2007-2010年考研數(shù)學二真題及部分答案()

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1、 2010年考研數(shù)學二真題（強烈推薦） 一 填空題(8×4=32分) 2009年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題 一、選擇題：1~8小題，每小題8分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內。 （1）函數(shù)與是等價無窮小，則（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）無窮多個

2、 （2）當時，與是等價無窮小，則（） （A） （B） （C） （D） （3）設函數(shù)的全微分為，則點（0，0）（） （A）不是的連續(xù)點 （B）不是的極值點 （C）是的極大值點 （D）是的極小值點 （4）設函數(shù)連續(xù)，則=（） （A） （B） （C） （D） （5）若不變號，且曲線在點（1，1）的曲率圓為，則在區(qū)間（1，2）內（） （A）有極值點，無零點 （B）無極值點，有零點 （C）有極值點，有零點 （D）無極值點，無零點 （6）設函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的圖形為 則函數(shù)為（） （7）設Ａ、B均為2階矩陣，分別為A、B的伴隨矩陣。

3、若|A|=2，|B|=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（） （A） （B） （C） （D） （8）設A，P均為3階矩陣，為P的轉置矩陣，且AＰ＝，若 ，則為（） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 二、填空題：9-14 小題，每小題 4分，共 24 分，請將答案寫在答題紙指定位置上。 （9）曲線在（0，0）處的切線方程為____________ （10）已知，則k=____________ （11）=___________ （12）設是方程確定的隱函數(shù)，則=____________ （13）函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的最小值為_________ （14）設為3維列向量，為的轉置，若相似

4、于，則 =___________ 三、解答題：15-23 小題，共 94 分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 （15）（本題滿分9分）求極限 （16）（本題滿分10分）計算不定積分 （17）（本題滿分10分）設，其中具有2階連續(xù)偏導數(shù)，求與 （18）（本題滿分10分）設非負函數(shù)y=y(x)(x0)，滿足微分方程，當曲線 y=y(x)過原點時，其與直線x=1及y=0圍成平

5、面區(qū)域的面積為2，求D繞y軸旋轉所得旋轉體體積。 （19）（本題滿分10分）求二重積分，其中 （20）（本題滿分12分）設y=y(x)是區(qū)間內過點的光滑曲線，當 時，曲線上任一點處的發(fā)現(xiàn)都過原點，當時，函數(shù)y(x)滿足 。求y(x)的表達式。 （21）（本題滿分11分）（I）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）可導，則存在，使得。（II）證明：若函數(shù)在x=0處連續(xù)，在內可導，且則 存在，且

6、。 （22）（本題滿分11分）設 （I）求滿足的所有向量； （II）對（I）中的任一向量，證明：線性無關。 （23）（本題滿分11分）設二次型 （I）求二次型的矩陣的所有特征值；（II）若二次型的規(guī)范形為，求a的值。 2008考研數(shù)學二真題 一、選擇題：（本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內） (1)設，則的零點個數(shù)為( )． (A)

7、0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． (2)曲線方程為，函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導數(shù)，則定積分在幾何上表示( )． (A) 曲邊梯形的面積． (B) 梯形的面積． (C) 曲邊三角形面積． (D) 三角形面積． (3)在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是( )． (A) . (B) . (C) . (D) . (4) 判定函數(shù)間斷點的情況( )． (A) 有1可去間斷點，1跳躍間斷點．(B) 有1跳躍間斷點，1無窮間斷點． (C) 有2個無窮

8、間斷點. (D)有2個跳躍間斷點. (5)設函數(shù)在內單調有界，為數(shù)列，下列命題正確的是( )． (A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調，則收斂. (6)設函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域為圖中陰影部分，則( )． (A) (B) (C) (D) (7)設為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則下列結論正確的是( )． (A) 不可逆，不可逆. (B) 不可逆，可逆. (C) 可逆， 可逆.

9、 (D) 可逆， 不可逆. (8) 設，則在實數(shù)域上，與A合同矩陣為( )． (A) . (B) . (C) . (D) .　 二、填空題：（9－14小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上） (9)已知函數(shù)連續(xù)，且，則 (10)微分方程的通解是 . (11)曲線在點處的切線方程為 . (12)曲線的拐點坐標為 . (13)設，則 . (14)設3階矩陣的特征值為．若行列式，則__________

10、_. 三、解答題(15－23小題，共94分)． (15)(本題滿分9分) 求極限． (16)(本題滿分10分)設函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解，求． (17)（本題滿分9分）計算． (18)(本題滿分11分)計算，其中． (19)(本題滿分11分)設是區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù)的單調增加函數(shù)，且．對任意的，直線，曲線以及軸所

11、圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體，若該旋轉體的側面面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達式． (20)(本題滿分11分) (I) 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得； (II) 若函數(shù)具有二階導數(shù)，且滿足，，證明至少存在一點，使得． (21)(本題滿分11分) 求函數(shù)在約束條件和下的最大值和最小值． (22) (本題滿分12分)． 設元

12、線性方程組，其中 ，，． （I）證明行列式； （II）當為何值時，該方程組有惟一解，并求． （III）當為何值時，該方程組有無窮多解，并求其通解． (23) (本題滿分10分)設為3階矩陣，為的分別屬于特征值的特征向量，向量滿足， (I)證明線性無關； (II)令，求． 2007年研究生入學考試數(shù)學二試題 一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內. （1）當

13、時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） [ ] （2）函數(shù)在上的第一類間斷點是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D） （3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設，則下列結論正確的是： （A） (B) （C） （D） [ ]

14、（4）設函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （B）若存在，則 （D）若存在，則. [ ] （5）曲線的漸近線的條數(shù)為 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）設函數(shù)在上具有二階導數(shù)，且，令，則下列結論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若

15、，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. [ ] （7）二元函數(shù)在點處可微的一個充要條件是 （A）. （B）. （C）. （D）. （8）設函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 （A） （B） （C） （D） （9）設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是 線性相關，則 (A) (B) (C) . (D) . [ ] （10）設矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相

16、似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上. （11） __________. （12）曲線上對應于的點處的法線斜率為_________. （13）設函數(shù)，則________. （14） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為________. （15） 設是二元可微函數(shù)，，則 __________. （16）設矩陣，則的秩為 . 三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （17） (本

17、題滿分10分) 設是區(qū)間上單調、可導的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求. （18）（本題滿分11分）設是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域. （Ⅰ）求區(qū)域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積； （Ⅱ）當為何值時，最小？并求此最小值. （19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解 （20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設，求. （21） (本題滿分11分)設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，，證明：存在，使得. （22） (本題滿分11分)設二元函數(shù)，計算二重積分，其中. （23） (本題滿分11分) 設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.