2013年中考數(shù)學專題復習講座 第二十五講 與圓有關的計算

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1、2013年中考數(shù)學專題復習第二十五講 與圓有關的計算 【基礎知識回顧】 正多邊形和圓： 1、各邊相等， 也相等的多邊形是正多邊形 2、每一個正多邊形都有一個外接圓，外接圓的圓心叫正多邊形的 外接圓的半徑叫正多邊形的 一般用字母R表示，每邊所對的圓心角叫 用α表示，中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的 用r表示 3、每一個正幾邊形都被它的半徑分成一個全等的 三角形，被它的半徑和邊心距分成一個全等的 三角形 【名師提醒：正多邊形的有關計算，一般是放在一個等腰三角形或一個直角三角形中進行，根據(jù)半徑、

2、邊心距、邊長、中心角等之間的邊角關系作計算，以正三角形、正方形和正方邊形為主】 弧長與扇形面積計算： Qo的半徑為R，弧長為l，圓心角為n2，扇形的面積為s扇，則有如下公式： L= S扇= = 【名師提醒：1、以上幾個公式都可進行變形， 2、原公式中涉及的角都不帶學位 3、扇形的兩個公式可根據(jù)已知條件靈活進行選擇 4、圓中的面積計算常見的是求陰影部分的面積，常用的方法有：⑴則圖形面積的和與差 ⑵割補法 ⑶等積變形法 ⑷平移法 ⑸旋轉法等】 三、圓柱和圓錐： 1、如圖：設圓柱的高為l,底

3、面半徑為R 則有：⑴S圓柱側= ⑵S圓柱全= ⑶V圓柱= 2、如圖：設圓錐的母線長為l，底面半徑為R 高位h，則有： ⑴S圓柱側= 、 ⑵S圓柱全= ⑶V圓柱= 【名師提醒：1、圓柱的高有 條，圓錐的高有 條 2、圓錐的高h，母線長l，底高半徑R滿足關系 3、注意圓錐的側面展開圓中扇形的半徑l是圓錐的 扇形的弧長是圓錐的 4、圓錐的母線為l，

4、底面半徑為R，側面展開圖扇形的圓心角度數(shù)為n若l=2r，則n= c=3r,則n= c=4r則n= 】 【典型例題解析】 考點一：正多邊形和圓 例1 （2012?咸寧）如圖，⊙O的外切正六邊形ABCDEF的邊長為2，則圖中陰影部分的面積為（　　） A． B． C． D． 考點：正多邊形和圓． 分析：由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設點G為AB與⊙O的切點，連接OG，則OG⊥AB，OG=OA?sin60°，再根據(jù)S陰影=S△OAB-S扇

5、形OMN，進而可得出結論． 解答：解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴∠AOB=60°， ∴△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2， 設點G為AB與⊙O的切點，連接OG，則OG⊥AB， ∴OG=OA?sin60°=2×=， ∴S陰影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-． 故選A． 點評：本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正六邊形的性質求出△OAB是等邊三角形是解答此題的關鍵． 對應訓練 1．（2012?安徽）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設正八邊形與其內部小正方形的邊長都為a，則陰影部分的面積為

6、（　?。? A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 考點：正多邊形和圓；等腰直角三角形；正方形的性質． 分析：根據(jù)正八邊形的性質得出∠CAB=∠CBA=45°，進而得出AC=BC= a，再利用正八邊形周圍四個三角形的特殊性得出陰影部分面積即可． 解答：解：∵某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，設正八邊形與其內部小正方形的邊長都為a， ∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°， ∴sin45°===， ∴AC=BC=a， ∴S△ABC=×a×a=， ∴正八邊形周圍是四個全等三角形，面積和為：×4=a2． 正八邊形中間是邊長為a的正方形， ∴陰

7、影部分的面積為：a2+a2=2a2， 故選：A． 點評：此題主要考查了正八邊形的性質以及等腰直角三角形的性質，根據(jù)已知得出S△ABC的值是解題關鍵． 考點二：圓周長與弧長 例2 （2012?北海）如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C順時針旋轉60°，則頂點A所經過的路徑長為（　?。? A．10π B． C． D．π 考點：弧長的計算；勾股定理． 專題：網格型． 分析：由題意可知點A所經過的路徑為以C為圓心，CA長為半徑，圓心角為60°的弧長，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的長，利用

