2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題03 數(shù)列綜合篇（教師版）

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1、2013年高考數(shù)學(xué) 考前沖刺大題精做 專題03 數(shù)列綜合篇（教師版） 【2013高考會這樣考】 1、 注意數(shù)列與不等式的交匯；在證明不等式的過程中，經(jīng)常涉及分析法、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等； 2、 注意數(shù)列與函數(shù)的交匯；數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)的研究方法來對數(shù)列進(jìn)行研究，但注意； 3、 數(shù)列問題中求解參數(shù)的取值范圍，首選分離參數(shù)法； 4、 對于新定義數(shù)列，讀懂問題，將問題轉(zhuǎn)化為平常的知識進(jìn)行求解. 【原味還原高考】 【高考還原1：（2012年高考（重慶理））】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,其中. （I）求證:是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列； （II）若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

2、 試題重點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的定義、與的關(guān)系、分析法、推理與證明，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力. 試題難點(diǎn)：本題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是如何證明“”，此時(shí)應(yīng)該先使用分析法將式子轉(zhuǎn)化為“”，再通過構(gòu)造“()()>0”進(jìn)行證明；二是如何得到“等號成立的充要條件”，此時(shí)，需應(yīng)用特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，先看出“當(dāng)或時(shí)等號成立”；再由“”看出“時(shí)等號成立”. 試題注意點(diǎn)：數(shù)列與不等式證明的綜合交匯，是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)當(dāng)合理的使用已有的證明方法與手段（常用方法：分析法、數(shù)學(xué)歸納法），使得條件往結(jié)論靠攏, 【高考還原2：（2012年高考（大綱理））】函數(shù).定義數(shù)列如下:是過兩點(diǎn)

3、的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). （1）證明:; （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式. ,故. 【高考還原3：（2012年高考（湖南理））】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。 （1）若a1=1,a2=5,且對任意n∈N﹡,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式. （2）證明:數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列. 【細(xì)品經(jīng)典例題】 【經(jīng)典例題1】已知數(shù)列

4、{}、{}滿足：． （1）求； （2）設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，不等式恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【名師點(diǎn)撥】（1）利用數(shù)列的遞推公式可以求出；（2）利用等差數(shù)列的判定條件，，可以求出數(shù)列是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列；（3）先利用裂項(xiàng)法求出，再求出 ， 【經(jīng)典例題2】已知數(shù)列，如果數(shù)列滿足滿足，則稱數(shù)列是數(shù)列的“生成數(shù)列”. （1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，寫出數(shù)列的“生成數(shù)列”的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列的通項(xiàng)為, (A.、B是常數(shù))，試問數(shù)列的“生成數(shù)列”是否是等差數(shù)列，請說明理由； （3）已知數(shù)列的通項(xiàng)為，設(shè)的“生成數(shù)

5、列”為；若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【名師點(diǎn)撥】（1）根據(jù)生成數(shù)列的定義式可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；觀察可知，當(dāng)時(shí)=，此時(shí)數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不能合并，不是等差數(shù)列；（3）先求出數(shù)列的“生成數(shù)列”為，于是 【名師剖析】 試題重點(diǎn)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的判定、數(shù)列求和的方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及分類討論的數(shù)學(xué)思想. 試題難點(diǎn)：在求“數(shù)列的前項(xiàng)和”的過程中，涉及分類討論，分組求和. 試題注意點(diǎn)：使用分組求和的過程中，應(yīng)當(dāng)合理進(jìn)行分組，將數(shù)列分成我們常見的，力所能及的數(shù)列進(jìn)行求解. 【精選名題巧練】 【名題巧

6、練1】某校高一學(xué)生1000人，每周一次同時(shí)在兩個(gè)可容納600人的會議室，開設(shè)“音樂欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的校本課程．要求每個(gè)學(xué)生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數(shù)為，其余的人聽“美術(shù)鑒賞”課；從第二次起，學(xué)生可從兩個(gè)課中自由選擇．據(jù)往屆經(jīng)驗(yàn)，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學(xué)生，下一次會有20﹪改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會有30﹪改選“音樂欣賞”，用分別表示在第次選“音樂欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù)． （Ⅰ）若，分別求出第二次,第三次選“音樂欣賞”課的人數(shù)； （Ⅱ）（ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并用表示；（ⅱ）若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀^58

7、00，求的取值范圍． 【名題巧練2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 N. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，且成等差數(shù)列，試判斷是否成等比數(shù)列？并說明理由. 而當(dāng)時(shí)，， ……………12分 當(dāng)時(shí)，．………………………13分 綜上所述， …………14分 【名題巧練4】設(shè)，，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，對于滿足的整數(shù)，數(shù)列，，… 由 確定。記 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求M的值； （Ⅱ）求M的最小值及相應(yīng)的k的值 【名題巧練5】已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩根，且． （1）求證: 數(shù)列是

8、等比數(shù)列； （2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求； （3）問是否存在常數(shù)，使得對任意都成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由． 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值1， ……11分 ②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由(*)得 【名題巧練7】數(shù)列的前項(xiàng)和為，對，點(diǎn)恒在直線上，點(diǎn)恒在拋物線上，其中為常數(shù)。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求直線與拋物線所圍成的封閉圖形的面積。 【名題巧練8】已知數(shù)列滿足。 （1）求證：是常數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對任意的，有。 【名題巧練9】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對

9、任意。都有,,. (e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828……） （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和； （3）試探究是否存在整數(shù)，使得對于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。 【名題巧練10】已知函數(shù) （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）當(dāng)n取何值時(shí)，bn取最大值，并求出最大值； （3）若恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【名題出處】2012-2013安徽省望江中學(xué)月考 【名師點(diǎn)撥】（1）利用“”對式子進(jìn)行化簡，整理得到“”，可以得到數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用的依題意（*）式對任意恒成立， ① t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．…………9分