湖南省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題升級(jí)訓(xùn)練8 三角恒等變換及解三角形 理

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1、專題升級(jí)訓(xùn)練8 三角恒等變換及解三角形 (時(shí)間：60分鐘 滿分：100分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分) 1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝∶4∶，則△ABC是( )． A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 2．在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，則sin A的值是( )． A. B. C. D. 3．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是( )． A．(1

2、，) B．(，) C．(，2) D．(1,2) 4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，則sin(B＋C)＝( )． A. － B. C．－ D. 5．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，則2等于( )． A．2 B．3 C．4 D．6 6．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝( )． A. B．－ C. D．－ 二、填空題(本大題共3小題，每小題6分，共18分) 7．在△ABC中，C為鈍角，＝

3、，sin A＝，則角C＝__________，sin B＝__________. 8．已知tan＝2，則的值為________． 9．已知sin α＝＋cos α，且α，則的值為__________． 三、解答題(本大題共3小題，共46分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10．(本小題滿分15分)(2012·湖南瀏陽一中模擬，17)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若＝k(kR)． (1)判斷△ABC的形狀； (2)若c＝，求k的值． 11．(本小題滿分15分)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里

4、/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 12．(本小題滿分16分)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n. (1)求角B的大??； (2)若b＝1，求△ABC面積的最大值． 參考答案 1. 答案：C 解析：依題意，由正弦定理得a∶b∶c＝∶4∶，令a＝，則最大角為C，cos C＝＜0，所以△ABC是鈍角三角形，選擇C. 2. 答案：D 解析：根據(jù)余弦定理得b＝＝7，根據(jù)正弦定理＝，解得si

5、n A＝. 3. 答案：C 解析：由三角形有兩解的充要條件得asin 60°＜＜a，解得＜a＜2.故選C. 4. 答案：B 解析：b2＋c2－a2＝bccos A＝＝，sin(B＋C)＝sin A＝. 5. 答案：C 解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝，cos αsin β＝， ∴＝＝×12＝5， ∴原式＝log52＝4. 6. 答案：C 解析：根據(jù)條件可得α＋，－， 所以sin＝，sin＝， 所以cos ＝cos ＝coscos＋s

6、insin ＝×＋×＝. 7. 答案：150° 解析：由正弦定理知＝＝， 故sin C＝. 又C為鈍角，所以C＝150°.sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 8. 答案： 解析：∵tan＝2， ∴＝2， ∴tan x＝. ∴＝＝＝＝. 9. 答案：－ 解析：∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝，即2sin αcos α＝. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋＝. ∵α， ∴sin α＋cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝. 則＝＝＝＝－. 10. 解：(1)∵＝cbc

7、os A，＝cacos B， 又， ∴bccos A＝accos B. ∴sin Bcos A＝sin Acos B，即sin Acos B－sin Bcos A＝0. ∴sin(A－B)＝0. ∵－π＜A－B＜π，∴A＝B. ∴△ABC為等腰三角形． (2)由(1)知a＝b， ∴＝bccos A＝bc·＝. ∵c＝，∴k＝1. 11. 解：(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，

8、解得BC＝28. ＝14(海里/時(shí))，所以漁船甲的速度為14海里/時(shí)． (2)方法1：在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 方法2：在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由余弦定理，得cos α＝， 即cos α＝＝. 因?yàn)棣翞殇J角， 所以sin α＝＝＝. 12. 解：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)＝cos 2B， 2sin Bcos B＝cos 2B，sin 2B＝cos 2B，易知cos 2B≠0， ∴tan 2B＝. ∵0＜B＜，則0＜2B＜π，∴2B＝.∴B＝. (2)∵b2＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2＝1＋ac. ∵a2＋c2≥2ac，∴1＋ac≥2ac. ∴ac≤＝2＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c取等號(hào)． ∴S＝acsin B＝ac≤，即△ABC面積的最大值為.