8、勾股定理求出AC的長，然后利用弧長公式即可求出． 解答：解：如圖所示： 在Rt△ACD中，AD=3，DC=1， 根據(jù)勾股定理得：AC==， 又將△ABC繞點C順時針旋轉60°， 則頂點A所經過的路徑長為l=π． 故選C 點評：此題考查了弧長公式，以及勾股定理，解本題的關鍵是根據(jù)題意得到點A所經過的路徑為以C為圓心，CA長為半徑，圓心角為60°的弧長． 對應訓練 3.（2012?廣安）如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右滑動地旋轉，當點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長為 ）

9、π （結果用含有π的式子表示） 考點：弧長的計算；旋轉的性質． 分析：根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；點A先是以B點為旋轉中心，順時針旋轉120°到A1，再以點C1為旋轉中心，順時針旋轉90°到A2，然后根據(jù)弧長公式計算兩段弧長，從而得到點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長． 解答：解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°； ∵Rt△ABC在直線l上無滑動的翻轉，且點A第3次落在直線l上時，有3個的長，2個的長， ∴點A經過的路線長=×3+×2=

10、（4+）π． 故答案為：（4+）π． 點評：本題考查了弧長公式：l= （其中n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）；也考查了旋轉的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系． 考點三：扇形面積與陰影部分面積 例3 （2012?畢節(jié)地區(qū)）如圖，在正方形ABCD中，以A為頂點作等邊△AEF，交BC邊于E，交DC邊于F；又以A為圓心，AE的長為半徑作 ．若△AEF的邊長為2，則陰影部分的面積約是（　　） （參考數(shù)據(jù)： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14） A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36 考點：扇形面積的計算；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的

11、性質；等腰直角三角形；正方形的性質． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)直角邊和斜邊相等，證出△ABE≌△ADF，得到△ECF為等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面積，S△ECF-S弓形EGF即可得到陰影部分面積． 解答：解：∵AE=AF，AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（Hl）， ∴BE=DF， ∴EC=CF， 又∵∠C=90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EC=EFcos45°=2×=， ∴S△ECF=××=1， 又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=， 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-

12、， ∴S陰影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64． 故選A． 點評：本題考查了扇形面積的計算，全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、等腰直角三角形、正方形的性質，將陰影部分面積轉化為S△ECF-S弓形EGF是解題的關鍵． 對應訓練 3.（2012?內江）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，則陰影部分圖形的面積為（　?。? A．4π B．2π C．π D． 考點：扇形面積的計算；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形． 專題：數(shù)形結合． 分析：連接OD，則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉化為扇形OBD的

13、面積，代入扇形的面積公式求解即可． 解答：解：連接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=（垂徑定理）， 故S△OCE=S△CDE， 即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圓周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD==，即陰影部分的面積為． 故選D． 點評：此題考查了扇形的面積計算、垂徑定理及圓周角定理，解答本題關鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，另外要熟記扇形的面積公式． 考點四：圓柱、圓錐的側面展開圖 例4 （2012?永州）如圖，已知圓O的半徑為4，∠A=45°，若一個圓錐的側面展開

14、圖與扇形OBC能完全重合，則該圓錐的底面圓的半徑為 1 ． 考點：圓錐的計算；圓周角定理． 分析：首先求得扇形的圓心角BOC的度數(shù)，然后求得扇形的弧長，利用弧長等于圓的底面周長求得圓錐的底面圓的半徑即可． 解答：解：∵∠A=45°， ∴∠BOC=90° ∴扇形BOC的弧長為=2π， 設圓錐的底面半徑為r，則2πr=2π 解得r=1， 故答案為1． 點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是正確的進行圓錐的有關元素和扇形的有關元素之間的轉化． 對應訓練 7．（2012?襄陽）如圖，從一個直徑為4 dm的圓形鐵皮中剪出一個圓心角為60°的扇形ABC，

