線性回歸方程的求法.ppt

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1、1.1線性回歸方程的求法,必修3(第二章 統(tǒng)計)知識結(jié)構(gòu),收集數(shù)據(jù) (隨機抽樣),整理、分析數(shù)據(jù)估計、推斷,簡單隨機抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣,用樣本估計總體,變量間的相關(guān)關(guān)系,用樣本的頻率分布估計總體分布,用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征,線性回歸分析,,,統(tǒng)計的基本思想,,,,實際,樣本,模 擬,抽 樣,分 析,兩個變量的關(guān)系,,不相關(guān),相關(guān)關(guān)系,,函數(shù)關(guān)系,線性相關(guān),非線性相關(guān),現(xiàn)實生活中兩個變量間的關(guān)系有哪些呢？,思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？,函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在

2、，是更一般的情況,自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。,1、定義：,1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；,注,2、現(xiàn)實生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。 如：人的身高與年齡； 產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量； 商品的銷售額與廣告費； 家庭的支出與收入。等等,探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？,10 20 30 40 50,500 450 400 350 300,,,,,,,,發(fā)現(xiàn)：圖中各點，大致分布在某條直線附近。,,探索2：在這些點附近可畫直線不止一條， 哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？,施化肥量,水稻產(chǎn)量,,散點圖,10

3、 20 30 40 50,500 450 400 350 300,,,,,,,,,施化肥量,水稻產(chǎn)量,,怎樣求回歸直線？,最小二乘法：,稱為樣本點的中心。,（3）對兩個變量進行的線性分析叫做線性回歸分析。,2、回歸直線方程：,（2）相應的直線叫做回歸直線。,（1）所求直線方程 叫做回歸直線方程； 其中,（注意回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心）,例1 假設關(guān)于某設備的使用年限x和所有支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：,若由此資料所知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： 回歸直線方程 估計使用年限為10年時，維修費用是多少？,解題步驟：,作散點圖,2.把數(shù)據(jù)列表，計算相應的值，求出回

4、歸系數(shù),3.寫出回歸方程,并按要求進行預測說明。,例2 （2007年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y (噸標準煤)的幾組對應數(shù)據(jù)。,請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的 性回歸方程,(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準 煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？,（參考數(shù)值：,）,小結(jié)：求回歸直線方程的步驟,（2）所求直線方程 叫做回歸直線方程； 其中,（1）作散點圖，通過圖看出樣本點是否呈條狀分 布，進而判斷兩

5、個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。,（3）根據(jù)回歸方程，并按要求進行預測說明。,相關(guān)系數(shù),1.計算公式 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小 問題：達到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？,負相關(guān),正相關(guān),相關(guān)系數(shù),正相關(guān)；負相關(guān)通常， r-1,-0.75--負相關(guān)很強; r0.75,1正相關(guān)很強; r-0.75,-0.3--負相關(guān)一般; r0.3, 0.75正相關(guān)一般; r-0.25, 0.25--相關(guān)性較弱;,第一章 統(tǒng)計案例,1.1回歸分析的基本思想及其初步應用,（第二課時）,a. 比數(shù)學3

6、中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學統(tǒng)計 畫散點圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應用問題,選修-統(tǒng)計案例 引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,什么是回歸分析：,“回歸”一詞是由英國生物學家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時首先提出的。,根據(jù)遺傳學的觀點，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。 雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此， X和Y之間存在一種相關(guān)關(guān)系

7、。,一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身 高必然向兩極分化，而事實上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩 的身高有向中心回歸的特點?！盎貧w”一詞即源于此。,雖然這種向中心回歸的現(xiàn)象只是特定領(lǐng)域里的結(jié)論，并不具有普遍性，但從它 所描述的關(guān)于X為自變量，Y為不確定的因變量這種變量間的關(guān)系看，和我們現(xiàn)在的 回歸含義是相同的。,不過，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應用 于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，在經(jīng)濟理論研究和實證研究中也發(fā)揮著重要作用。,回歸分析的內(nèi)容與步驟：,統(tǒng)計檢驗通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計、預測

8、因變量。,回歸分析通過一個變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。,其主要內(nèi)容和步驟是， 首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；,其次，設法找出合適的數(shù)學方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；,由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗；,,例1 從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為 172cm的女大學生的體重。,案例1：女大學生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：,2、由散點圖知道身高和體重有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性

