4、B． 5-32 C． 2 D． 1
6. 如圖所示，在 △ABC 中，D 是 AC 邊上的中點(diǎn)，連接 BD，把 △BDC 沿 BD 翻折，得到 △BDC?，DC? 與 AB 交于點(diǎn) E，連接 AC?，若 AD=AC?=2，BD=3，則點(diǎn) D 到 BC? 的距離為 ??
A． 332 B． 3217 C． 7 D． 13
7. 如圖所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，點(diǎn) D，F(xiàn) 分別是邊 AB，BC 上的動(dòng)點(diǎn)，連接 CD，過點(diǎn) A 作 AE⊥CD 交 BC 于點(diǎn) E，垂足為 G，連接 GF，則 GF+12FB 的最小值是 ??
5、
A． 3-1 B． 3+1 C． 332-1 D． 332+1
8. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y=2x-1 的圖象分別交 x 軸、 y 軸于點(diǎn) A，B，將直線 AB 繞點(diǎn) B 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 45°，交 x 軸于點(diǎn) C，則直線 BC 的函數(shù)解析式是 ．
9. 如圖所示，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別在矩形 ABCD 各邊上，且 AE=CG，BF=DH，則四邊形 EFGH 周長(zhǎng)的最小值為 ．
10. 如圖所示，已知 △ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=23．D 為 BC 邊一
6、點(diǎn)，且 BD:DC=1:2．以 D 為一個(gè)點(diǎn)作等邊三角形 DEF，且 DE=DC，連接 AE，將等邊三角形 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)一周，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) AE 取得最大值時(shí)，AF 的長(zhǎng)為 ．
11. 解答下列問題．
(1) 初步思考：
如圖（1）所示，在 △PCB 中，已知 PB=2，BC=4，N 為 BC 上一點(diǎn)且 BN=1，試證明 PN=12PC．
(2) 問題提出：
如圖（2）所示，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，圓 B 的半徑為 2，點(diǎn) P 是圓 B 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PD+12PC 的最小值．
(3) 推廣運(yùn)用：
如圖（3）所示，已知
7、菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，∠B=60°，圓 B 的半徑為 2，點(diǎn) P 是圓 B 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PD-12PC 的最大值．
12. 如圖所示，在 △ABC 中，分別以 AB，AC 為腰向外側(cè)作等腰直角三角形 ADB 與等腰直角三角形 AEC，∠DAB=∠EAC=90°，連接 DC，EB 相交于點(diǎn) O．
(1) 求證 BE⊥DC；
(2) 若 BE=BC．
①如圖（1）所示，G，F(xiàn) 分別是 DB，EC 中點(diǎn)，求 GFBC 的值．
②如圖（2）所示，連接 OA，若 OA=2，求 △DOE 的面積．
13. 如圖（1）所示，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，A
8、B=4，BC=2，點(diǎn) D，E 分別是邊 BC，AC 的中點(diǎn)，連接 DE．將 △CDE 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為 α．
(1) 問題發(fā)現(xiàn)．
①當(dāng) α=0° 時(shí)，AEBD= ；
②當(dāng) α=180° 時(shí)，AEBD= ．
(2) 拓展探究．
試判斷：當(dāng) 0°≤α<360° 時(shí)，AEBD 的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明．