15、并將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則圓錐的底面半徑為 1 dm． 考點：圓錐的計算． 分析：圓的半徑為2 ，那么過圓心向AC引垂線，利用相應的三角函數(shù)可得AC的一半的長度，進而求得AC的長度，利用弧長公式可求得弧BC的長度，圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長÷2π． 解答：解：作OD⊥AC于點D，連接OA， ∴∠OAD=30°，AC=2AD， ∴AC=2OA×cos30°=6 ∴=2π ∴圓錐的底面圓的半徑=2π÷（2π）=1． 故答案為：1． 點評：考查圓錐的計算；用的知識點為：圓錐的側面展開圖弧長等于圓錐的底面周長；難點是得到扇形的半徑．

16、 【聚焦山東中考】 1．（2012?日照）如圖，在4×4的正方形網格中，若將△ABC繞著點A逆時針旋轉得到△AB′C′，則 的長為（　　） A．π B． C．7π D．6π 考點：弧長的計算；旋轉的性質． 專題：網格型． 分析：根據(jù)圖示知∠BAB′=45°，所以根據(jù)弧長公式l= 求得的長． 解答：解：根據(jù)圖示知，∠BAB′=45°， ∴的長為：=π． 故選A． 點評：本題考查了弧長的計算、旋轉的性質．解答此題時采用了“數(shù)形結合”是數(shù)學思想． 2.（2012?臨沂）如圖，AB是⊙O的直徑，點E為BC的中點，AB=4，∠BED=12

17、0°，則圖中陰影部分的面積之和為（　　） A．1 B． C． D．2 考點：扇形面積的計算；等邊三角形的判定與性質；三角形中位線定理． 專題：探究型． 分析：首先證明△ABC是等邊三角形．則△EDC是等邊三角形，邊長是2．而和弦BE圍成的部分的面積= 和弦DE圍成的部分的面積．據(jù)此即可求解． 解答：解：連接AE， ∵AB是直徑， ∴∠AEB=90°， 又∵∠BED=120°， ∴∠AED=30°， ∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ∴△AOD是等邊三角形， ∴∠A=60°， ∵點E為BC的中點，∠AEB=90°， ∴

18、AB=AC， ∴△ABC是等邊三角形，邊長是4．△EDC是等邊三角形，邊長是2． ∴∠BOE=∠EOD=60°， ∴和弦BE圍成的部分的面積=和弦DE圍成的部分的面積． ∴陰影部分的面積=S△EDC=×22=． 故選C． 點評：本題考查了等邊三角形的面積的計算，證明△EDC是等邊三角形，邊長是4．理解和弦BE圍成的部分的面積= 和弦DE圍成的部分的面積是關鍵． 3．（2012?德州）如圖，“凸輪”的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．已知正三角形的邊長為1，則凸輪的周長等于 π ． 考點：弧長的計算；等邊三角形的

19、性質． 專題：計算題． 分析：由“凸輪”的外圍是以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根據(jù)弧長公式計算出三段弧長，三段弧長之和即為凸輪的周長． 解答： 解：∵△ABC為正三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1， ∴====， 根據(jù)題意可知凸輪的周長為三個弧長的和， 即凸輪的周長=++=3×=π． 故答案為：π. 點評：此題考查了弧長的計算以及等邊三角形的性質，熟練掌握弧長公式是解本題的關鍵． 4.（2012?煙臺）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，A

20、B=2．將△ABC繞頂點A順時針方向旋轉至△AB′C′的位置，B，A，C′三點共線，則線段BC掃過的區(qū)域面積為 ． 考點：扇形面積的計算；旋轉的性質． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2求出BC及AC的長，再根據(jù)題意得出S陰影=AB掃過的扇形面積-AC掃過的扇形面積． 解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2， ∴BC=AB=×2=1，AC=2×=， ∴∠BAB′=150°， ∴S陰影=AB掃過的扇形面積-AC掃過的扇形面積=-=． 故答案為：． 點評：本題考查的是扇形的面積公式，根據(jù)題

