高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第三部分 高考仿真模擬卷三 Word版含解析

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1、 2020高考仿真模擬卷(三) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．設(shè)集合P＝{(x，y)|y＝k}，Q＝{(x，y)|y＝2x}，已知P∩Q＝?，那么k的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0] D．(1，＋∞) 答案　C 解析　由P∩Q＝?可得，函數(shù)y＝2x的圖象與直線y＝k無公共點，所以k∈(－∞，0]． 2．“(綈p)∨q為真命題”是“p∧(綈q)為假命題”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　

2、C 解析　(綈p)∨q為真命題包括以下三種情況：p假q真、p假q假、p真q真；p∧(綈q)為假命題包括以下三種情況：p假q真、p假q假、p真q真；所以“(綈p)∨q為真命題”是“p∧(綈q)為假命題”的充要條件． 3．歐拉公式 eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知eai為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　eai＝cosa＋isina是純虛

3、數(shù)，所以cosa＝0，sina≠0，所以a＝kπ＋，k∈Z，所以2a＝2kπ＋π，k∈Z，sin2a＝0，所以＝＝＝＋i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限． 4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是(　　) A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 答案　D 解析　從上下方向上看，△PAC的投影為①圖所示的情況； 從左右方向上看，△PAC的投影為④圖所示的情況； 從前后方向上看，△PAC的投影為④圖所示的情況． 5．(2019·陜西西安八校4月聯(lián)考)已知(x＋1)6(ax－1)2的展開式中，x3的系數(shù)為56

4、，則實數(shù)a的值為(　　) A．6或－1 B．－1或4 C．6或5 D．4或5 答案　A 解析　因為(x＋1)6(ax－1)2＝(x＋1)6(a2x2－2ax＋1)，所以(x＋1)6(ax－1)2的展開式中x3的系數(shù)是C＋C(－2a)＋Ca2＝6a2－30a＋20，∴6a2－30a＋20＝56，解得a＝6或－1.故選A. 6．(2019·內(nèi)蒙古呼倫貝爾統(tǒng)一考試一)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個單位后關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)在上的最大值為(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝

5、sin＝sin的圖象，則－＋φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|<，∴φ＝，f(x)＝sin，由題意x∈，得2x＋∈，∴sin∈，∴函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間的最大值為.故選B. 7．已知sinα－cosα＝，則cos＋sin＝(　　) A．0 B． C．－ D． 答案　C 解析　依題意，sin＝；因為－＝， 故α＋＝＋，則cos＝cos＝－sin＝－； 而－＝π，故＝π＋， 故sin＝－sin＝－， 故cos＋sin＝－. 8．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為K，拋物線上一點P，若|PF|＝5，則△PFK的面積為(　　) A．4 B．5 C．8 D．10

6、 答案　A 解析　由拋物線的方程y2＝4x，可得 F(1,0)，K(－1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1， 設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4， 不妨設(shè)P(x0，y0)在第一象限，則P(4,4)， 所以S△PKF＝|FK|·|y0|＝×2×4＝4. 9．如圖，△GCD為正三角形，AB為△GCD的中位線，AB＝3AE，BC＝3BF，O為DC的中點，則向量，夾角的余弦值為(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　B 解析　解法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點，DC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)△GCD的邊長為4，則A(－1，)，E，B(1，)，C(2,

7、0)，F(xiàn)， ＝，＝， ·＝－，||＝，||＝， cos〈，〉＝＝－. 解法二：設(shè)△GCD的邊長為4，連接OE，OA，如圖，易得△ADO為正三角形，∠OAE＝60°，AO＝2，AE＝，由余弦定理得OE＝，同理得EF＝，OF＝，∴∠EFO＝60°，∴cos〈，〉＝cos120°＝－. 10．王老師的班上有四個體育健將甲、乙、丙、丁，他們都特別擅長短跑，在某次運動會上，他們四人要組成一個4×100米接力隊，王老師要安排他們四個人的出場順序，以下是他們四人的對話： 甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒； 丙：我也不跑第一棒和第四棒；?。喝绻也慌艿诙?，我就不跑

