安徽省宿州市教研室2021屆高三數(shù)學(xué)二輪、三輪總復(fù)習(xí) 特色專題 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

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1、 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第一單元：考點梳理、熱點探究： 一、考點梳理： 1. 函數(shù)及其表示： （1）函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系。兩個函數(shù)當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一個函數(shù)，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)是同一個函數(shù). （2）函數(shù)的表示：列表法、圖像法、解析式法. 2. 函數(shù)的性質(zhì)： （1）單調(diào)性是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性. 判定函數(shù)的單調(diào)性常用定義法、圖像法及導(dǎo)數(shù)法. （2）函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖像的對稱性，是函數(shù)的整體特性.利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分（一半）區(qū)間上，是簡化問題的一種途徑

2、. （3）函數(shù)的周期性反映了函數(shù)圖像的重復(fù)性，在周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問題中，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號作用. 3. 基本初等函數(shù)： （1）冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個方面考查： ①的正負：時，圖像過原點和（1,1），在第一象限的圖像上升；時，圖像不過原點，在第一象限的圖像下降. ② 曲線在第一象限的凹凸性：時，曲線下凸；時，曲線上凸；時，曲線下凸. （2）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分兩種情況，當時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù). 4. 函數(shù)的零點： 確定函數(shù)零點的常用方法： （1）解方程判

3、定法，方程易解時用此法； （2）利用零點存在的判定定理； （3）利用數(shù)形結(jié)合，尤其是那些方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時多以數(shù)形結(jié)合法求解. 5. 導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用： （1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： ① 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即. ② 曲線在點處的切線方程為. （2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. （3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）問題 ① 若在附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值；若在附近左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值. ② 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得

4、. 二、考點、熱點探究 1. 考情報告： 題 型 2011年 2012年 2013年 小 題 理 科： 第3題：函數(shù)的奇偶性與求值. 第10題：函數(shù)的圖像. 文科： 第4題：函數(shù)的解析式. 第10題：函數(shù)的圖像. 理科： 第2題：函數(shù)解析式. 文科： 第3題：對數(shù)計算. 第13題：函數(shù)的單調(diào)性 理科： 第4題：函數(shù)單調(diào)性. 第8題：函數(shù)的圖像. 第10題：函數(shù)方程的實根個數(shù). 文科： 第8題：函數(shù)圖像. 第10題：函數(shù)方程的實根個數(shù). 大 題 理科： 第16題：導(dǎo)數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求極值點，參

5、數(shù)的取值范圍） 文科： 第17題：導(dǎo)數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求極值點，參數(shù)的取值范圍） 理科： 第19題：導(dǎo)數(shù)（指數(shù)、分式函數(shù)型，求最值和參數(shù)） 文科： 第17題：導(dǎo)數(shù)（分式函數(shù)型，求最值，根據(jù)切線方程求參數(shù)） 理科第17題，文科第20題 含參變量的二次函數(shù)，解不等式求解集區(qū)間長度，利用導(dǎo)數(shù)求最值. 2. 考向預(yù)測： 縱觀近三年高考安徽卷，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的考查主要是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性；函數(shù)圖像的應(yīng)用；結(jié)合導(dǎo)數(shù)和不等式知識求切線方程、求函數(shù)解析式、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間、求參數(shù)范圍、求函數(shù)的極值和最值。其題型既有選擇題、填空題，也有解答題。預(yù)測2014年關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的

6、命題趨勢，仍然是難易結(jié)合，有2~4個小題，1個大題，小題以概念、圖像性質(zhì)及運算為主，重點考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；函數(shù)圖象的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識。大題的函數(shù)背景是以為底的對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)或二次函數(shù)代數(shù)運算的形式的綜合題型，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點，逆求參數(shù)取值范圍或證明不等式。涉及的主要思想方法是函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想。 第二單元：沙場點兵、實戰(zhàn)演練 1. 已知函數(shù)， 其中為常數(shù)． （1）當函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為1時，求函數(shù)在上的最小值； （2）若函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，求的取值范圍． 2. 定義