21、意得出S陰影=AB掃過的扇形面積-BC掃過的扇形面積是解答此題的關鍵． 【備考真題過關】 一、選擇題 1.（2012?湛江）一個扇形的圓心角為60°，它所對的弧長為2πcm，則這個扇形的半徑為（　?。? A．6cm B．12cm C．2cm D．6cm 考點：弧長的計算． 專題：計算題． 分析：由已知的扇形的圓心角為60°，它所對的弧長為2πcm，代入弧長公式即可求出半徑R． 解答：解：由扇形的圓心角為60°，它所對的弧長為2πcm， 即n=60°，l=2π， 根據(jù)弧長公式l=，得2π=， 即R=6cm． 故選A． 點評：此題考查了弧長的計算，解題的關鍵

22、是熟練掌握弧長公式，理解弧長公式中各個量所代表的意義． 2.（2012?漳州）如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周，圓心移動的距離是（　?。? A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm 考點：弧長的計算． 專題：計算題． 分析：由于直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周，則圓心移動的距離等于圓的周長，然后利用圓的周長公式計算即可． 解答：解：∵一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周， ∴圓心移動的距離等于圓的周長，即2π×=4π． 故選B． 點評：本題考查了圓的周長公式：圓的周長=2πR（R為圓的半徑）． 3.（2012?

23、珠海）如果一個扇形的半徑是1，弧長是 ，那么此扇形的圓心角的大小為（　?。? A．30° B．45° C．60° D．90° 考點：弧長的計算． 分析：根據(jù)弧長公式l=，即可求解． 解答：解：設圓心角是n度，根據(jù)題意得 =， 解得：n=60． 故選C． 點評：本題考查了扇形的弧長公式，是一個基礎題． 4．（2012?鄂州）如圖，四邊形OABC為菱形，點A，B在以O為圓心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，則扇形ODE的面積為（　?。? A． B． C．2π D．3π 考點：扇形面積的計算；菱形的性質． 專題：計算題． 分析：連接OB，根據(jù)等邊三角形的

24、性質可以求得∠AOC=120°，再結合∠1=∠2，即可求得扇形所在的圓心角的度數(shù)，從而根據(jù)扇形的面積公式進行求解． 解答：解：連接OB， ∵OA=OB=OC=AB=BC， ∴∠AOB+∠BOC=120°． 又∵∠1=∠2， ∴∠DOE=120°． ∴扇形ODE的面積為==3π． 故選D． 點評：本題考查扇形面積的計算，同時綜合運用了菱形和等邊三角形的性質．要求掌握扇形的面積公式：（1）利用圓心角和半徑：S=；（2）利用弧長和半徑：S= lr，并學會針對不同的題型選擇合適的方法． 5．（2012?黑河）如圖，在△ABC中，BC=4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC

25、相切于點D，交AB于點E，交AC于點F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF=45°，則圖中陰影部分的面積為（　　） A．4-π B．4-2π C．8+π D．8-2π 考點：扇形面積的計算；切線的性質． 分析：根據(jù)圓周角定理可以求得∠A的度數(shù)，即可求得扇形EAF的面積，根據(jù)陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積即可求解． 解答：解：△ABC的面積是： BC?AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=90°． 則扇形EAF的面積是：=π． 故陰影部分的面積=△ABC的面積-扇形EAF的面積=4-π． 故選A． 點評：本題主要考查了扇形面積的計算，正確求得扇形的圓心

26、角是解題的關鍵． 6．（2012?黃石）如圖所示，扇形AOB的圓心角為120°，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A． B． C． D． 考點：扇形面積的計算． 專題：探究型． 分析：過點O作OD⊥AB，先根據(jù)等腰三角形的性質得出∠OAD的度數(shù)，由直角三角形的性質得出OD的長，再根據(jù)S陰影=S扇形OAB-S△AOB進行計算即可． 解答：解：過點O作OD⊥AB， ∵∠AOB=120°，OA=2， ∴∠OAD==30°， ∴OD=OA=×2=1，AD==， ∴AB=2AD=2， ∴S陰影=S扇形OAB-S△AOB=-×2×1=． 故選A．

