2011年高考數學 考點48離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差

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1、考點48 離散型隨機變量及其分布列、 離散型隨機變量的均值與方差 一、填空題 1.（2011·浙江高考理科·Ｔ15）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數。若，則隨機變量X的數學期望 【思路點撥】先由相互獨立的事件同時發(fā)生的概率求出,進而求出其它情況的概率,再求出. 【精講精析】由可得, 從而, , . 所以. 二、解答題 2．（2011·安徽高考理科·Ｔ20）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危

2、險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘.如果前一個人10分鐘內不能完成任務則撤出，再派下一個人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別為p1，p2，p3,假設p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立. （Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率.若改變三個人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化？ （Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一個排列，求所需要派出人員數目X的分布列和均值（數學期望）EX；

3、 （Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目的均值（數學期望）達到最小. 【思路點撥】（Ⅰ）利用間接法可以比較容易得出結論；（Ⅱ）直接利用相互獨立事件及分布列知識解決；（Ⅲ）先分析抽象概括得出結論，再證明. 【精講精析】解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務不能被完成的概率都是，所以任務能被完成的概率與三個人被派出去的先后順序無關，并等于1-= （II）當依次派出去的三個人各自完成任務的概率分別為q1,q2,q3，隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 P q1 所需派出的人員數目的均值（數學期望）EX是 = （

4、III）由（II）得結論可知，當以甲最先，乙次之，丙最后的順序派人時， 根據常理，優(yōu)先派出完成任務概率大的人，可減少所需派出的人員數目的均值. 下面證明：對于 p1，p2，p3的任意排列q1,q2,q3，都有 事實上，（） 即 3.（2011·福建卷理科·Ｔ19）某產品按行業(yè)生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產該產品，產品的零

5、售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執(zhí)行標準 （I）已知甲廠產品的等級系數X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 p 0.4 a b 0.1 且X1的數字期望EX1=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產品的等級系數X2，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個樣本的頻率分布估

6、計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X2的數學期望. （Ⅲ）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由. 注：（1）產品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產品更具可購買性. 【思路點撥】（I）利用期望公式和以及分布列中的所有概率和為1，聯(lián)立關于的方程組，解方程組求得的值； （II）根據題中提供的數據，列等級系數的數學期望，再利用期望公式求期望； （Ⅲ）根據“性價比”公式求兩工廠的產品的性價比，“性價比”大的產品更具可購買性. 【精講精析】（I）因為＝6,所以即， 又由的概率分布列得即. 由，解得. （II）由已知得，樣

7、本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以， 即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8. （Ⅲ）乙廠的產品更具有可購買性，理由如下： 因為甲廠產品的等級系數的數學期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為. 因為乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比

8、為所以乙廠的產品更具可購買性. 4. （2011·新課標全國高考理科·Ｔ19）某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果： A配方的頻數分布表 指標值分組 頻數 B配方的頻數分布表 指標值分組 頻數 （Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優(yōu)質品率； （Ⅱ）已知用B配方生產的一件產品的利潤y(單位：元)與其質量指標

9、值t的關系式為 從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數學期望.（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率） 【思路點撥】第（Ⅰ）問分別用配方、配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率來估計概率，第（Ⅱ）問分別求出質量指標落在，，上的頻率作為概率，明確的對應取值，列分布列，用期望公式求期望即可. 【精講精析】（Ⅰ）由試驗結果知，用A配方生產的產品中優(yōu)質的平率為，所以用A配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.3. 由試驗結果知，用B配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為，所以用B配方生產的產品的優(yōu)質品率的估計值為0.42 （Ⅱ）用B

10、配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區(qū)間的頻率分別為0.04，,054,0.42，因此X的可能值為-2,2,4 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 即X的分布列為 X的數學期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 5．（2011·遼寧高考文科·Ｔ19）某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品

