《等邊三角形的判定》教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、《等邊三角形的判定》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、概述 1．教材選自北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第一章第一節(jié)第4課時(shí)內(nèi)容； 2．本節(jié)課所需課時(shí)為一課時(shí)，45分鐘； 3. 等邊三角形不僅是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，也是今后證明角相等、線段相等及兩直線垂直的重要依據(jù).因此本節(jié)內(nèi)容在教材中，處于非常重要的地位和承前啟后的作用. 二、教學(xué)目標(biāo)分析 知識(shí)與技能 理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問題。 過程與方法 ①經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維； ②經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30o角

2、的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力. 情感態(tài)度價(jià)值觀 ①積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲； ②在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心. 三、教學(xué)重、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) ①等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明； ②含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明. 教學(xué)難點(diǎn) 含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明. 四、學(xué)生特征分析 1．學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)概念和性質(zhì)，并具備了證明兩個(gè)三角形全等的能力，能夠運(yùn)用它們證明等邊三角形的判定.剛進(jìn)入初二下學(xué)期的學(xué)生觀察、操作、猜想能力較

3、強(qiáng)，動(dòng)手拼出等邊三角形后，學(xué)生對(duì)它們有一定的感性理解．但演繹推理、歸納、運(yùn)用數(shù)學(xué)意識(shí)的思想比較薄弱, 所以教師需引導(dǎo)學(xué)生思維的廣闊性、敏捷性、結(jié)密性、靈活性. 2．八年級(jí)學(xué)生的抽象思維趨于成熟，形象直觀思維能力較強(qiáng)，具有一定的獨(dú)立思考、實(shí)踐操作、合作交流、歸納概括等能力，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理論證，能積極參與討論；但自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進(jìn)一步加強(qiáng)和引導(dǎo). 3．學(xué)生的求知欲比較強(qiáng)，表現(xiàn)欲強(qiáng)，對(duì)探究幾何圖形的好奇心也比較強(qiáng)，在本節(jié)課的教學(xué)中，可讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā)，參與新知識(shí)的產(chǎn)生過程，在實(shí)踐操作、自主探索、思考討論、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，形成數(shù)學(xué)思想

4、和方法. 五、教學(xué)方法分析 1.教法：演示、探究、啟發(fā) 即從等邊三角形的定義入手，引發(fā)學(xué)生通過多種途徑對(duì)等邊三角形的判定進(jìn)行探究與證明，從角的角度出發(fā)，也考慮從邊的角度出發(fā)，通過一個(gè)個(gè)問題的解決，激發(fā)學(xué)生探索問題的欲望，在分析問題和解決問題的過程中獲得更多的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn). 2.學(xué)法：探究、討論、合作 即通過合作、探討、拼圖等實(shí)際操作，探索和發(fā)現(xiàn)等邊三角形的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理，在小組學(xué)習(xí)中通過相互交流的方式學(xué)會(huì)探索問題和解決問題的基本方法與策略. 六、教學(xué)資源與工具設(shè)計(jì) 1．本節(jié)課采用多媒體課件； 2．北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教材《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)； 3

5、．教具和學(xué)具：投影儀、白板、白板筆、紙板、三角板、等邊三角形等. 七、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(45分鐘) （一）復(fù)習(xí)鞏固（2分鐘） 借助名片進(jìn)行自我介紹，由此引出等邊三角形的名片（不完整），邀請(qǐng)學(xué)生為等邊三角形代言，從而帶領(lǐng)大家復(fù)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并引出本節(jié)課的課題：等邊三角形的判定. 【設(shè)計(jì)意圖】 從自我介紹出發(fā)，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，使學(xué)生進(jìn)入情境，引入新課． （二）探究活動(dòng)（一）（重點(diǎn)，14分鐘） 帶領(lǐng)學(xué)生回顧等邊三角形的定義，確定該定義可以作為等邊三角形的判定，并了解當(dāng)它作為判定時(shí)，幾何語言該如何書寫.緊接著進(jìn)一步提問：除了它的定義能作為判定以外，是否還有其他的判

6、定方法呢？ 幻燈片展示： 1.一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？ 2.一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？ 學(xué)生以小組為單位，在充分討論的基礎(chǔ)上得出猜想：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形. 教師：我們的猜想到底對(duì)不對(duì)呢？如果是對(duì)的，怎么去說明？ 學(xué)生：通過證明. 幻燈片展示： 求證：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 已知：△ABC 中，∠A =∠B =∠C． 求證：△ABC 是等邊三角形． 學(xué)生很容易想到利用“等角對(duì)等邊”可以很快證明△ABC 中AB =BC =CA，從而得到△ABC 是等邊三角形，在此