27、 點評：本題考查的是扇形面積的計算及三角形的面積，根據(jù)題意得出S陰影=S扇形OAB-S△AOB是解答此題的關鍵． 7. （2012?婁底）如圖，正方形MNEF的四個頂點在直徑為4的大圓上，小圓與正方形各邊都相切，AB與CD是大圓的直徑，AB⊥CD，CD⊥MN，則圖中陰影部分的面積是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 考點：扇形面積的計算；軸對稱的性質． 專題：探究型． 分析：由AB⊥CD，CD⊥MN可知陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的，再根據(jù)圓的面積公式進行解答即可． 解答：解：∵AB⊥CD，CD⊥MN， ∴陰影部分

28、的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的， ∵正方形MNEF的四個頂點在直徑為4的大圓上， ∴S陰影=π×（）2=π． 故選D． 點評：本題考查的是扇形的面積及軸對稱的性質，根據(jù)題意得出陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的是解答此題的關鍵． 8．（2012?連云港）用半徑為2cm的半圓圍成一個圓錐的側面，這個圓錐的底面半徑為（　?。? A．1cm B．2cm C．πcm D．2πcm 考點：圓錐的計算． 分析：由于半圓的弧長=圓錐的底面周長，那么圓錐的底面周長=2π，底面半徑=2π÷2π得出即可． 解答：解：由題意知：底面周長=2πcm，底面半徑=2π÷2π=1cm．

29、 故選A． 點評：此題主要考查了圓錐側面展開扇形與底面圓之間的關系，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，解決本題的關鍵是應用半圓的弧長=圓錐的底面周長． 9．（2012?南充）若一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則圓錐側面展開圖的扇形的圓心角為（　?。? A．120° B．180° C．240° D．300° 考點：圓錐的計算． 分析：根據(jù)圓錐的側面積是底面積的2倍可得到圓錐底面半徑和母線長的關系，利用圓錐側面展開圖的弧長=底面周長即可得到該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角度數(shù)． 解答：解：設母線長為R，底面半徑為r， ∴底面周長=2πr

30、，底面面積=πr2，側面面積=πrR， ∵側面積是底面積的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 設圓心角為n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故選：B． 點評：本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長，以及利用扇形面積公式求出是解題的關鍵． 10． （2012?寧波）如圖，用鄰邊分別為a，b（a＜b）的矩形硬紙板裁出以a為直徑的兩個半圓，再裁出與矩形的較長邊、兩個半圓均相切的兩個小圓．把半圓作為圓錐形圣誕帽的側面，小圓恰好能

31、作為底面，從而做成兩個圣誕帽（拼接處材料忽略不計），則a與b滿足的關系式是（　?。? A．b= a B．b=a C．b=a D．b= a 考點：圓錐的計算． 分析：首先利用圓錐形圣誕帽的底面周長等于側面的弧長求得小圓的半徑，然后利用兩圓外切的性質求得a、b之間的關系即可． 解答：解：∵半圓的直徑為a， ∴半圓的弧長為 ∵把半圓作為圓錐形圣誕帽的側面，小圓恰好能作為底面， ∴設小圓的半徑為r，則：2πr= 解得：r= 如圖小圓的圓心為B，半圓的圓心為C，作BA⊥CA于A點， 則：AC2+AB2=BC2 即：（）2+（）2=（）2 整理得：b=a 故選D．

32、 點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是利用兩圓相外切的性質得到兩圓的圓心距，從而利用勾股定理得到a、b之間的關系． 11．（2012?寧夏）一個幾何體的三視圖如圖所示，網格中小正方形的邊長均為1，那么下列選項中最接近這個幾何體的側面積的是（　?。? A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0 考點：圓錐的計算；由三視圖判斷幾何體． 分析：由題意可知，幾何體是圓錐，根據(jù)公式直接求解即可． 解答：解：幾何體為圓錐，母線長為5，底面半徑為4， 則側面積為πrl=π×4×5=20π≈62.8， 故選B． 點評：本題考查三視圖求側面積問題，考查空間想象能力，

