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1、2.6 從系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)模型。 動(dòng)態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系，而且還清楚地表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的關(guān)系。 相比較，傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。 我們已知道，從傳遞函數(shù)到動(dòng)態(tài)方程是個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的問題，這是一個(gè)比較復(fù)雜的并且是非唯一的過程。 但從動(dòng)態(tài)方程到傳遞函數(shù)（陣）卻是一個(gè)唯一的、比較簡單的過程。,2,已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 式中 x(t)系統(tǒng)n維狀態(tài)向量；u(t)系統(tǒng)r維輸入向量；y(t)系統(tǒng)m維輸出向量。,,現(xiàn)代控制理論,3,,,,,對(duì)上式兩端取拉
2、氏變換，可得,設(shè)初始條件x(0)=0，則有,傳遞函數(shù)陣,W(S)為一個(gè)mr的傳遞函數(shù)陣，即：,其中，wij(s)為一標(biāo)量傳遞函數(shù)，它表示第j個(gè)系統(tǒng)輸入 對(duì)第i個(gè)系統(tǒng)輸出的傳遞作用。,5,,,對(duì)于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，按上式求出的W(s)為系統(tǒng)的標(biāo)量傳遞函數(shù)，可表示為,當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，有,現(xiàn)代控制理論,6,(1)系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式等于傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式； (2)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是A的特征值。 由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不惟一，故建立的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式也不是惟一的。但是同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是惟一的。,現(xiàn)代控制理論,7,,補(bǔ)例 ：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試求其傳
3、遞函數(shù)陣。,,現(xiàn)代控制理論,8,解: 傳遞函數(shù)陣為：,,,【例2-14】求下列動(dòng)態(tài)方程的傳遞函數(shù)。,解：,在MATLAB中，用SS2TF語句可以直接求出W(S)。,A=-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2; B=-2;1;1;C=4 6 2;D=0; NUM,DEN=ss2tf(A,B,C,D) end,2.7 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,離散時(shí)間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)只在某些離散時(shí)刻取值的系統(tǒng)。 與離散時(shí)間系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)學(xué)方法有差分方程，信號(hào)Z變換，以及系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。 離散時(shí)間系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入和輸出信號(hào)的關(guān)系。,設(shè)系統(tǒng)n階差分方程為：, 表示時(shí)刻 為采樣周期；，
4、 分別為時(shí)刻 的輸入、輸出； 表征系統(tǒng)特征的常系數(shù)。,系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為輸出信號(hào)的Z變換與輸入信號(hào)的Z變換之比:,與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)傳遞函數(shù)在形式上相同,同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣，由離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達(dá)式的過程叫做離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。 離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程一般形式為：,式中 x(k)系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；u(k)系統(tǒng)的r維輸入向量（控制向量）；y(k)系統(tǒng)的m維輸出向量；G(k)nn線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣；H(k)nr線性離散系統(tǒng)的控制矩陣；C(k)mn線性離散系統(tǒng)的輸出矩陣；D(k)mr線性離散系統(tǒng)的直接傳輸矩陣。,現(xiàn)代控制理論,14,如果G(k)，H(k)，C(k)，D
5、(k)均為常數(shù)矩陣，上式就變?yōu)榫€性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：,,方塊圖表示如圖：,單位延遲環(huán)節(jié)，具有T秒的時(shí)間延遲。,現(xiàn)代控制理論,16,差分方程式化為狀態(tài)空間表達(dá)式 1差分方程的輸入函數(shù)為bu(k)時(shí) 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為 選取狀態(tài),,17,則高階差分方程可化為一階差分組,,18,寫成向量方程形式，得,,19,或 其中：,,,2差分方程的輸入函數(shù)包含u(k) u(k+1)， 時(shí) 設(shè)系統(tǒng)差分方程為,,可選擇如下一組狀態(tài)變量,或：,24,例：已知離散系統(tǒng)的差分方程為： 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)
6、式。 解：選狀態(tài)變量,,,,25,則狀態(tài)空間表達(dá)式,,現(xiàn)代控制理論,26,脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達(dá)式,線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 它可仿照連續(xù)系統(tǒng)的部分分式法來建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。,,2.8 MATLAB在狀態(tài)空間分析法中的應(yīng)用,,一、系統(tǒng)的模型,1.傳遞函數(shù)模型,設(shè)單輸入單輸出（SISO）連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,,G(s)=,,在MATLAB中,可用傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式按s的降冪系數(shù)排列的行向量,即,來描述上式所示傳遞函數(shù)G(s)的多項(xiàng)式模型。而由命令函數(shù)tf( )則可建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型TF，其調(diào)用格式為,sys=tf(num,den),其中, num、den分別是
7、傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量,且系數(shù)均按s的降冪排列。,,設(shè)單輸入單輸出離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為,,G(z)=,在MATLAB中,對(duì)于離散系統(tǒng)同樣可用tf( ) 命令建立其脈沖傳遞函數(shù)模型，調(diào)用格式為,num=cm,cm-1, ,c1,c0; den=an,an-1, ,a1,a0; sys=tf(num,den,Ts),其中, Ts 為系統(tǒng)采樣周期。,,,另外,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可表示成零極點(diǎn)形式,即,G(s)=,,在MATLAB中，可用傳遞函數(shù)的零點(diǎn)向量、極點(diǎn)向量及增益,即,,描述傳遞函數(shù)G(s)的零極點(diǎn)模型。而由命令函數(shù)zpk( )則可建立零極點(diǎn)模型ZPK，其調(diào)用格式為,,2. 狀態(tài)