(3) 問題解決．
△CDE 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 A，B，E 三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段 BD 的長(zhǎng)．
答案
1. 【答案】D
【解析】如圖所示，以 AB 為直徑作 ⊙O，連接 OC，OE．
∵A
9、B=AC，∠BAC=90°，BC=42，
∴AB=AC=4，OA=OB=2，OC=AC2+AO2=25．
∵OE=OA=2，OE+EC≥OC，
∴O，E，C 共線時(shí)，EC 的值最小，最小值為 25-2．
2. 【答案】
(1) 37
(2) 2337
(3) 如圖（3）所示，延長(zhǎng) OC 到點(diǎn) E，使 CE=6，
∴OE=OC+CE=12．
連接 PE，OP，
∵OA=3，
∴OAOP=OPOE=12．
∵∠AOP=∠EOP，
∴△OAP∽△OPE，
∴APEP=12，
∴EP=2PA，
∴2PA+PB=EP+PB，
10、
∴ 當(dāng) E，P，B 三點(diǎn)共線時(shí)，2PA+PB 取得最小值等于 BE=OB2+OE2=13．
【解析】
(1) 如圖（1）所示，連接 AD，
∵AP+12BP=AP+PD，要使 AP+12BP 最小，
∴AP+PD 最小，當(dāng)點(diǎn) A，P，D 在同一條直線時(shí)，AP+PD 最小，
即 AP+12BP 最小值為 AD 的長(zhǎng)．
在 Rt△ACD 中，CD=1，AC=6，
∴AD=AC2+CD2=37，
即 AP+12BP 的最小值為 37．
(2) 如圖（2）所示，連接 CP，在 CA 上取點(diǎn) D，使 CD=23，
∴CDCP=CPCA=13．
∵∠PCD=∠A
11、CP，
∴△PCD∽△ACP，
∴PDAP=CPCA=13，
∴PD=13AP，
∴13AP+BP=BP+PD．
同（1）的方法得出 13AP+BP 的最小值等于 BD=BC2+CD2=2337．
3. 【答案】A
【解析】如圖所示，設(shè)直線 x=-2 與 x 軸交于 G，過 A 作 AH⊥ 直線 x=-2 于 H，AF⊥x 軸于 F，
∵BH∥y 軸，
∴∠ABH=α．
在 Rt△ABH 中，tanα=5BH，
∵tanα 隨 BH 的增大而減小，
∴ 當(dāng) BH 最小時(shí) tanα 有最大值；
即 BG 最大時(shí)，tanα 有最大值．
∵∠B
12、GC=∠ACB=∠AFC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠GBC=∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴BGCF=CGAF，即 y3-x=x+24，
∴y=14x+23-x=-14x-122+2516，
當(dāng) x=12 時(shí)，y 取最大值 2516．
故選A．
4. 【答案】 14
【解析】如圖所示，作點(diǎn) A 關(guān)于 CM 的對(duì)稱點(diǎn) A?，點(diǎn) B 關(guān)于 DM 的對(duì)稱點(diǎn) B?．
∵∠CMD=120°，
∴∠AMC+∠DMB=60°，
∴∠CMA?+∠DMB?=60°，
∴∠A?MB?=60°．
∵M(jìn)A?=MB
13、?，
∴△A?MB? 為等邊三角形．
∵CD≤CA?+A?B?+B?D=CA+AM+BD=2+4+8=14，
∴CD 的最大值為 14．
5. 【答案】A
【解析】如圖所示，將 △ADC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，得到 △ABE．
則 CD=BE，連接 DE，△ADE 是等腰直角三角形，ED=52．
∵ED-BD≤BE，
∴BE≥52-3，
∴ 當(dāng) E，B，D 三點(diǎn)共線時(shí)，BE 最小，即 CD 最小．
此時(shí) BE 的最小值為 DE-BD=52-3．
6. 【答案】B
【解析】如圖所示，連接 CC?，交 BD 于點(diǎn) M，過點(diǎn) D 作 D
14、H⊥BC? 于點(diǎn) H，
∵AD=AC?=2，D 是 AC 邊上的中點(diǎn)，
∴DC=AD=2．
由翻折知 △BDC≌△BDC?，BD 垂直平分 CC?，
∴DC=DC?=2，BC=BC?，CM=C?M，
∴AD=AC?=DC?=2，
∴△ADC? 為等邊三角形，