11、種甲，另外n小塊地種植品種乙． （I）假設n=2，求第一大塊地都種植品種甲的概率； （II）試驗時每大塊地分成8小塊地，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪種品種？ 附：樣本數據x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數． 【思路點撥】（I）先編號，再逐一列出所有的基本事件，最后根據古典概型求解；（II）先求平均數，再求方差，最后下結論． 【精講精析】（I）設第一大塊地中的兩小塊地編號為1，2，第二大塊地中的兩小塊地編號為3，

12、4．令事件A=“第一大塊地都種品種甲”． 從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）． 而事件A包含1個基本事件：（1，2）． 所以． （II）品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： ， 品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： 由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙． 6.（2011· 廣東高考文科·Ｔ17）在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號為n(n=1,

13、2,…,6)的同學所得成績，且前5位同學的成績如下： 編號n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同學的成績x6，及這6位同學成績的標準差s; （2）從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）中的概率. 【思路點撥】(1)由平均數的計算公式列出關于的方程，求出，由標準差的計算公式求標準差； （2）由古典概型概率計算公式直接求解. 【精講精析】（1）由題意，即，解得； 標準差s= （2）從前5位同學的成績中隨機地選2位同學的成績，有10種，分別是（70，76），（70，72），（70，70）

14、， （70，72），（76，72），（76，70），（76，72），（72，70），（72，72），（70，72）. 恰有一位同學成績在區(qū)間（68，75）中，有4種，分別是（70，76），（76，72），（76，70），（76，72）. 設事件A=“恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）中”，則P(A). 答：恰有1位同學成績在區(qū)間（68，75）中的概率是. 7.（2011·廣東高考理科·Ｔ17）為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽取14件和5件，測量產品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產品的測量數據： 編號 1 2

15、 3 4 5 169 178 166 175 180 75 80 77 70 81 （1）已知甲廠生產的產品共98件，求乙廠生產的產品數量； （2）當產品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時，該產品為優(yōu)等品，用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量； （3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優(yōu)等品數的分布列及其均值（即數學期望）. 【思路點撥】（1）由已知求出抽取比例，從而求得乙廠生產的產品數量； （2）由表格中數據估計乙廠生產的優(yōu)等品率，然后估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量； （3）先確定的所有取值，逐個算其概率，列出分

16、布列，再由期望值. 【精講精析】（1）由題意，抽取比例為，則乙廠生產的產品數量為； （2）由表格知乙廠生產的優(yōu)等品為2號和5號，所占比例為.由此估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量為； （3）由（2）知2號和5號產品為優(yōu)等品，其余3件為非優(yōu)等品.的取值為0，1，2. P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=. 從而分布列為 0 1 2 P 數學期望E()=. 8.（2011·山東高考理科·Ｔ18）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立

17、. （Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； （Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望. 【思路點撥】（Ⅰ）本題考查的是相互獨立的事件發(fā)生的概率，紅隊至少兩人獲勝的概率等于紅隊只有兩人獲勝的概率和紅隊有三人獲勝的概率之和. （Ⅱ）本題考查的是隨機變量的分布列及數學期望，先列出的所有值，并求出每個值所對應的概率，列出分布列，然后根據公式求出數學期望. 【精講精析】（Ⅰ）記甲對A、乙對B、丙對C各一盤中甲勝A、乙勝B、丙勝C分別為事件,則甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C分別為事件，根據各盤比賽結果相互獨立可得 紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為 . （Ⅱ）依題意可知， ； ;

18、 ; .故的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故. 9.（2011·遼寧高考理科·Ｔ19）某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙． （I）假設n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數目記為X，求X的分布列和數學期望； （II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙

19、的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差；根據試驗結果，你認為應該種植哪一品種？ 附：樣本數據的樣本方差，其中為樣本平均數． 【思路點撥】（I）先根據古典概型結合排列組合的知識求分布列，再利用公式求數學期 望；（II）先求平均數，再求方差，最后下結論． 【精講精析】(Ⅰ)可能的取值為且 ， ， ， ， . 即的分布列為 0 1 2 3 4 的數學期望為 + (Ⅱ)品種甲的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別

