2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力提升訓(xùn)練14 用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題 理

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1、訓(xùn)練14 用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題 (時(shí)間:45分鐘 滿分:75分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 (  ). A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定 2.(2012·廣州調(diào)研)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為 (  ). A. B. C. D. 3.(2012·金華模擬)已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與

2、底面邊長(zhǎng)相等,則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于 (  ). A. B. C. D. 4.(2012·臨沂模擬)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,引PA⊥平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 (  ). A.30° B.45° C.60° D.90° 5.(2012·濰坊模擬)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)且EF=,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (  ). A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱錐ABEF的體積為定值 D.異面直線AE,BF所成

3、的角為定值 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.在空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別為P、Q,則=________. 7.(2012·武漢調(diào)研)到正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn):①有且只有1個(gè);②有且只有2個(gè);③有且只有3個(gè);④有無(wú)數(shù)個(gè).其中正確答案的序號(hào)是________. 8.已知ABCDA1B1C1D1為正方體,①(++)2=32;②·(-)=0;③向量與向量的夾角是60°;④正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號(hào)是________. 三、解答題(本

4、題共3小題,共35分) 9.(11分)(2012·浙江)如圖,在四棱錐PABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn). (1)證明:MN∥平面ABCD; (2)過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值. 10.(12分)(2012·東北四校一模)如圖,已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面ABB1A1是菱形,且∠A1AB=60°,M是A1B1的中點(diǎn),MB⊥AC. (1)求證:MB⊥平面ABC; (2)求二面角A1BB1C的余弦值. 11.(12分)(2012·唐山二

5、模)如圖,在四棱錐PABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中點(diǎn). (1)求證:平面EAC⊥平面PBC; (2)若二面角PACE的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值. 參考答案 訓(xùn)練14 用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題 1.B [=++=++ =(+)++(+) =++, 又是平面BB1C1C的一個(gè)法向量, 且·=++·=0, ∴⊥,又MN?面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.] 2.D [連A1C1與B1D1交與O點(diǎn),再連BO,∵AB=BC, ∴?C1O⊥面DD1BB1

6、,則∠OBC1為BC1與平面BB1D1D所成角. cos∠OBC1=,OC1=,BC1=, ∴cos∠OBC1==.] 3.A [如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2,A(0,-1,0), B1(,0,2),則=(,1,2), O(0,0,0),B(,0,0), 則=(-,0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量由sin θ==.] 4.B [建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不難求出平面APB與平面PCD的法向量n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為=,故所求的二面角的大小是45°.] 5.D [∵AC⊥平面

7、BB1D1D, 又BE?平面BB1D1D. ∴AC⊥BE,故A正確. ∵B1D1∥平面ABCD,又E、F在直線D1B1上運(yùn)動(dòng), ∴EF∥平面ABCD,故B正確. C中由于點(diǎn)B到直線B1D1的距離不變,故△BEF的面積為定值,又點(diǎn)A到平面BEF的距離為,故VABEF為定值. ①當(dāng)點(diǎn)E在D1處,點(diǎn)F為D1B1的中點(diǎn)時(shí), 建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示, 可得A(1,1,0),B(0,1,0), E(1,0,1),F(xiàn),,1, ∴=(0,-1,1), =,-,1, ∴·=. 又|AE|=,|BF|=, ∴cos〈,〉===. ∴此時(shí)異面直線AE與BF成30°角. ②當(dāng)點(diǎn)E

8、為D1B1的中點(diǎn), 點(diǎn)F在B1處時(shí),此時(shí)E,,1,F(xiàn)(0,1,1), ∴=-,-,1,=(0,0,1), ∴·=1,||= =, ∴cos〈,〉===≠,故選D.] 6.解析 如圖. =++,=++ ∴2=(+)+(+)++=0?。?+a-2c+5a+6b-8c=6a+6b-10c,∴=3a+3b-5c. 答案 3a+3b-5c 7.解析 注意到正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線B1D上的每一點(diǎn)到直線AB,CC1,A1D1的距離都相等,因此到ABCDA1B1C1D1的三條棱AB,CC1,A1D1所在直線距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè),其中正確答案的序號(hào)是④. 答案?、? 8.

9、解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,①中(++)2=3()2=3,故①正確;②中-=,由于AB1⊥A1C,故②正確;③中A1B與AD1兩異面直線所成的角為60°,但與的夾角為120°,故③不正確;④中|··|=0.故④也不正確. 答案?、佗? 9.(1)證明 因?yàn)镸,N分別是PB,PD的中點(diǎn),所以MN是△PBD的中位線,所以MN∥BD. 又因?yàn)镸N?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)解 連接AC交BD于O.以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD所在直線為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示. 在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得 AC=AB=2,BD=AB=6. 又因?yàn)镻A⊥平面A

10、BCD, 所以PA⊥AC. 在直角三角形PAC中, AC=2,PA=2, AQ⊥PC,得QC=2,PQ=4. 由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下, A(-,0,0),B(0,-3,0),C(,0,0), D(0,3,0),P(-,0,2),M, N,Q. 設(shè)m=(x,y,z)為平面AMN的法向量. 由=,=知, 取z=-1,得m=(2,0,-1). 設(shè)n=(x,y,z)為平面QMN的法向量. 由=,=知, 取z=5,得n=(2,0,5). 于是cos〈m,n〉==. 所以二面角AMNQ的平面角的余弦值為. 10.(1)證明 ∵側(cè)面ABB1A1是菱形,且∠A1AB=60

11、°, ∴△A1BB1為正三角形, 又∵點(diǎn)M為A1B1的中點(diǎn),∴BM⊥A1B1, ∵AB∥A1B1,∴BM⊥AB,由已知MB⊥AC, ∴MB⊥平面ABC. (2)解 如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)菱形ABB1A1邊長(zhǎng)為2, 得B1(0,-1,),A(0,2,0), C(,1,0),A1(0,1,). 則=(0,1,),=(0,2,0), =(0,-1,),=(,1,0). 設(shè)面ABB1A1的法向量n1=(x1,y1,z1), 由n1⊥,n1⊥得, 令x1=1,得n1=(1,0,0). 設(shè)面BB1C1C的法向量n2=(x2,y2,z2),由n2⊥, n2⊥得令y2=,得n2

12、=(-1,,1), 得cos〈n1,n2〉===-. 又二面角A1BB1C為銳角,所以所求二面角的余弦值為. 11.(1)證明 ∵PC⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴AC⊥PC,∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=, ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, 又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC, ∵AC?平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC. (2)解 如圖,以C為原點(diǎn),、、分別為x軸、y軸、z軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0). 設(shè)P(0,0,a)(a>0), 則E,-,, =(1,1,0),=(0,0,a), =,-,, 取m=(1,-1,0),則 m·=m·=0,m為面PAC的法向量. 設(shè)n=(x,y,z)為面EAC的法向量,則n·=n·=0, 即取x=a,y=-a,z=-2, 則n=(a,-a,-2), 依題意,|cos〈m,n〉|===,則a=2. 于是n=(2,-2,-2),=(1,1,-2). 設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ, 則sin θ=|cos〈,n〉|==, 即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.

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