33、是基礎題．首先判定該立體圖形是圓錐是解決此題的關鍵． 12．（2012?龍巖）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD繞AB所在直線旋轉一周所得圓柱的側面積為（　?。? A．10π B．4π C．2π D．2 考點：圓柱的計算；點、線、面、體；矩形的性質． 分析：根據(jù)圓柱的側面積=底面周長×高即可計算圓柱的側面積． 解答：解：圓柱的側面面積=π×2×2×1=4π． 故選B． 點評：本題主要考查了圓柱側面積的計算公式．側面展開圖形的一邊長為半徑為2的圓的周長． 二、填空題 13．（2012?巴中）已知一個圓的半徑為5cm，則它的

34、內接六邊形的邊長為 5cm ． 考點：正多邊形和圓． 分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，六邊形ABCDEF是正六邊形，易得△OAB是等邊三角形，又由圓的半徑為5cm，即可求得它的內接六邊形的邊長． 解答：解：如圖，連接OA，OB， ∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴∠AOB=×360°=60°， ∴△OAB是等邊三角形， ∴AB=OA=OB=5cm， 即它的內接六邊形的邊長為：5cm． 故答案為：5cm． 點評：此題考查了正多邊形與圓的性質．此題難度不大，注意根據(jù)題意得到△OAB是等邊三角形是解此題的關鍵，注意數(shù)形結合思想的應用．

35、14．（2012?天津）若一個正六邊形的周長為24，則該六邊形的面積為 ． 考點：正多邊形和圓． 分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，即可得△OBC是等邊三角形，又由正六邊形ABCDEF的周長為24，即可求得BC的長，繼而求得△OBC的面積，則可求得該六邊形的面積． 解答：解：如圖，連接OB，OC，過O作OM⊥BC于M， ∴∠AOB=×360°=60°， ∵OA=OB， ∴△OBC是等邊三角形， ∵正六邊形ABCDEF的周長為24， ∴BC=24÷6=4， ∴OB=BC=4， ∴BM=BC=2， ∴OM==2， ∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，

36、 ∴該六邊形的面積為：4×6=24． 故答案為：24． 點評：此題考查了圓的內接六邊形的性質與等邊三角形的判定與性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用． 15．（2012?長沙）在半徑為1cm的圓中，圓心角為120°的扇形的弧長是 π cm． 考點：弧長的計算． 分析：知道半徑，圓心角，直接代入弧長公式L=即可求得扇形的弧長． 解答：解：扇形的弧長L==πcm． 故答案為：πcm． 點評：考查了弧長的計算，要掌握弧長公式：L= 才能準確的解題． 16．（2012?衡陽）如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點為點B

37、，弦BC∥AO，若∠A=30°，則劣弧 的長為 2π cm． 考點：弧長的計算；等邊三角形的判定與性質；切線的性質． 專題：數(shù)形結合． 分析：根據(jù)切線的性質可得出OB⊥AB，繼而求出∠BOA的度數(shù)，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度數(shù)，代入弧長公式即可得出答案． 解答：解：∵直線AB是⊙O的切線， ∴OB⊥AB， 又∵∠A=30°， ∴∠BOA=60°， ∵弦BC∥AO，OB=OC， ∴△OBC是等邊三角形， 即可得∠BOC=60°， ∴劣弧的長==2πcm． 故答案為：2π． 點評：此題考查了弧長的計算公式、切線的性質，

38、根據(jù)切線的性質及圓的性質得出△OBC是等邊三角形是解答本題的關鍵，另外要熟練記憶弧長的計算公式． 17. （2012?莆田）若扇形的圓心角為60°，弧長為2π，則扇形的半徑為 6 ． 考點：弧長的計算． 專題：計算題． 分析：利用扇形的弧長公式表示出扇形的弧長，將已知的圓心角及弧長代入，即可求出扇形的半徑． 解答：解：∵扇形的圓心角為60°，弧長為2π， ∴l(xiāng)=，即2π=， 則扇形的半徑r=6． 故答案為：6 點評：此題考查了弧長的計算公式，扇形的弧長公式為l= （n為扇形的圓心角度數(shù)，R為扇形的半徑），熟練掌握弧長公式是解本題的關鍵． 18. （