8、第一棒； 王老師聽了他們四人的對話，安排了一種合理的出場順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定，在王老師安排的出場順序中，跑第三棒的人是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　C 解析　由題意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，則跑第三棒的人只能是乙、丙中的一個，當(dāng)丙跑第三棒時，乙只能跑第二棒，這時丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合題意，故跑第三棒的人是丙． 11．已知點P為雙曲線－＝1(a>b>0)右支上一點，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，點I是△PF1F2的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)，若恒有S△IPF1－S△IPF2≥S△IF1F2成立，則雙曲線離心率的取值范圍是(　

9、　) A．(1,2] B．(1,2) C．(0,3] D．(1,3] 答案　D 解析　設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， S△IPF1＝|PF1|·r， S△IPF2＝|PF2|·r， S△IF1F2＝·2c·r＝cr， 由題意，得|PF1|·r－|PF2|·r≥cr， 故c≤(|PF1|－|PF2|)＝3a， 故e＝≤3，又e>1， 所以雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3]． 12．已知函數(shù)f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，若對任意給定的m∈[0,2]，關(guān)于x的方程f(x)＝g(m)

10、在區(qū)間[0,2]上總存在唯一的一個解，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B． C．(0,1)∪{－1} D．(－1,0)∪ 答案　B 解析　f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)， ①當(dāng)a＝0時，f(x)＝1，g(x)＝， 顯然不可能滿足題意； ②當(dāng)a>0時，f′(x)＝6ax(x－1)， x，f′(x)，f(x)的變化如下： 又因為當(dāng)a>0時，g(x)＝－x＋是減函數(shù)， 對任意m∈[0,2]，g(m)∈， 由題意，必有g(shù)(m)max≤f(x)max，且g(m)min>f(0)， 故解得≤a＜1； ③當(dāng)a<0時，g(x)＝－x＋是增函數(shù)，不符

11、合題意． 綜上，a∈. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測算兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以計算出A，B兩點的距離為________． 答案　50 m 解析　根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以∠BAC＝30°， 由正弦定理＝，得＝. 解得AB＝50 m. 14．(2019·廣東廣州綜合測試一)已知函數(shù)f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，則f＝________. 答案　 解析　由題意得f(2)＝8＋a

12、log32＝6，變形得alog32＝－2， 則f＝3＋alog3＝－alog32＝. 15．已知實數(shù)x，y滿足約束條件則sin(x＋y)的取值范圍為________(用區(qū)間表示)． 答案　 解析　作出約束條件表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)． 設(shè)z＝x＋y，作出直線l：x＋y＝z， 當(dāng)直線l過點B時，z取得最小值；當(dāng)直線l過點A時，z取得最大值，所以≤x＋y≤，所以sin(x＋y)∈. 16．(2019·廣東測試二)圓錐Ω的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是圓心角大小為180°的扇形．正四棱柱ABCD－A′B′C′D′的上底面的頂點A′，B′，C′，D′均在圓錐Ω的側(cè)面上，棱柱下

13、底面在圓錐Ω的底面上，則圓錐的高為________，此正四棱柱的體積的最大值為________． 答案　2　 解析　設(shè)圓錐的母線長為l，圓錐底面周長為2π×2＝4π＝π×l， ∴l(xiāng)＝4，∴圓錐的高為＝2. 設(shè)正四棱柱ABCD－A′B′C′D′的底面邊長為2a，高為h，則＝，即2－a＝h，正四棱柱的體積V＝4a2h＝4a2(2－a)，設(shè)f(a)＝4a2(2－a)，f′(a)＝4a(4－3a)，令f′(a)＝0得a＝，當(dāng)00，當(dāng)a>，f′(a)<0，故f(a)的最大值為f＝. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每

14、個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：共60分． 17．(本小題滿分12分)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{logan}是公差為－1的等差數(shù)列，且a2＋2是a1，a3的等差中項． (1)證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若Tn是數(shù)列的前n項和，且Tn