7、在上的函數(shù)同時滿足以下條件： ①在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在處的切線與直線垂直. （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)，若存在，使，求實數(shù)的取值范圍. 3. 已知函數(shù)為常數(shù),)是上的奇函數(shù). （1）求的值; （2）討論關(guān)于的方程的根的個數(shù). 4. 設(shè)函數(shù)，其中. （1）當時，求的極值點； （2）證明在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍. 5. 某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)．已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：(單位：萬美元) 項目類別 年固定成本 每件產(chǎn)品成本 每件產(chǎn)品

8、銷售價 每年最多可生產(chǎn)的件數(shù) A產(chǎn)品 20 10 200 B產(chǎn)品 40 8 18 120 其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計．另外，年銷售件B產(chǎn)品時需上交萬美元的特別關(guān)稅．假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去． (1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域； (2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規(guī)劃． 6. 設(shè)函數(shù) （1）設(shè)為偶數(shù)，， ，求的最大值和最小值； （2）設(shè)， ，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點. 7（201

9、2年北京高考）已知函數(shù)，. (1) 若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求的值； （2） 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值． 8 （2013年安徽高考）設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間． （1）求I的長度(注：區(qū)間的長度定義為)； （2）給定常數(shù)，當時，求I長度的最小值． 9. 已知函數(shù)在處取得極值． （1）求函數(shù)的解析式； （2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍． 10. 已知函數(shù)和．其中且． （1）若函數(shù)與的圖像的一個公共點恰好在軸上，求的值； （2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當時，． 11. 設(shè)函數(shù)

10、，. （1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）設(shè)，，若直線軸，求 兩點間的最短距離. 12. 已知函數(shù)． （1） 當時，求證：； （2） 在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的范圍 13. 已知，. （1）求函數(shù)的最小值； （2）對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）證明：對一切，都有成立. 14（2013年福建高考）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）． （1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值； （2）求函數(shù)的極值； （3）當時，若直線：與曲線沒有公共點，求的最大值． 參 考 答 案 1. 解：(1)， 由題意可知，解得. 故，

11、 ∴， 由 ，得. 于是可得下表： 2 3 － 0 ＋ 遞減 遞增 ∴. (2) （）， 由題意可得方程有兩個不等的正實根，不妨設(shè)這兩個根為，并令， 則， 解得. 故的取值范圍為. 2. 解：（1）， ∵ 在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， ∴， () 由是偶函數(shù)得：， 又在處的切線與直線垂直，， 代入()得：，即. （2）由已知得：若存在，使， 即存在，使. 設(shè)，， 則，

12、 令， ∵， ∴， 當時，，∴在上為減函數(shù)， 當時，，∴在上為增函數(shù)， ∴在上有最大值. 又，， ∴最小值為. 于是有為所求. 3. 解:(1)由是的奇函數(shù),則， 從而可求得. (2) 由, 令,則, 當時, 在上為增函數(shù); 當時, 在上為減函數(shù); 當時, 而,結(jié)合函數(shù)圖象可知: 當,即時,方程無解; 當,即時,方程有一個根; 當,即時,方程有兩個根. 4. 解：對求導(dǎo)得 ① （1）若，由 綜合①,可知

13、 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以,是極大值點,是極小值點. （2）若為上的單調(diào)函數(shù)，又，所以當時，即在上恒成立。 （1）當時，在上恒成立； （2）當時，拋物線開口向上，則在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是，即，所以。 綜合（1）（2）知的取值范圍是。 5. 解：(1) 由年銷售量為件，按利潤的計算公式， 有生產(chǎn)A，B兩產(chǎn)品的年利潤分別為 （）， （）． (2) 因為，所以， 函數(shù)在上是增函數(shù)