8、空間模型,r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,,式中，x、y、u分別為n1、m1、r1的列向量，A、B、C、D 分別為nn、nr、mn 、mr的常數(shù)矩陣。,在MATLAB中,只要按照矩陣輸入方式建立式系統(tǒng)相應(yīng)的系數(shù)矩陣，即,A=a11,a12, ,a1n;a21,a22, ,a2n; ;an1,an2 ,,ann； B= b11,b12, ,b1r;b21,b22, ,b2r; ;bn1,bn2 ,,bnr; C= c11,c12, ,b1n;c21,c22, ,c2n; ;cm1,cm2 ,,cmm; D= d11,d12, ,d1r;d21,d22, ,d2r; ;dm1,
9、bm2 ,,bmr;,即可描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。而由命令函數(shù)ss( )則可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型SS，其調(diào)用格式為,,對(duì)定常離散系統(tǒng),,在按常數(shù)矩陣輸入方式建立系數(shù)矩陣G，H，C，D 后,同樣調(diào)用,,則可建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其中, Ts 為系統(tǒng)采樣周期。,二、 系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換,1. 狀態(tài)空間表達(dá)式向傳遞函數(shù)形式的轉(zhuǎn)換,MATLAB提供了模型轉(zhuǎn)換函數(shù),可以完成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換,利用ss2tf( )函數(shù)可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其傳遞函數(shù)(陣)。 對(duì)SISO系統(tǒng), ss2tf( )的調(diào)用格式為,num,den=ss2tf(A,B,C,D),執(zhí)行以上語句,可實(shí)現(xiàn)將描述為(A,B,C,D
10、)的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中各系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型中分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量num、den。,對(duì)多輸入系統(tǒng), ss2tf( )的調(diào)用格式為,num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu),其中,iu用于指定變換所使用的輸入量, iu默認(rèn)則為單輸入情況。,與ss2tf( )類似,應(yīng)用MATLAB函數(shù)ss2zp( )可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其零極點(diǎn)模型的參數(shù)(z,p,k)。 對(duì)SISO系統(tǒng), ss2zp( )的調(diào)用格式為,z,p,k=ss2zp(A,B,C,D),而對(duì)多輸入系統(tǒng),其調(diào)用格式為,z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu),2. 傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的變換,利用MATL
11、AB函數(shù)tf2ss( )、zp2ss( )可分別由多項(xiàng)式形式、零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)空間模型中的各系數(shù)矩陣。其調(diào)用格式分別為,A，B，C，D=tf2ss(num,den) A,B,C,D=zp2ss(z, p, k),上面兩條語句分別由已知的(num,den)、(z, p,k)經(jīng)模型轉(zhuǎn)換返回狀態(tài)空間表達(dá)式中各系數(shù)矩陣(A,B,C,D) 。,三、 系統(tǒng)的非奇異變換與標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式,1. 系統(tǒng)的非奇異變換,MATLAB中函數(shù)ss2ss( )可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的非奇異變換。其調(diào)用格式為,GT=ss2ss(G,T),其中G、GT分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，T為非奇異變換陣。,或?yàn)? At
12、,Bt,Ct,Dt =ss2ss(A,B,C,D,T),其中, (A,B,C,D) 、(At,Bt,Ct,Dt) 分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣, T為非奇異變換陣。,2 . 標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn),MATLAB提供了標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn)函數(shù)canon( ) ,其調(diào)用格式為,G1=canon(sys, type),若系統(tǒng)模型sys為對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量x的狀態(tài)空間模型,可應(yīng)用函數(shù)canon( )將其變換為在新的狀態(tài)向量 下的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式,其調(diào)用格式為,G1,P=canon(sys, type),其中，sys為原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，P是返回的非奇異變換陣，滿足,,關(guān)系?；?yàn)?
13、At,Bt,Ct,Dt,P=canon(A,B,C,D, type),其中, (A,B,C,D)為對(duì)應(yīng)x的原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣,(At,Bt,Ct,Dt)則為對(duì)應(yīng)新狀態(tài)向量 (仍滿足 )的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣。,以上函數(shù)canon( ) 調(diào)用中的字符串type確定標(biāo)準(zhǔn)型類型, 它可以是模態(tài)（modal）標(biāo)準(zhǔn)型,也可以是伴隨（companion）標(biāo)準(zhǔn)型形式。,本章總結(jié) 1、介紹了有關(guān)狀態(tài)空間描述的基本概念（狀態(tài)變量、狀 態(tài)矢量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、輸出方程、狀態(tài)空間 表達(dá)式） 2、介紹了狀態(tài)空間表達(dá)式建立的多種方法 、由系統(tǒng)的物理或化學(xué)機(jī)理出發(fā)推導(dǎo)狀態(tài)空間表達(dá)式 、由控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系求出狀態(tài)空間表達(dá)式 由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式 由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式 、由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式,3、系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性變換 、 基本知識(shí)及概念 、 狀態(tài)方程的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)角式、約當(dāng)式 、 將狀態(tài)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法 4、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 、差分方程的輸入函數(shù)中不包含差分的情況 、差分方程的輸入函數(shù)中包含差分的情況,
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