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1、第八章 無限脈沖響應數(shù)字濾波器的設計,8.1 數(shù)字濾波器的基本概念,例：有信號 要求用數(shù)字方法濾去50Hz的成分 解：用T=0.004秒對信號x(t)進行采樣（fs=250Hz）則,,輸出為五個信號采樣值的平均值。,,討論： （1）可以用數(shù)字方法實現(xiàn)濾波 （2）在數(shù)字濾波中，可以實現(xiàn)“非因果”的處理 （3）若本例中改為50Hz和500Hz組成的信號，采樣頻率為2500Hz，數(shù)字濾波的結果是一樣的。因此數(shù)字濾波時，濾波參數(shù)和信號采樣頻率的相對值有關。,非因果系統(tǒng),因果系統(tǒng),8.1 數(shù)字濾波器的基本概念,1. 數(shù)字濾波器的分類 數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡結構或者從單位脈沖響應分類，可以分成無限脈
2、沖響應(IIR)濾波器和有限脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：,(8.1.1),(8.1.2),2數(shù)字濾波器的技術要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示：,圖8.1.2 低通濾波器的技術要求,通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：,(8.1.3),(8.1.4),如將|H(ej0)|歸一化為1，(8.1.3)和(8.1.4)式則表示成：,(8.1.5),(8.1.6),3. 數(shù)字濾波器設計方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設計方
3、法是很不相同的。IIR濾波器設計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,8.3 用脈沖響應不變法設計IIR數(shù)字低通濾波器,為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應的頻率之間成線性關系。,圖8.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關系,設模擬濾波器的傳輸函數(shù)
4、為Ha(s),相應的單位沖激響應是ha(t),設模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式 的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表 示：,(8.3.1),式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏 變換得到ha(t)：,(8.3.2),式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：,(8.3.3),對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：,(8.3.4),設ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，,對 進行拉氏變換，得到:,式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值， 它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)
5、=ha(nT)，因此 得到:,(8.3.5),上式表示采樣信號的拉氏變換與相應的序列的Z變換之間的映射關系可用下式表示： 我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關系滿足(1.5.5)式，重寫如下：,(8.3.6),將s=j代入上式，得,由(8.3.5)式和(8.3.8)式得到:,(8.3.7),(8.3.8),(8.3.9),上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(8.3.6)式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。(8.3.6)式可稱為標準映射關系。下面進一步分析這種映射關系。
6、設,按照(8.3.6)式，得到:,因此得到:,(8.3.10),那么 =0,r=1 0,r1 另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成,為任意整數(shù),圖8.3.1 z=esT,s平面與z平面之間的映射關系,圖8.3.2 脈沖響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象,假設 沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足 按照(8.3.9)式，并將關系式s=j代入，=T，代入得到： 令,一般Ha(s)的極點si是一個復數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(8.3.1)式中將一對復數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為,極點為,(8.3.11),可以推
7、導出相應的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實 數(shù)乘法)的形式為,(8.3.12),如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為,極點為,(8.3.13),(8.3.14),優(yōu)點：頻率坐標的轉換是線性的 缺點：1）非一一對應的映射， （2 ）內(nèi)為一一對應 2） 存在混疊現(xiàn)象。由于相應的模擬濾波器不是一個帶限系統(tǒng)，根據(jù) 系統(tǒng)一定存在混疊 適用（1）衰減特性好的低通帶通濾波器 （2）系統(tǒng)函數(shù)可用極點部分分式表示時,在實際應用中，通常采用修正措施： 因為了減少混疊效應，一般選用較高采樣頻率，取T很小，這樣會造成 增益過高，故采取措施,例8.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖響
8、應不變法將Ha(s)轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：,極點為,那么H(z)的極點為,按照(8.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到 設T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則,轉換時，也可以直接按照(8.3.13),(8.3.14)式進行 轉換。首先將Ha(s)寫成(8.3.13)式的形式，如極點 s1,2=1j1,則,再按照(8.3.14)式，H(z)為,圖8.3.3 例8.3.1的幅度特性,8.4 用雙線性變換法設計IIR數(shù)字低通濾波器,為了克服脈沖響應不變法的頻率混疊，建立S平面與Z平面之間的一一對應關系，可以采取以下措施：
9、 1）將整個S平面壓縮到S1平面的一個橫向條帶內(nèi) 2） 將S1平面的一個橫向條帶變換到整個Z平面,,,,,,S平面,,,,,,,,,,,,,,1,S1平面,Z平面,,正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：,(8.4.1),式中T仍是采樣間隔，當1從/T經(jīng)過0變化到 /T時，則由經(jīng)過0變化到+，實現(xiàn)了s平面上整 個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉換。 這樣便有,(8.4.2),再通過 轉換到z平面上，得到：,(8.4.3),(8.4.4),下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關系。,圖8.4.1 雙線性變換法的映射關系,令s=j,z=e j，并代入(8.4.3)式中，有,(8.4.5),圖8.4.2