15、1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1.6分 (2)依題意，＝，故數(shù)列是以1為首項， 為公比的等比數(shù)列，8分 故Tn＝＋＋＋…＋＝1＋＋…＋＝＝<，10分 故M≥，即實數(shù)M的取值范圍為.12分 18．(2019·湖南師大附中考前演練五)(本小題滿分12分)在五邊形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE(如圖1)．將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，線段AB的中點為O(如圖2)． (1)求證：平面ABE⊥平面DOE； (2)求平面EAB與平面ECD所成的銳二面角的大?。? 解　(1)證明：由題意AB＝2CD，O是線

16、段AB的中點，則OB＝CD.又CD∥AB，則四邊形OBCD為平行四邊形，又BC⊥CD，則AB⊥OD，因AE＝BE，OB＝OA，則EO⊥AB，2分 又EO∩DO＝O，則AB⊥平面EOD， 又AB?平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD. 4分 (2)由(1)易知OB，OD，OE兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)B，OD，OE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，△EAB為等腰直角三角形，O為線段AB的中點，且AB＝2CD＝2BC，則OA＝OB＝OD＝OE， 取CD＝BC＝1，則O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0

17、)，E(0,0,1)，則＝(－1,0,0)，＝(0，－1,1)，設(shè)平面ECD的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 令z＝1，得平面ECD的一個法向量n＝(0,1,1)，因為OD⊥平面ABE，則平面ABE的一個法向量為＝(0,1,0)，8分 設(shè)平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為θ， 則cosθ＝|cos〈，n〉|＝＝， 因為θ∈(0,90°)，所以θ＝45°，故平面ECD與平面ABE所成的銳二面角為45°. 12分 19．(2019·東北三省四市一模)(本小題滿分12分)已知橢圓C：＋＝1的短軸端點為B1，B2，點M是橢圓C上的動點，且不與B1，B2重合，點N滿足NB1⊥MB1，

18、NB2⊥MB2. (1)求動點N的軌跡方程； (2)求四邊形MB2NB1的面積的最大值． 解　(1)解法一：設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)， ∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2， ∴直線NB1：y＋3＝－x，?、? 直線NB2：y－3＝－x，?、?分 ①×②得y2－9＝x2， 又∵＋＝1，∴y2－9＝x2＝－2x2， 整理得點N的軌跡方程為＋＝1(x≠0).6分 解法二：設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)， ∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2， ∴直線NB1：y＋3＝－x，　① 直線NB2：y－3＝－x，　②2分 由①②解得又＋＝1， ∴x＝

19、－，故代入＋＝1得＋＝1. ∴點N的軌跡方程為＋＝1(x≠0).6分 解法三：設(shè)直線MB1：y＝kx－3(k≠0)， 則直線NB1：y＝－x－3，　① 直線MB1與橢圓C：＋＝1的交點M的坐標(biāo)為.2分 則直線MB2的斜率為kMB2＝＝－. ∴直線NB2：y＝2kx＋3，　② 由①②解得，點N的軌跡方程為＋＝1(x≠0).6分 (2)解法一：設(shè)N(x1，y1)，M(x0，y0)(x0≠0)． 由(1)解法二得x1＝－， 四邊形MB2NB1的面積 S＝|B1B2|(|x1|＋|x0|)＝3×|x0|＝|x0|，9分 ∵0

20、法二：由(1)解法三得四邊形MB2NB1的面積 S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|) ＝3×＝ ＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)|k|＝時，S取得最大值.12分 20．(2019·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測二)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex＋bx－1(b∈R)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若方程f(x)＝ln x有兩個實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍． 解　(1)由題可得f′(x)＝ex＋b， 當(dāng)b≥0時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)b<0時，當(dāng)x≥ln (－b)時，f′(x)>0，f(x)在(ln (－b)，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x

21、，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln (－b))上單調(diào)遞減. 4分 (2)令g(x)＝ex＋bx－1－ln x，g′(x)＝ex＋b－，易知g′(x)單調(diào)遞增且一定有大于0的零點，不妨設(shè)為x0，g′(x0)＝0，即e＋b－＝0，則b＝－e，故若有g(shù)(x)有兩個零點，需滿足g(x0)<0， 即ex0＋bx0－1－ln x0＝ex0＋x0－1－ln x0＝e－ex0－ln x0<0，7分 令h(x)＝ex－exx－ln x，則h′(x)＝－exx－<0， 所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 又h(1)＝0，所以e－ex0－ln x0<0的解集為(1，＋∞)， 由b＝－e，所以