∴∠ADC?=∠AC?D=∠C?AC=60°，
∵DC=DC?，
∴∠DCC?=∠DC?C=12×60°=30°．
在 Rt△C?DM 中，∠DC?C=30°，DC?=2，
∴DM=1，C?M=3DM=3，
∴BM=BD-DM=3-1=2．
在 Rt△BMC? 中，BC?=BM2+C?M2=2
15、2+32=7，
∵S△BDC?=12BC??DH=12BD?C?M，
∴7DH=3×3，
∴DH=3217．
7. 【答案】C
【解析】如圖所示，延長(zhǎng) AC 到點(diǎn) P，使 CP=AC，連接 BP，過點(diǎn) F 作 FH⊥BP 于點(diǎn) H，取 AC 中點(diǎn) O，連接 OG，過點(diǎn) O 作 OQ⊥BP 于點(diǎn) Q，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=4，
∴AC=CP=2，BP=AB=4，
∴△ABP 是等邊三角形，
∴∠FBH=30°．
Rt△FHB 中，F(xiàn)H=12FB，
∴ 當(dāng) G，F(xiàn)，H 在同一直線上時(shí)，GF+12FB=GF+FH=GH 取得最
16、小值．
∵AE⊥CD 于點(diǎn) G，
∴∠AGC=90°．
∵O 為 AC 的中點(diǎn)，
∴OA=OC=OG=12AC，
∴A，C，G 三點(diǎn)共圓，圓心為 O，即點(diǎn) G 在 ⊙O 上運(yùn)動(dòng)，
∴ 當(dāng)點(diǎn) G 運(yùn)動(dòng)到 OQ 上時(shí)，GH 取得最小值．
∵Rt△OPQ 中，∠P=60°，OP=3，sinP=OQOP=32，
∴OQ=32OP=332，
∴GH 的最小值為 332-1．
8. 【答案】 y=13x-1
【解析】 ∵ 一次函數(shù) y=2x-1 的圖象分別交 x 軸、 y 軸于點(diǎn) A，B，
∴ 令 x=0，得 y=-1，令 y=0，則 x=12，
17、 ∴A12,0，B0,-1，
∴OA=12，OB=1．
如圖所示，過 A 作 AF⊥AB 交 BC 于 F，過 F 作 FE⊥x 軸于 E，
由題意知 ∠ABC=45°，
∴△ABF 是等腰直角三角形，
∴AB=AF．
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°，
∴∠ABO=∠EAF，
∴△ABO≌△FAE，
∴AE=OB=1，EF=OA=12，
∴F32,-12．
設(shè)直線 BC 的函數(shù)解析式為 y=kx+b，由 32k+b=-12,b=-1, 得 k=13,b=-1,
∴ 直線 BC 的函數(shù)解析式為 y=13x-1．
9. 【答
18、案】 105
【解析】作點(diǎn) E 關(guān)于 BC 的對(duì)稱點(diǎn) E?，連接 E?G 交 BC 于點(diǎn) F，此時(shí)四邊形 EFGH 周長(zhǎng)取最小值，過點(diǎn) G 作 GG?⊥AB 于點(diǎn) G?，如圖所示：
∵AE=CG，BE=BE?，
∴E?G?=AB=10．
∵GG?=AD=5，
∴E?G=E?G?2+GG?2=55，
∴C四邊形EFGH=2E?G=105．
10. 【答案】 27
【解析】如圖所示，點(diǎn) E，F(xiàn) 在以 D 為圓心，DC 為半徑的圓上，當(dāng) A，D，E 在同一直線上時(shí)，AE 取最大值，過點(diǎn) A 作 AH⊥BC 交 BC 于 H，連接 FC，
∴∠BAC=120
19、°，AB=AC=23，
∴∠B=∠ACB=30°，BH=CH，
∴ 在 Rt△ABH 中，AH=12AB=3，BH=3AH=3，
∴BC=2BH=6，
∵BD:DC=1:2，
∴BD=2，CD=4，
∴DH=BH-BD=1，
在 Rt△ADH 中，AH=3，DH=1，
∴tan∠DAH=DHAH=33，
∴∠DAH=30°，∠ADH=60°，
∵△DEF 是等邊三角形，
∴∠E=60°，DE=EF=DC，
∵∠ADC=∠E=60°，
∴DC∥EF，
∵DC=EF，
∴ 四邊形 DEFC 為平行四邊形，
又 ∵DE=DC，
∴ 平行
20、四邊形 DEFC 為菱形，
∴FC=DC=4，∠DCF=∠E=60°，
∴∠ACF=∠ACB+∠DCF=90°，
在 Rt△ACF 中，AF=AC2+CF2=232+42=27．
11. 【答案】
(1) 如圖（1）所示．
∵PB=2，BC=4，BN=1，
∴PB2=4，BN?BC=4，
∴PB2=BN?BC，
∴BNBP=BPBC．
又 ∵∠B=∠B，