10、 雙線性變換法的頻率變換關系,圖8.4.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射,設,表8.4.1 系數(shù)關系表,例8.4.1試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖8.4.4所示的RC低通濾波器轉換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照圖8.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為,利用脈沖響應不變法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函 數(shù)H1(z)為,利用雙線性變換法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為,H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡結構分別如圖8.4.5(a),(b)所示。,圖8.4.5 例8.4.1圖H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡結構 (a)H1(z); (b)H2(z),下面我們總結利用模擬
11、濾波器設計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。,如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉換關系為,圖8.4.6例8.4.1 圖數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性,(3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 例8.4.2 設計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻
12、帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法設計濾波器。,解 (1) 用脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術指標為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術指標為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB,設計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率c。,取N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(8.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防
13、止頻率混疊有一定好處。 根據(jù)階數(shù)N=6，查表8.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為,為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實際的 傳輸函數(shù)Ha(s),,用脈沖響應不變法將Ha(s)轉換成H(z)。首先將 Ha(s)進行部分分式，并按照(8.3.11)式、(8.3.12)式，或 者(8.3.13)式和(8.3.14)式，得到：,圖8.4.7 例8.4.2圖用脈沖響應不變法設計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性,(2) 用雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術指標仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術指標為, 設計巴
14、特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：,取N=6。為求c,將s和s代入(8.2.18)式中，得 到c=0.7662rad/s。這樣阻帶技術指標滿足要求，通 帶指標已經(jīng)超過。,根據(jù)N=6，查表8.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實際的Ha(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉換成數(shù)字濾波器H(z)：,圖8.4.8 例8.4.2圖用雙線性變換法設計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性,8.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設計,例如高通數(shù)字濾波器等。具體設計步驟如下： (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術指標。 (2)
15、將所需類型數(shù)字濾波器的技術指標轉換成所需類型模擬濾波器的技術指標，轉換公式為,(3)將所需類型模擬濾波器技術指標轉換成模擬低通濾波器技術指標(具體轉換公式參考本章8.2節(jié))。 (4)設計模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變換，轉換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉換成所需類型的數(shù)字濾波器。,例8.5.1 設計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數(shù)字高通的技術指標為 p=0.
16、8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB,(2) 模擬高通的技術指標計算如下： 令T=1，則有,(3)模擬低通濾波器的技術指標計算如下：,將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p, (4)設計歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：,查表8.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為,為去歸一化，將p=s/c代入上式得到：,(5) 將模擬低通轉換成模擬高通。將上式中G(s) 的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：,(6)用雙線性變換法將模擬高通H (s)轉換成數(shù)字高通H(z)：,實際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即,例
17、8.5.2設計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術指標為 通帶上截止頻率 u=0.4rad 通帶下截止頻率 l=0.3rad,阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。,(2) 模擬帶通濾波器技術指標如下： 設T=1，則有,(通帶中心頻率),(帶寬),將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，
18、得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.804 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術指標： 歸一化阻帶截止頻率,歸一化通帶截止頻率,p=1 p=3dB,s=18dB,(4) 設計模擬低通濾波器：,查表8.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),,(5) 將歸一化模擬低通轉換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：,將上式代入(5)中的轉換公式，得,將上面的p等式代入G(p)中，得,例8.5.3設計一個數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率l=0.19