22、b<1－e.9分 又當(dāng)b<1－e時，ex＋bx－1－ln x>x＋bx－ln x， 則g(eb)>eb＋beb－ln eb＝(b＋1)eb－b， 令t(x)＝(x＋1)ex－x＝(x＋1)(ex－1)＋1， 由于x<1－e，所以x＋1<2－e<0，ex<1，所以(x＋1)(ex－1)>0， 故t(x)＝(x＋1)ex－x>0，所以g(eb)>0，故g(eb)g(x0)<0，g(x)在(0，x0)上有唯一零點，另一方面，在(x0，＋∞)上，當(dāng)x→＋∞時， 由ex增長速度大，所以g(x)>0，綜上有b<1－e.12分 21．(2019·福建廈門第一次(3月)質(zhì)檢)(本小題滿分12分)

23、某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指數(shù)并繪制頻率分布直方圖(如圖1)： 產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在[50,70)的為三等品，在[70,90)的為二等品，在[90,110]的為一等品，該產(chǎn)品的三、二、一等品的銷售利潤分別為每件1.5,3.5,5.5(單位：元)，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于該區(qū)間的概率． (1)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤； (2)該公司為了解年營銷費用x(單位：萬元)對年銷售量y(單位：萬件)的影響，對近5年的年營銷費用xi和年銷售量yi(i＝1，2,3,4,5)數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖(如圖2)及一些統(tǒng)計量的值

24、． i i (ui－)(vi－) (ui－)2 16.30 24.87 0.41 1.64 表中ui＝ln xi，vi＝ln yi，＝i，＝i， 根據(jù)散點圖判斷，y＝a·xb可以作為年銷售量y(萬件)關(guān)于年營銷費用x(萬元)的回歸方程． ①建立y關(guān)于x的回歸方程； ②用所求的回歸方程估計該公司應(yīng)投入多少營銷費，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大？(收益＝銷售利潤－營銷費用，取e4.159＝64) 參考公式：對于一組數(shù)據(jù)：(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－ . 解　(1)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤

25、為ξ元，則ξ的所有可能取值為1.5,3.5,5.5， 由直方圖可得一、二、三等品的頻率分別為0.4,0.45,0.15，2分 所以P(ξ＝1.5)＝0.15，P(ξ＝3.5)＝0.45，P(ξ＝5.5)＝0.4， 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 1.5 3.5 5.5 P 0.15 0.45 0.4 則E(ξ)＝1.5×0.15＋3.5×0.45＋5.5×0.4＝4，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元. 4分 (2)①由y＝a·xb得，ln y＝ln (a·xb)＝ln a＋bln x， 令u＝ln x，v＝ln y，c＝ln a，則v＝c＋bu， 由表中數(shù)據(jù)可得，＝＝

26、＝0.25， 則＝－ ＝－0.25×＝4.159， 所以＝4.159＋0.25u，7分 即ln ＝4.159＋0.25ln x＝ln ， 因為e4.159＝64，所以＝64x，故所求的回歸方程為y＝64x.9分 ②設(shè)年收益為z萬元，則z＝[E(ξ)]y－x＝256x－x，10分 設(shè)t＝x，f(t)＝256t－t4， 則f′(t)＝256－4t3＝4(64－t3)， 當(dāng)t∈(0,4)時，f′(t)>0，f(t)在(0,4)上單調(diào)遞增，當(dāng)t∈(4，＋∞)時，f′(t)<0，f(t)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減．所以，當(dāng)t＝4，即x＝256時，z有最大值為768， 即該廠應(yīng)投入256萬

27、元營銷費，能使得該產(chǎn)品一年的收益達到最大768萬元.12分 (二)選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)試判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系； (2)若直線θ＝(ρ∈R)與直線l交于點A，與曲線C交于M，N兩點，求|AM|·|AN|的值． 解　(1)曲線C的普通方程為x2＋(y－)2＝7， 圓心C(0，)，半徑r＝，2分 直線l的普通

28、方程為x＋y－2＝0，3分 ∵圓心C到直線l的距離 d＝＝