2010年高考數(shù)學(xué) 考點5 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、考點5 函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用 1.（2010·天津高考文科·Ｔ4）函數(shù)f（x）=（ ） (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【命題立意】考查函數(shù)零點的概念及運算。 【思路點撥】逐一代入驗證。 【規(guī)范解答】選C，故選C。 2.（2010·天津高考理科·Ｔ2）函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 【命題立意】考查函數(shù)零點的概念及運算 【思路點撥】逐一代入驗證。 【

2、規(guī)范解答】選B，故選B。 3.（2010·福建高考文科·Ｔ7）函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【命題立意】本題從分段函數(shù)的角度出發(fā)，考查了學(xué)生對基本初等函數(shù)的掌握程度。 【思路點撥】作出分段函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解題。 x y e2 -4 -3 【規(guī)范解答】選C，，繪制出圖像大致如右圖，所以零點個數(shù)為2。 【方法技巧】本題也可以采用分類討論的方法進行求解。 令，則 （1）當時，，或（舍去）； （2）當時，， 綜上述：函數(shù)有兩個零點。 4.（2010·福建高考

3、理科·Ｔ4）函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【命題立意】本題從分段函數(shù)的角度出發(fā)，考查了學(xué)生對基本初等函數(shù)的掌握程度。 【思路點撥】作出分段函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合解題。 x y e2 -4 -3 【規(guī)范解答】選C，， 繪制出圖像大致如右圖，所以零點個數(shù)為2。 【方法技巧】本題也可以采用分類討論的方法進行求解。 令，則 （1）當時，，或（舍去）； （2）當時，， 綜上述：函數(shù)有兩個零點。 5.（2010·浙江高考文科·Ｔ9）已知x是函數(shù)f(x)=2x+ 的一個零點.若∈（1，）， ∈（，+），

4、則（ ） （A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0 （C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0 【命題立意】考察了數(shù)形結(jié)合的思想，以及函數(shù)零點的概念和零點的判斷，屬中檔題 【思路點撥】本題可先判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到零點兩側(cè)函數(shù)值的符號。 【規(guī)范解答】選B。與在上都為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以。 6.（2010·浙江高考理科·Ｔ9）設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【命題立意】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的零點存在定理。 【思

5、路點撥】本題可驗證函數(shù)在區(qū)間的端點處的函數(shù)值是否異號；如果異號，則存在零點；如果同號，一般不存在零點。 【規(guī)范解答】選A。，， ，在上單調(diào)減，，，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點。同理可驗證在B、C、D的區(qū)間內(nèi)存在零點。 7.（2010·陜西高考理科·Ｔ１0）某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表。那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（ ） (A) y= (B) y= (C) y= (D) y= 【命題立意】本題考查靈活運用

6、已有的知識解決新問題的能力，屬難題。 【思路點撥】理解y=[x]的含義及選法規(guī)定是解題的關(guān)鍵，可用特例法進行解答。 【規(guī)范解答】選B 若，則由推選方法可得，而(A) ； (B) y＝；同理可得(C) y (D) y=，否定A；再令可否定C、D；故選B 【方法技巧】特例法的解選擇題的方法技巧 用特殊值(特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置、特殊情形等等)代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特殊值有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等等,注意:特例法只能否定選擇支，不能肯定選擇支。 當正確的選擇對象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況

7、下，用特殊值（取得越簡單越好）進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，是解答本類選擇題的最佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結(jié)合特例法解答的約占30％左右. 8.（2010·福建高考理科·Ｔ10）對于具有相同定義域D的函數(shù)和，若存在函數(shù)（為常數(shù)），對任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的，使得當且時，總有則稱直線l:y=k+b為曲線與的“分漸近線”。給出定義域均為的四組函數(shù)如下： ①； ② ③ ④ 其中，曲線與存在“分漸近線”的是（ ） A. ①④ B. ②③ C

8、. ②④ D. ③④ 【命題立意】本題從大學(xué)數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)進行做答，是一道好題，思維靈活。 【思路點撥】讀懂新定義、利用新定義，在新背景下進行即時性學(xué)習(xí)，即可解決問題。 【規(guī)范解答】選C，對于①，存在分漸近線的充要條件是x →∞時，-→0，當x >1時便不符合，所以①不存在； 對于 ②，存在分漸近線，此時，，且對于任意的m>0,取，當時，必有； 對于③，假設(shè)存在，則， 若則當時，，不滿足題意， 若，（1）當則當時，時必有或成立，不滿足題意，（2）當即，而事實上，不滿足

9、題意， 綜上述：③不存在； 對于④，存在分漸近線，此時， ，且對于任意的m>0,取， 當時，必有。 9.（2010·北京高考文科·Ｔ１4）如圖放置的邊長為1的正方形PABC 沿x軸滾動。設(shè)頂點p（x，y）的縱坐標與橫坐標的函數(shù)關(guān)系是 ，則的最小正周期為 ；在其兩個相 鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為 。 說明：“正方形PABC沿x軸滾動”包含沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動。 沿x軸正方向滾動是指以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當頂點B落在x軸上時， 再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)，類似地，正方形PABC可以沿著x軸負方向滾動。 【

10、命題立意】本題考查函數(shù)的相關(guān)知識，考查了函數(shù)的周期、零點。要求考生具有探索意識和動手能力，屬創(chuàng)新題。 【思路點撥】讓正方形向右滾動，作出點P的圖象。從圖象可求出周期與面積。 【規(guī)范解答】點P在一個周期內(nèi)的運行軌跡如圖所示。的最小正周期為4。在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為三個扇形扇形，扇形，扇形與兩個直角三角形的面積之和，即 【答案】4 10.（2010·北京高考理科·Ｔ１4）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿軸滾動。設(shè)頂點的軌跡方程是，則函數(shù)的最小正周期為 ；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為 。 說明：“正方形

11、PABC沿軸滾動”包括沿軸正方向和沿軸負方向滾動。沿軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當頂點B落在軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)。類似地，正方形PABC可以沿軸負方向滾動。 【命題立意】本題考查函數(shù)的相關(guān)知識，考查了函數(shù)的周期、零點。要求考生具有探索意識和動手能力，屬創(chuàng)新題。 【思路點撥】先讓AP與軸重合，再向右滾動，作出的圖象。利用圖象求最小正周期及面積。 【規(guī)范解答】4，。點P在一個周期內(nèi)的運行軌跡如圖所示。的最小正周期為4。在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為三個扇形：扇形，扇形，扇形與兩個直角三角形的面積之和，即 【答案】4