14、， 所以當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤， 且 (萬美元)． 又（）， 所以當時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤，且 (萬美元)． 因為 所以當時，可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件； 當時，生產(chǎn)A產(chǎn)品或生產(chǎn)B產(chǎn)品均可(投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或生產(chǎn)B產(chǎn)品100件)； 當時，可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件． 6.解：(1)由題意知 ，即，① ，即，② ①×2＋②得 ， 當時，； 當時，， 所以的最小值為－6，最大值為0. (2) ，時，. ∵ ， ∴ 在內(nèi)存在零點． 又當時，， ∴在上是單調(diào)遞增的， ∴在內(nèi)存在唯一零點． 7. 解：(1)，. 因為曲線與曲線在它們的交

15、點處具有公共切線， 所以，且． 即，且， 解得. (2) 記．當時， ， . 令，得，. 當時，與的情況如下： ＋ 0 － 0 ＋ 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為. 當，即時， 函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上的最大值為2. 當，且，即時， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上的最大值為. 當，即時， 函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 又因， 所以在區(qū)間上的最大值為. 8. 解：(1)因為方程有兩個實根， 故的解集為． 因

16、此區(qū)間，故的長度為. (2)設(shè)，則． 令，得.由于，故 當時，，單調(diào)遞增； 當時，，單調(diào)遞減． 所以當時，的最小值必定在或處取得． 而， 故． 因此當時，在區(qū)間上取得最小值. 9. 解：(1)，依題意，， 即，解得. ∴ . (2) 由(1)知， ∵ 曲線方程為， ∴ 點不在曲線上． 設(shè)切點為，則點的坐標滿足. ∵， ∴切線的斜率為， 整理得. ∵ 過點可作曲線的三條切線， ∴ 關(guān)于的方程有三個實根． 設(shè)，則， 由，得. ∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． ∴ 函數(shù)的極值點為. ∴關(guān)于的方程有三個實根的充要條件是， 解得. 故所求實數(shù)的取值范

17、圍是(－3，－2)． 10. 解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點坐標為， 又∵點也在函數(shù)的圖像上，∴ . 而，∴ . （2）由題意知， ∵ ， ∴ ∴時，，即. 又， ，且， ∴ ∴， 綜合可知，. 11. 解：（1）時，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增； （2）因為，所以 所以兩點間的距離等于， 設(shè)，則， 記，則， 所以， 所以在上單調(diào)遞增，所以 所以，即兩點間的最短距離等于3. 12. 解：(1)證明：設(shè)， 則.令，則，易知在處取到最小值， 故，即. (2) 由得，即. 令（），則. 令（）

18、， 則， 故在上單調(diào)遞增，所以. 因為，所以，即在上單調(diào)遞增， 則，即，所以的取值范圍為． 13. 解：(1)， 當時，，單調(diào)遞減； 當時，，單調(diào)遞增． 所以的最小值為. (2) ，則. 設(shè)，則， ① 當時，，單調(diào)遞減； ② 當時，，單調(diào)遞增， 所以.因為對一切，恒成立， 所以，即a的取值范圍為. (3) 證明：問題等價于證明（）. 由(1)可知（）的最小值是，當且僅當時取到． 設(shè)（），則，易知， 從而對一切，都有成立． 14. 解：（1） ， ∵ 曲線在點處的切線平行于軸， ∴ ∴ . （2） ① 當時，，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值

19、． ② 當時，令，得. 當時，；當時，， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故在處取得極小值， 且極小值為，無極大值． 綜上，當時，函數(shù)無極值； 當時，函數(shù)在處取得極小值，無極大值． （3）當時，. 直線：與曲線沒有公共點， 等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解， 即關(guān)于的方程： (*)在上沒有實數(shù)解． ① 當時，方程(*)可化為，在上沒有實數(shù)解． ② 當時，方程(*)化為. 令，則有. 令，得， 極值表如下 －1 － 0 ＋ 遞減 遞增 當時，， 從而的取值范圍為. 所以當時，方程(*)無實數(shù)解， 解得的取值范圍是． 綜合①②，得的最大值為1. 16