9、回歸方程 刻畫它們之間的關(guān)系。,3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。,我們可以用下面的線性回歸模型來表示： y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機誤差。,思考P3 產(chǎn)生隨機誤差項e 的原因是什么？,思考P4 產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？,隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）： 1、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能 還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測誤差。,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型

10、：,回歸模型：,可以提供 選擇模型的準則,,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,回歸模型：,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。,在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預報變量。,,例1 從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為 172cm的女大學生的體重。,案例1：女大學生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：,2、由散點圖知道身高和體重有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因

11、此可以用線性回歸方程 刻畫它們之間的關(guān)系。,3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。,我們可以用下面的線性回歸模型來表示： y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機誤差。,根據(jù)最小二乘法估計 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計，,根據(jù)最小二乘法估計 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計，,于是有b=,所以回歸方程是,所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為,,探究P4： 身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？,探究P4： 身高為17

12、2cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？ 如果不是，你能解析一下原因嗎？,答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg， 但一般可以認為她的體重在60.316kg左右。,對回歸模型進行統(tǒng)計檢驗,表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)。,在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)， 是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。,殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可

13、以選為樣本 編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,殘差圖的制作及作用。 坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域； 對于遠離橫軸的點，要特別注意。,身高與體重殘差圖,,,幾點說明： 第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度

14、越高。,樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) R2 ）,1.回歸平方和占總偏差平方和的比例,反映回歸直線的擬合程度 取值范圍在 0 , 1 之間 R2 1，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差 判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2(r)2,顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。,在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率。,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的 線性相關(guān)性越強）。,如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值 來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。,總

15、的來說： 相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。 在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。,從表3-1中可以看出，解析變量對總效應約貢獻了64%，即R2 0.64，可以敘述為 “身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。,這些問題也使用于其他問題。,涉及到統(tǒng)計的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時間性； 樣本的取值范圍對模型的影響； 模型預報結(jié)果的正確理解。,小結(jié)：,一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。,（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀

16、察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）。,（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性 回歸方程y=bx+a）.,（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。,（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn) 不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是 否合適等。,建構(gòu)數(shù)學模型,我們將y=bx+a+e 稱為線性回歸模型其中a, b為模型的未知參數(shù)，解釋變量x，預報變量y，e稱為隨機誤差。 思考1：e產(chǎn)生的主要原因是什么？ (1)所用確定函數(shù)模型不恰當； (2)忽略了某些因素的影響； (3)觀測誤差

17、。,,思考2：如何檢查擬合效果的好壞？,（1）散點圖,（2）相關(guān)系數(shù),（3）殘差分析,（4）回歸效果的相關(guān)系數(shù),被害棉花,紅鈴 蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態(tài)發(fā)育的溫度為 25一32C，相對濕度為80一100，低于 20C和高于35C卵不能孵化，相對濕度60 以下成蟲不產(chǎn)卵。冬季月平均氣溫低于一48 時，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死。,問題情景,1953年，18省發(fā)生紅鈴蟲大災害，受災面積300萬公頃，損失皮棉約二十萬噸。,,例2、現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測數(shù)據(jù)列于下表：,（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預測溫度為28oC時產(chǎn)卵數(shù)目。 （2）你所建立的模型中溫度在多

18、大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？,問題呈現(xiàn)：,假設線性回歸方程為 ：=bx+a,由計算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)R2=r20.8642=0.7464,所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,問題探究,,,,,,,,,,方案1,當x=28時，y =19.8728-463.73 93,,教法,9366！? 模型不好？,奇怪？,方案2,問題3,合作探究,方案2解答,平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a,作散點圖，并由計算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.36

19、7t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=r20.8962=0.802,將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54 當x=28時，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函數(shù)模型中溫度解 釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,,教法,0.367,-202.54,R2=r20.8962=0.802,y=0.367x2 -202.54,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,,指數(shù)函數(shù)模型,方案3,合作探究,教法,對數(shù),方案3解答,由計算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程 為z=0.118x-1.665 ， 相關(guān)指數(shù)R2=r20.99252=0.985,當x=28oC 時，y 44 ，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化,最好的模型是哪個?,,線性模型,二次函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型,教法,,最好的模型是哪個?,教法,比一比,選修1-2：P13-3,練習,小結(jié):,（1）如何發(fā)現(xiàn)兩個變量的關(guān)系？ （2）如何選用、建立適當?shù)姆蔷€性回歸模型 ？ （3）如何比較不同模型的擬合效果？,,,歸納小結(jié),