2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力提升訓(xùn)練3 不等式及線性規(guī)劃問題 理

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1、訓(xùn)練3　不等式及線性規(guī)劃問題 (時間：45分鐘　滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2012·濟(jì)南市3月模擬)若a＞b，則下列不等式恒成立的是 (　　)． A．a(chǎn)3＞b3 B．lg a＞lg b C.a＞b D.＜ 2．(2012·德州期末考試)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜4}，則不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為 (　　)． A. B. C. D. 3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是 (　　)． A. B．4 C. D．5 4．設(shè)a＞0，則函數(shù)f(x)＝4x＋≥4(x＞

2、0)成立的一個充分不必要條件是 (　　)． A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝4 D．a(chǎn)≤3 5．(2012·荊門等八市聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿足且z＝2x＋y的最小值為4，則實(shí)數(shù)b的值為 (　　)． A．0 B．2 C．3 D．4 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．(2012·寧波鄞州區(qū)適應(yīng)性考試)已知點(diǎn)A(m，n)在直線x＋2y－1＝0上，則2m＋4n的最小值為________． 7．已知a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m、n為正數(shù))，若a∥b，則＋的最小值是________． 8．(2012·福州質(zhì)檢)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)

3、域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是________． 三、解答題(本題共3小題，共35分) 9．(11分)如圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成． (1)現(xiàn)有可圍36 m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？ (2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？ 10．(12分)(2012·溫州八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex＋2x2－3x. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (

4、2)當(dāng)x≥時，若關(guān)于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 11．(12分)(2010·湖南)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，對任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)． (1)證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≤(x＋c)2； (2)若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值． 參考答案 訓(xùn)練3　不等式及線性規(guī)劃問題 1．A　[當(dāng)a＜0，b＜0時，lg a，lg b無意義，所以B不正確；當(dāng)a＞b時，a＜b，所以C不正確；當(dāng)a＞0，b＜0時，＞，所以D不正確．] 2．D　[由已知a＜0，把2

5、和4看作方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，則∴b＝－6a，c＝8a， 即cx2＋bx＋a＜0?8ax2－6ax＋a＜0. ∵a＜0，∴8x2－6x＋1＞0，解得：x＞或x＜.] 3．C　[∵a＋b＝2，∴y＝＋＝· ＝≥＝.] 4．C　[由f(x)＝4x＋≥4≥4，得a≥2，所以選C.] 5．C　[畫出可行域可知y＝－2x＋z過時z取得最小值，所以2×＋＝4，b＝3.] 6．解析　因?yàn)辄c(diǎn)A(m，n)在直線x＋2y－1＝0上，所以有m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2. 答案　2 7．解析　向量a∥b的充要條件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n

6、)＝3＋＋≥3＋2. 答案　3＋2 8．解析　因?yàn)槎淮尾坏仁浇M所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，如圖陰影部分且左、右兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(1,9)，Q(3,8)，由函數(shù)y＝ax的圖象經(jīng)過區(qū)域M，如圖所示． 則由圖象可知即2≤a≤9. 所以a的取值范圍是[2,9]． 答案　[2,9] 9．解　設(shè)每間虎籠的長、寬分別為x m、y m. 則s＝xy. (1)由題意知：4x＋6y＝36. ∴2x＋3y＝18. 又2x＋3y≥2， ∴xy≤＝＝， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y＝9，即x＝4.5，y＝3時，s＝xy最大， ∴每間虎籠的長為4.5 m，寬為3 m時，每間虎籠面積最大． (2)由題

7、意知xy＝24， 4x＋6y≥2＝48， 當(dāng)且僅當(dāng)4x＝6y時，取得等號． 由得 ∴每間虎籠的長為6 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。? 10．解　(1)f′(x)＝ex＋4x－3，則f′(1)＝e＋1， 又f(1)＝e－1，∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－e＋1＝(e＋1)(x－1)， 即(e＋1)x－y－2＝0. (2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，得 ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1， 即ax≤ex－x2－1. ∵x≥，∴a≤. 令g(x)＝， 則g′(x)＝. 令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1， 則φ′(x)

8、＝x(ex－1)． ∵x≥，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在上單調(diào)遞增， ∴φ(x)≥φ＝－ ＞0， 因此g′(x)＞0，故g(x)在，＋∞上單調(diào)遞增， 則g(x)≥g＝＝2－， ∴a的取值范圍是. 11．(1)證明　易知f′(x)＝2x＋b.由題設(shè)，對任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，從而c≥＋1.于是c≥1， 且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0. 故當(dāng)x≥0時，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0. 即當(dāng)x≥0時，f(x)≤(x＋c)2. (2)解　由(1)知c≥|b|.當(dāng)c＞|b|時，有M≥＝＝. 令t＝，則－1＜t＜1，＝2－. 而函數(shù)g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是. 因此，當(dāng)c＞|b|時，M的取值集合為. 當(dāng)c＝|b|時，由(1)知b＝±2，c＝2.此時f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，從而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立． 綜上所述，M的最小值為.