19、,阻帶下截止頻率s1=0.198，阻帶上截止頻率s2=0.202，通帶上限頻率u=0.21，阻帶最小衰減s=13dB，l和u處衰減p=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 數(shù)字帶阻濾波器技術指標： l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB; s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB,(2) 模擬帶阻濾波器的技術指標： 設T=1，則有,阻帶中心頻率平方為 20=lu=0.421 阻帶帶寬為 B=u-l=0.07rad/s,將以上邊界頻率對B歸一化： l=8.786,u=9.786, s1=9.186,s2=9.38
20、6; 20=lu=85.98 (3) 模擬歸一化低通濾波器的技術指標： 按照(8.2.48)式，有 p=1,p=3dB,(4) 設計模擬低通濾波器：,(5) 將G(p)轉換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：,(6) 將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。,8.6 IIR 數(shù)字濾波器的直接設計法,1. 零極點累試法 稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意： (1)極點必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的。,圖8.8.1 例8.8.1圖 (a)零極點分布； (b)幅度
21、特性,2.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設計IIR數(shù)字濾波器 設IIR濾波器由K個二階網(wǎng)絡級聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，,(8.8.1),式中，A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(e j) 是希望設計的濾波器頻響。如果在(0，)區(qū)間取N點數(shù) 字頻率i,i=1,2,:,N，在這N點頻率上，比較|Hd(e j)|和 |H(e j)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為,(8.8.2),而在(8.8.1)式中共有(4K+1)個待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面我們研究采用(8.8.1)式網(wǎng)絡結構，如何求出(4K+1)系數(shù)。 按照(8.8.2)式，E是(4K+1)個未知數(shù)
22、的函數(shù)，用下式表示：,上式表示4K個系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導公式方便，令,(8.8.3),為選擇A使E最小，令,(8.8.4),設k是 的第k個分量(ak或bk或ck或dk)，,(8.8.5),因為 ,式中H*i表示對Hi函數(shù)共軛。,(8.8.6),將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導，得到：,(8.8.7),式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。 同理求得,(8.8.8),(8.8.9),(8.8.10),由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，極、零點均以共軛成對的形式存在，對于極點z1,一定有下面關系：,(8.8.11),圖8.8.2 例8.8.2圖 (a
23、)要求的幅度特性；(b)k=1，2時的幅度特性,例8.8.2 設計低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖 8.8.2(a)所示。截止頻率s=0.1rad。,解 考慮到通帶和過渡帶的重要，在00.2區(qū)間，每隔0.01取一點i值，在0.2區(qū)間每隔0.1取一點i值，并增加一點過渡帶，在=0.1處 |Hd(e j)|=0.5。 1.0,=0,0.01,0.02,:,0.09 0.5,=0.1 0.0,=0.11,0.12,:,0.19 0.0,=0.2,0.3,:,,,N=29，取k=1，系統(tǒng)函數(shù)為,待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d1。設初始值=(
24、0000.25)T經(jīng)過90 次迭代，求得E=1.2611，系統(tǒng)函數(shù)零、極點位置為 零點0.67834430j0.73474418; 極點0.75677793j1.3213916 為使濾波器因果穩(wěn)定，將極點按其倒數(shù)搬入單位圓內(nèi)，再進行62次優(yōu)化迭代，求得結果為 零點0.82191163j0.56961501; 極點0.89176390j0.19181084; Ag=0.11733978,E=0.56731,誤差函數(shù)用下式表示：,(8.8.12),3. 在時域直接設計IIR數(shù)字濾波器 設我們希望設計的IIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應為 hd(n)，要求設計一個單
25、位脈沖響應h(n)充分逼近hd(n)。下 面我們介紹這種設計方法。 設濾波器是因果性的，系統(tǒng)函數(shù)為,(8.8.13),式中a0=1，未知系數(shù)ai和bi共有N+M+1個，取h(n)的一段，0np-1，使其充分逼近hd(n)，用此原則求解M+N+1個系數(shù)。將(8.8.13)式改寫為,令p=M+N+1,則,(8.8.14),令上面等式兩邊z的同冪次項的系數(shù)相等，可得到N+M+1個方程： h(0)=b0 h(0)a1+h(1)=b1 h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2 上式表明h(n)是系數(shù)ai,bi的非線性函數(shù)，考慮到iM時，bi=0，一般表達式為：,
26、(8.8.15),(8.8.16),設x(n)為給定的輸入信號，yd(n)是相應的希望的輸出信號，x(n)和yd(n)長度分別為M和N，實際濾波器的輸出用y(n)表示，下面我們按照y(n)和yd(n)的最小均方誤差求解濾波器的最佳解，設均方誤差用E表示：,(8.8.17),(8.8.18),上式中x(n),0nM1；yd(n)，0nN-1 為選擇h(n)使E最小，令,由(8.8.18)式得到,(8.8.20),例8.8.2設計數(shù)字濾波器，要求在給定輸入x(n)=3,1的情況下，輸出yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。 解 設h(n)長度為p=4，按照(8.8.20)式，得,列
27、出方程： 10h(0)+3h(1)=3.25 3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85 3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31 3h(2)+9h(3)=0.03,解聯(lián)立方程，得 h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109 將h(n)以及M=1,N=2代入(8.8.15),(8.8.16)式中，得 a1=0.1824,a2=0.1126 b0=0.3333,b1=0.0330 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為,相應的差分方程為 y(n)=0.3333x(n)+0.0330 x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2) 當x(n)=3,1時，輸出y(n)為 y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012: 將y(n)與給定yd(n)比較，y(n)的前五項與yd(n)的前五項很相近，y(n)在五項以后幅度值很小。,
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