙側(cè)尾部面積 1.645 0。０5 0．1０ 1。96０ 0.0２5 0。０５ 2.576 0。０05 0.01 三、參考范圍的確定 方法： ·95％參考值范圍（9５%CI)（錯誤概率a=０.０５，把握度＝0．95) (―1．９6s, ＋1.96s) 或 　　 ·９9％參考值范圍（９5％ＣI）（錯誤概率a＝0.0１,把握度=0。９９） ??（―2.58s, ＋2.58ｓ） 　 或 　 四、二項分布和Pｏｉsｓｏn分布的正態(tài)近似 １。 連續(xù)

14、性校正 離散型變量只能在０, 1， 2， …等正整數(shù)取值，為了借用連續(xù)型變量的分布函數(shù)來計算概率，首先要把概率函數(shù)“連續(xù)化”,把概率函數(shù)圖中的“直條”改造成“直方” (a) 概率函數(shù)直條圖 (b) 連續(xù)性校正直方圖 (c) 正態(tài)近似圖 圖2.4 二項分布連續(xù)性校正和正態(tài)近似示意圖 表2.4　二項分布概率的連續(xù)性校正和正態(tài)近似 (1） (2） （3) （4） 二項分布 概率 連續(xù)性校正后概率函數(shù)圖上長方形所在的區(qū)間 近似正態(tài)分布概 率密度圖上曲線 下圖形所在區(qū)間 概率近似公式:在相應(yīng)的 　區(qū)間上,近似正態(tài)分布

15、概 　率密度曲線下圖形的面積 Ｐ(X＝k) （ｋ-0．５， k+0.5） (k-0．5, k＋0.5) P（X≤ｋ） (0, k+０．5） (—∞,?。?０.5） Ｐ(X≥ｋ） （k-0。５, ｎ） (ｋ-0。5， +∞) P（≤X≤k2) (k1—0。５, ｋ2+０。5） (k１—0．5，　k2+0．５） 2。 正態(tài)近似 理論上可以證明 (１）二項分布X~Ｂ（p，　n） ??X～N（np， ｎp（1－p）） 近似 并且 ??P=Ｘ／ｎ ～　N（p, p（1-p)/ｎ） (2）Poisson分布則 X　～ N（λ,

16、 λ） 例2．5 假定人群中某病患病概率為0.00５，　現(xiàn)對該人群中的100０0人體檢, 試求檢出人數(shù)不少于５5人的概率。 解 可認(rèn)為檢出人數(shù)服從二項分布 二項分布資料用Ｐoisｓｏn分布近似與正態(tài)近似比較 直接計算 正態(tài)近似 相對誤差 二項分布 ０。2572 ０。2616 1。7％ Poisson分布 0。２5７7 0。262４ １。8% 相對誤差 0.２％ ０.3％ 　計算過程： ? P（ｘ≥55）=＝0.２57２ 或據(jù)Poisｓon分布，令參數(shù)λ＝1０000×0。0０5=50,　 ? P（ｘ≥55）=＝0。２57７ 計算繁雜.現(xiàn)采用正態(tài)近似，　 ??np=50,np（１—p）=50×0。995=49。７5 　 利用二項分布正態(tài)近似公式 ? P(x≥55）＝Φ ???=Φ＝=0.2616 　 利用Ｐoiｓsoｎ分布的正態(tài)近似公式 ? P(ｘ≥55）≈Φ ??=Φ==０。2624 兩者與0。２572的相對誤差均小于2%. ★　結(jié)語： 對象 在離散點或 區(qū)間上分布 分布特征數(shù) 樣本數(shù)據(jù) 頻數(shù)分布表 頻數(shù)分布圖 描述指標(biāo) （） （p) 隨機(jī)變量 （誤差) 概率分布表 概率分布圖 總體參數(shù) （） （p) 文中如有不足，請您見諒！ 6 / 6