∴△BPN∽△BCP，
∴PNPC=BNBP=12，
∴PN=12PC．
(2) 如圖（2）所示，在 BC 上取一點(diǎn) G，使得 BG=1，連接 BP．
∵PBBG=21=2，BC
21、PB=42=2，
∴PBBG=BCPB，∠PBG=∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴PGPC=BGPB=12，
∴PG=12PC，
∴PD+12PC=DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴ 當(dāng) D，P，G 共線時(shí)，PD+12PC 的值最小，最小值為 DG=42+32=5．
(3) 同（2）中證法，如圖（3）所示．
取 BG=1，PD-12PC=PD-PG≤DG，
當(dāng)點(diǎn) P 在 DG 的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-12PC 取最大值，最大值為 DG 的長(zhǎng) =37．
12. 【答案】
(1) ∵∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠EAB=∠CAD．
22、在 △BAE 和 △DAC 中，
AB=AD,∠BAE=∠DAC,AE=AC,
∴△BAE≌△DAC，
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BAD=90°，
∴∠DOB=90°，即 BE⊥DC．
(2) ①如圖（1）所示，取 DE 的中點(diǎn) H，連接 GH，F(xiàn)H．
∵ 點(diǎn) G 是 BD 的中點(diǎn)，
∴GH∥BE，GH=12BE．
同理，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H=12CD．
∵BE=CD，BE⊥DC，
∴GH=FH，GH⊥FH，
∴△HGF 為等腰直角三角形，
∴GF=2GH．
∵GH=12BE，
∴GF=22BE．
∵BE=BC，
∴GFBC=2
23、2．
②如圖（2）所示，作 AM⊥BE 于 M，AN⊥CD 于 N．
在 △BAE 和 △BAC 中，
BE=BC,AE=AC,AB=AB,
∴△BAE≌△BAC，
∴∠BAE=∠BAC=135°，
∴∠DAE=135°-90°=45°，
即 ∠OAD+∠OAE=45°．
∵△BAE≌△DAC，
∴AM=AN．
又 AM⊥BE，AN⊥CD，
∴OA 平分 ∠BOC，
∴∠BOA=∠COA=45°，
∴∠DOA=∠EOA=135°，
∴∠ODA+∠OAD=45°，
∴∠OAE=∠ODA，
∴△ODA∽△OAE，
∴ODOA=OAOE，
24、
即 OD?OE=OA2=4，
∴△DOE 的面積 =12OD?OE=2．
13. 【答案】
(1) 5；5
(2) 如圖（2）所示，
當(dāng) 0°≤α<360° 時(shí)，AEBD 的大小沒有變化．
證明：
因?yàn)?∠ECD=∠ACB，
所以 ∠ECA=∠DCB．
又因?yàn)?ECDC=ACBC=5，
所以 △ECA∽△DCB，
所以 AEBD=ECDC=5．
(3) ①如圖（3）所示，
當(dāng)點(diǎn) E 在 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)，在 Rt△BCE 中，CE=5，BC=2，
所以 BE=EC2-BC2=5-4=1，
所以 AE=AB+BE=5，
因?yàn)?AEBD=5，
25、
所以 BD=55=5．
②如圖（4）所示，
當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上時(shí)，易知 BE=1，AE=4-1=3，
因?yàn)?AEBD=5，
所以 BD=355．
綜上所述，滿足條件的 BD 的長(zhǎng)為 355 或 5．
【解析】
(1) ①當(dāng) α=0° 時(shí)，
因?yàn)?Rt△ABC 中，∠B=90°，
所以 AC=AB2+BC2=22+42=25，
因?yàn)辄c(diǎn) D，E 分別是邊 BC，AC 的中點(diǎn)，
所以 AE=12AC=5，BD=12BC=1，
所以 AEBD=5．
②如圖（1）所示，
當(dāng) α=180° 時(shí)，可得 AB∥DE，
因?yàn)?ACAE=BCBD，
所以 AEBD=ACBC=5．
人教版九下數(shù)學(xué) 中考專題復(fù)習(xí) 專題4 幾何探究問題