20、為： ， 品種乙的每公頃產量的樣本平均數和樣本方差分別為： ， . 由以上結果可以看出，品種乙的樣本平均數大于品種甲的樣本平均數，且兩品種的樣本方差差異不大，故應該選擇種植品種乙. 10.（2011·北京高考理科·T17）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數.乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以X表示. 甲組 乙組 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 （Ⅰ）如果X=8，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一

21、名同學，求這兩名同學的植樹總棵數Y的分布列和數學期望. （注：方差，其中為的平均數） 【思路點撥】（Ⅰ）代入平均數、方差公式進行計算；（Ⅱ）先求出Y的所有可能取值，再分別求出概率，最后計算數學期望. 【精講精析】（Ⅰ）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的棵數是8，8，9，10，所以平均數為； 方差為 （Ⅱ）當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵數是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數是9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機抽取一名同學，共有種可能的結果，這兩名同學不植樹總棵數Y的可能取值為17，18，19，20，21.事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹9棵，乙組選出

22、的同學植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結果，因此P(Y=17)=, 同理可得 .所以隨機變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P =19. 11．（2011·湖南高考理科·T18）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據： 日銷售量（件） 0 1 2 3 頻數 1 5 9 5 試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率. （Ⅰ）求當天商店不進貨的概率； （Ⅱ）記X為第二天

23、開始營業(yè)時該商品的件數，求X的分布列和數學期望. 【思路點撥】本題主要考查互斥事件、獨立事件、對立事件、分布列、數學期望等知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力.解決此類問題要注意根據事件的性質識別概率模型，而能否正確列出分布列則將直接影響數學期望的求解.它的解題步驟是：一想試驗和試驗的基本事件.二設，設試驗的基本事件和要解決的復合事件.三建，建立目標事件和基本事件的關系.四計算，算概率，算的依據是對立事件、互斥事件和獨立事件.五答. 【精講精析】（I）P（“當天商店不進貨”）=P（“當天商品銷售量為0件”）+P（“當天商品銷售量1件”）=。 （II）由題意知，的可能取值為2，3.

24、； 故的分布列為 2 3 的數學期望為。 12．（2011·江西高考理科·Ｔ16）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別.公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數，假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力. （1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望. 【思路點撥】（1）根據超幾何分布的概率模型，易

25、得X的分布列.（2）結合第一問月工資為3500的概率對應X=4的概率，2800對應X=3的概率,2100對應X2的概率，易得月工資的期望. 【精講精析】 X的分布列為： X 0 1 2 3 4 P 13．（2011·陜西高考理科·T20）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表： 時間（分鐘） 1020 2030 3040 4050 5060 的頻率 的頻率 0 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．

26、 （Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？ （Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數學期望 . 【思路點撥】（Ⅰ）會用頻率估計概率，然后把問題轉化為互斥事件的概率；（Ⅱ）首先確定X的取值，然后確定有關概率，注意運用對立事件、相互獨立事件的概率公式進行計算，列出分布列后即可計算數學期望． 【精講精析】（Ⅰ）表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內趕到火車站”， 表示事件“甲選擇路徑時，50分鐘內趕到火車站”，，． 用頻率估計相應的概率，則有： ，； ∵，∴甲應選擇路徑； ，； ∵，∴乙應選

27、擇路徑． （Ⅱ）用A，B分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站， 由（Ⅰ）知，，又事件A，B相互獨立，的取值是0，1，2， ∴， ， ∴X的分布列為 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴． 14.（2011.天津高考理科.T16）學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戲中， （i）摸出3個白球的概率； （ii）獲獎的概率； （Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數的分布列及數學期望。 【思路點撥】（Ⅰ）根據古典概率、互斥事件的概率公式求解； （Ⅱ）先求出獨立事件的概率、再求數學期望. 【精講精析】 （I）（i）【解析】設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則 （ii）【解析】設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）【解析】由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是 X 0 1 2 P X的數學期望