39、2012?蘇州）已知扇形的圓心角為45°，弧長等于，則該扇形的半徑為 2 ． 考點：弧長的計算． 分析：根據(jù)弧長公式l= 可以求得該扇形的半徑的長度． 解答：解：根據(jù)弧長的公式l=，知 r===2，即該扇形的半徑為2． 故答案是：2． 點評：本題考查了弧長的計算．解題時，主要是根據(jù)弧長公式列出關于半徑r的方程，通過解方程即可求得r的值． 19. （2012?廈門）如圖，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC= ，半徑為r的⊙O從點A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動到點C時停止．請你根據(jù)題意，在圖上畫出圓心O運動路徑的示意圖；圓心O運動的路程是 2πr

40、 ． 考點：弧長的計算． 專題：作圖題． 分析：根據(jù)題意畫出圖形，將運動路徑分為三部分：OO1， ，O2O3，分別計算出各部分的長再相加即可． 解答：解：圓心O運動路徑如圖： ∵OO1=AB=πr； =； O2O3=BC=； ∴圓心O運動的路程是πr++=2πr． 故答案為2πr． 點評：本題考查了弧長的計算，找到運動軌跡，將運動軌跡劃分為三部分進行計算是解題的關鍵． 20. （2012?常州）已知扇形的半徑為3cm，圓心角為120°，則此扇形的弧長為 2π cm，扇形的面積是 3π cm2．（結果保留π）

41、 考點：扇形面積的計算；弧長的計算． 專題：計算題． 分析：分別根據(jù)弧長公式和扇形的面積公式進行計算即可． 解答：解：由題意得，扇形的半徑為3cm，圓心角為120°， 故此扇形的弧長為：=2π，扇形的面積==3π． 故答案為：2π，3π． 點評：此題考查了扇形的面積計算及弧長的計算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握弧長及扇形的面積計算公式，難度一般． 21.（2012?廣東）如圖，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是 π （結果保留π）． 考點：扇形面積

42、的計算；平行四邊形的性質． 分析：過D點作DF⊥AB于點F．可求?ABCD和△BCE的高，觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積，計算即可求解． 解答：解：過D點作DF⊥AB于點F． ∵AD=2，AB=4，∠A=30°， ∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB-AE=2， ∴陰影部分的面積： 4×1--2×1÷2 =4-π-1 =3-π． 故答案為：3-π． 點評：考查了平行四邊形的性質，扇形面積的計算，本題的關鍵是理解陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積． 22. （2012?貴港）如圖，

43、在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC為直徑的半圓O與AB、AC分別交于點D、E，則圖中陰影部分面積之和等于 π． （結果保留π）． 考點：扇形面積的計算；三角形內角和定理． 分析：根據(jù)三角形內角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=130°，利用半徑相等得到OB=OD，OC=OE，則∠B=∠ODB，∠C=∠OEC，再根據(jù)三角形內角和定理得到∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C， 則∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°，圖中陰影部分由兩個扇形組成，它們的圓心角的和為100°，半徑為3，然后根據(jù)

44、扇形的面積公式計算即可． 解答：解：∵∠A=50°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=130°， 而OB=OD，OC=OE， ∴∠B=∠ODB，∠C=∠OEC， ∴∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C， ∴∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°， 而OB=BC=3， ∴S陰影部分==π． 故答案為π． 點評：本題考查了扇形面積的計算：扇形的面積= （n為圓心角的度數(shù)，R為半徑）．也考查了三角形內角和定理． 23.（2012?涼山州）如圖，小正方形構成的網絡中，半徑為1的⊙O在格點上，則圖中陰影部分兩個小扇形的面

