2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理

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1、考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理 一、選擇題 1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC中，AB=2 AC=3 ·=1，則BC=（ ） A B C D 【解題指南】利用向量的數(shù)量積計(jì)算公式，和余弦定理組成方程組解出BC的值。 【解析】選A.由由余弦定理 2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC中，AC= ，BC=2，B =60°，則BC邊上的高等于（ ） A． B. C. D. 【解題指南】本題考查余弦定理、三角形面積公式，考查方程思想、運(yùn)算能力，是歷年?？純?nèi)容.根據(jù)余弦定理和直角三角形中的三角函數(shù)定義，列出方程組，

2、解出答案。 【解析】選B. 設(shè)，在△ABC中，由余弦定理知， 即，又 設(shè)BC邊上的高等于，由三角形面積公式，知 ，解得.故選B. 3.（2012·廣東高考文科·Ｔ6）在中，若=60°, ∠B=45°，BC=3，則AC=（ ） A．4 B 2 C. D 【解題指南】已知兩角一邊解三角形，顯然適合采用正弦定理，但在由正弦值求角時(shí)，要注意解的個(gè)數(shù)的判斷。 【解析】選B. 在中,由正弦定理知 4.（2012·湖北高考文科·Ｔ8）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正

3、整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為（ ） A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【解題指南】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是把邊a,c均用b表示出來(lái),再利用余弦定理把已知化簡(jiǎn)求值. 【解析】選D.由題意知： a=b+1,c=b-1, 3b=20a=20(b+1)= 20(b+1) ,整理得：，解之得：b=5,可知：a=6,c=4.結(jié)合正弦定理可知答案. 二、填空題 5.（2012·湖北高考理科·Ｔ11）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別是a，b，c.若（a+

4、b-c）（a+b+c）=ab，則角C=______________. 【解題指南】本題考查余弦定理,把已知條件展開(kāi)整理可得結(jié)果. 【解析】 由（a+b-c）（a+b+c）=ab,可知.又,所以. 【答案】 . 6.（2012·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，則AC=_______ 【解題指南】本題知兩角一對(duì)邊，選用正弦定理求另一對(duì)邊． 【解析】選由正弦定理，，即. 【答案】． 7.（2012·安徽高考理科·Ｔ15）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為；則下列命題正確的是（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)） ①若；則 ②

5、若；則 ③若；則 ④若；則 ⑤若；則 【解題指南】對(duì)于①②用余弦定理判斷； ③用反證法； ④⑤舉反例. 【解析】① ② ③當(dāng)時(shí)，與矛盾 ④取滿足得： ⑤取滿足得：. 【答案】①②③ 8.（2012·陜西高考文科·Ｔ13）在三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)分別為，b，c，若，B=，c=2，則b= 【解題指南】已知兩邊及其夾角，用余弦定理可求第三邊. 【解析】由余弦定理得：，∴. 【答案】2. 9.（2012·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC中，若a

6、=2，b+c=7,， 則b= 【解題指南】對(duì)角B利用余弦定理列式求解. 【解析】 由余弦定理得，即，解得. 【答案】4. 10.（2012·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC中，若a=3，b=，則的大小為_(kāi)________. 【解題指南】利用正弦定理求出B，再利用內(nèi)角和定理求C. 【解析】在中，由正弦定理得，，，. 【答案】. 三、解答題 11.（2012·江蘇高考·Ｔ15）（本小題滿分14分）在中，已知． （1）求證：； （2）若求A的值． 【解題指南】（1）注意向量積公式的應(yīng)用，和正弦定理的利用（邊角轉(zhuǎn)化）（2）先利用求出再利用兩角和的正切

7、公式構(gòu)造與有關(guān)的方程. 【解析】（1）由得 即為 由正弦定理得 兩邊同除得 即成立. （2）因所以C為銳角，所以 由（1），且 得 即 即 所以或。 因由內(nèi)角和為知兩角均為銳角，故應(yīng)舍去。 所以所以. 12.（2012·浙江高考理科·Ｔ18）（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知cosA=，sinB=C. （1）求tanC的值； （2）若a=，求△ABC的面積. 【解題指南】解三角形問(wèn)題，主要考查正、余弦定理，三角恒等變換的方法，注意同角三角函數(shù)間的互化和邊角之間的互化. 【解析】（1）由cosA=可得sinA= 由si

8、nB=C可得sin（A+C）=C 即 等號(hào)兩邊同除以,可得 ，即. （2）由可得 ∴，解得 而sinB= ∴. 13.（2012·浙江高考文科·Ｔ18）（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB。 （1）求角B的大?。? （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值。 【解題指南】考查三角形中的正、余弦定理的應(yīng)用，注意其中邊角間的互化。 【解析】（1）由bsinA=acosB可得sinBsinA=sinAcosB 又sinA，可得 ，所以. （2）由sinC=2sinA可得， 在中，，解得， 所以.

9、14.（2012·安徽高考文科·Ｔ16）(本小題滿分12分) 設(shè)△的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且有 . （Ⅰ）求角A的大??； （Ⅱ) 若，，為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng). 【解題指南】（1）將代入化簡(jiǎn)得到，從而求出；（2）根據(jù)余弦定理即可求出. 【解析】（Ⅰ） . （II） 在中，. 15.（2012·遼寧高考理科·T17）與（2012·遼寧高考文科·T17）相同 在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c。角A，B，C成等差數(shù)列. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)邊a，b，c成等比數(shù)列，求的值. 【解題指南】（1）結(jié)合等差數(shù)列定義和三角形內(nèi)角和定理，求得角B； （2

10、）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合正弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，借助（1）的結(jié)論，解決問(wèn)題 【解析】（Ⅰ）由已知三角形的內(nèi)角和定理，解得 所以. （Ⅱ）由已知，據(jù)正弦定理，設(shè) 則，代入得 即. 16.（2012·天津高考文科·Ｔ16）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b，c。已知a=2.c=,cosA=. （I）求sinC和b的值； （II）求cos（2A+）的值. 【解題指南】（1）根據(jù)余弦定理求解； （2）利用三角函數(shù)的兩角和、倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算. 【解析】（1）在中，由可得 ，又由， ，故解得，所以. （2）由得 ，， 所以，. 17.（2012·江

11、西高考理科·Ｔ17）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，. （1）求證：； （2）若，求△ABC的面積. 【解題指南】（1）選擇將已知條件邊化角，得出； （2）由（1）中結(jié)論及，求出其他的邊和角，然后選擇合適的面積公式，求出△ABC的面積. 【解析】 （1） 證明：由，應(yīng)用正弦定理，得 ， ， 整理得 ， 即 ， 由于，從而. （2） ∵，因此. 由得 所以的面積 18.（2012·江西高考文科·Ｔ16）△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC。 （1）求c

12、osA； （2）若a=3，△ABC的面積為，求b，c. 【解題指南】（1）選擇將已知條件3cos（B-C）-1=6cosBcosC化簡(jiǎn)，先求得，再求得； （2）結(jié)合余弦定理，選擇合適的的面積公式，建立關(guān)于的方程組，解得的值. 【解析】(1) 則. (2) 由（1）得,由面積可得bc=6①，則根據(jù)余弦定理 則=13②，①②兩式聯(lián)立可得b=2，c=3或b=3，c=2. 19.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T17）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊， （1）求 （2）若，的面積為；求. 【解題指南】（1）選擇將已知條件邊化角，求出角A； （2）結(jié)合角A的值，選擇合適的的面積公式，建立關(guān)于的方程組，解得的值. 【解析】（1）由正弦定理得： . （2） 解得：.