45、積之和為 （結果保留π）． 考點：扇形面積的計算． 分析：先根據(jù)直角三角形的性質求出∠ABC+∠BAC的值，再根據(jù)扇形的面積公式進行解答即可． 解答：解：∵△ABC是直角三角形， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵兩個陰影部分扇形的半徑均為1， ∴S陰影==． 故答案為：． 點評：本題考查的是扇形的面積及直角三角形的性質，熟知扇形的面積公式是解答此題的關鍵． 24．（2012?攀枝花）底面半徑為1，高為 的圓錐的側面積等于 2π ． 考點：圓錐的計算． 分析：由于高線，底面的半徑，母線正好組成直角三角形，故母線長可由勾股定理求得

46、，再由圓錐側面積= 底面周長×母線長計算． 解答：解：∵高線長為，底面的半徑是1， ∴由勾股定理知：母線長==2， ∴圓錐側面積=底面周長×母線長=×2π×2=2π． 故答案為：2π． 點評：本題考查圓錐的側面積表達公式應用，需注意應先算出母線長． 25．（2012?黔西南州）已知圓錐的底面半徑為10cm，它的展開圖的扇形的半徑為30cm，則這個扇形圓心角的度數(shù)是 120° ． 考點：圓錐的計算． 分析：先計算出圓錐的底面圓的周長=2π?10=20π，再根據(jù)圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長得到弧

47、長為20π，半徑為30，然后利用弧長公式得到方程，解方程即可． 解答：解：∵底面半徑為10cm， ∴圓錐的底面圓的周長=2π?10=20π， ∴20π=， ∴α=120°． 故答案為120°． 點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長． 26．（2012?宿遷）如圖，SO，SA分別是圓錐的高和母線，若SA=12cm，∠ASO=30°，則這個圓錐的側面積是 72π cm2． 考點：圓錐的計算． 分析：首先根據(jù)SA=12cm，∠ASO=30°求得圓錐的底面半徑OA，然后利用圓錐的

48、側面積的計算公式進行計算即可． 解答：解：∵SA=12cm，∠ASO=30°， ∴AO=SA=6cm ∴圓錐的底面周長=2πr=2×6π=12π， ∴側面面積=×12π×12=72πcm2． 故答案為72π． 點評：本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解． 27．（2012?孝感）把如圖所示的長方體材料切割成一個體積最大的圓柱，則這個圓柱的體積為 3000π cm3（結果不作近似計算）． 考點：圓柱的計算． 分析：首先求得其底面內切圓的半徑，然后計算其面積，利用底面積乘以高等于體積計算體積即可． 解答：解：∵底面是邊長為20cm的

49、圓， ∴其內切圓的半徑為10cm， ∴其底面積為100πcm2， ∴其體積為100π×30=3000π（cm3）． 故答案為3000π． 點評：本題考查了圓柱的計算，解題的關鍵是知道如何切割成一個體積最大的圓柱． 三、解答題 28.（2012?岳陽）如圖所示，在⊙O中， ，弦AB與弦AC交于點A，弦CD與AB交于點F，連接BC． （1）求證：AC2=AB?AF； （2）若⊙O的半徑長為2cm，∠B=60°，求圖中陰影部分面積． 考點：扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質． 專題：幾何綜合題． 分析：（1

50、）由，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似，根據(jù)相似得比例可得證； （2）連接OA，OC，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，由∠B為60°，求出∠AOC為120°，過O作OE垂直于AC，垂足為點E，由OA=OC，利用三線合一得到OE為角平分線，可得出∠AOE為60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的長，進而求出AC的長，由扇形AOC的面積-△AOC的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰

51、影部分的面積． 解答：（1）證明：∵， ∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF， ∴△ACF∽△ABC， ∴=，即AC2=AB?AF； （2）解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，垂足為點E， 如圖所示： ∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°， 又OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°， 在Rt△AOE中，OA=2cm， ∴OE=OAcos60°=1cm， ∴AE==cm， ∴AC=2AE=2cm， 則S陰影=S扇形OAC-S△AOC=-×2×1=（-）cm2． 點評：此題考查了扇形面積的求法，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，弧、圓心角及弦之間的關系，等腰三角形的性質，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．