7、，要讓學(xué)生明確是利用等邊三角形的定義使該命題得證的. 得到定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.以及它的幾何語言：在△ABC中，∵∠A =∠B =∠C， ∴△ABC是等邊三角形. 幻燈片展示： 求證：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形. 該命題里60°的角并沒有明確是哪一個(gè)角，所以證明此命題時(shí)，已知和求證由學(xué)生思考和回答，便很自然地引出了這個(gè)問題：60°的角到底是哪一個(gè)角呢？答案是既可以是頂角，也可以是底角，所以已知和求證有以下兩種情況： 已知：如圖，在△ABC中 ，AB =AC ，∠A =60°. 求證：△ABC 是等邊三角形．

8、 已知：如圖，在△ABC中 ，AB =AC ，∠B=60°. 求證：△ABC 是等邊三角形． 這兩種情況需要分別證明。證明過程由學(xué)生回答，可以用定義，也可以用剛才得到的定理。 得到定理：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.以及它的幾何語言：∵AB =AC，∠A =60 °(或∠B=60°或∠C =60°)，∴△ABC 是等邊三角形. 教師對(duì)以上各方法進(jìn)行歸納： 等邊三角形的判定方法有以下三種： 定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形. 定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 定理：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

9、 【設(shè)計(jì)意圖】 通過對(duì)兩個(gè)命題的邏輯證明，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)上任何猜想都是需要經(jīng)過證明才能說明其正確性，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言有條理地表達(dá)思維過程，發(fā)展推理能力，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)方法. （三）快問快答（4分鐘） 1.已知△ABC 的三個(gè)外角都相等，且 AB=3cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（ ）. A.6cm B.8cm C.9cm D.10cm 2.已知△ABC的三邊長(zhǎng) a、b、c 滿足∣a -b∣+( b -c) 2 = 0，則該三角形是_______三角形. 3.如圖，已知OA=a，P是射

10、線ON上一動(dòng)點(diǎn)， ∠AON = 60°， 當(dāng)OP =_____時(shí)， △AOP為等邊三角形. 答案：1。C ；2。等邊；3。A 【設(shè)計(jì)意圖】 鞏固新知，觀察學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)的掌握情況.練習(xí)題目多樣，從不同的角度幫助學(xué)生加深對(duì)判定方法的理解.以嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度思考數(shù)學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力、實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). （四）探究活動(dòng)（二）（重難點(diǎn)，8分鐘） 幻燈片展示： 做一做：用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說說你的理由. 學(xué)生再次以小組為單位，進(jìn)行拼圖、討論，得出結(jié)論：在直角

11、三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半． 同前面的猜想一樣，這個(gè)結(jié)論同樣需要進(jìn)行證明。 幻燈片展示： 求證：在直角三角形中, 如果一個(gè)銳角等于30°,那么 它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 已知：如圖 ， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°. 求證： BC＝AB. 該命題的證明相比前面兩個(gè)命題的證明更難，但是從剛才的拼圖活動(dòng)中是可以得到啟發(fā)的：需要通過作輔助線構(gòu)造出一個(gè)等邊三角形，而構(gòu)造等邊三角形的方法有多種，課堂上僅以其中一種為例進(jìn)行精講： 證明：如圖，延長(zhǎng) BC 至點(diǎn) D，使 CD＝ BC，連接 AD. ∵∠A

12、CB ＝ 90°，∠BAC＝30°. ∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°. 又∵ AC ＝AC， ∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）. ∴△ABD是等邊三角形（有一 個(gè)角等于60°的等腰三角形 是等邊三角形）. ∴BC＝BD＝AB. 得到定理：在直角三角形中, 如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 以及它的幾何語言： 在△ABC 中， ∵∠C =90 °，∠A =30 °，∴ BC = AB . 【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐引發(fā)學(xué)生思考，從而得出結(jié)論，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。 （五）典例

13、精析 幻燈片展示： 求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半. 已知：如圖，在 △ ABC 中，AB = AC， ∠B = 15°，CD是腰AB上的高. 求證：CD = AB. 分析問題： 教師：從題目的已知條件出發(fā)，我們能很快得到什么？ 學(xué)生：∠ACB = 15°，∠DAC = 30°。 教師：題目要求證的是CD與AB這兩條線段之間的關(guān)系，很顯然，這兩條線段并非同一個(gè)三角形里的兩條邊，我們能否把這兩條線段當(dāng)中的一條用與之相等的替換掉呢？ 學(xué)生：可以把AB用AC替換掉。 教師：這樣一來，咱們只需要證明CD =AC了，能證到嗎？ 學(xué)生：能，∠D

14、 = 90°，∠DAC = 30°，可以用剛才得到的定理去證明。 證明過程可讓一名學(xué)生板書，其他學(xué)生練習(xí)本上書寫。 【設(shè)計(jì)意圖】 發(fā)展學(xué)生合情推理能力和演繹推理能力，活學(xué)活用，培養(yǎng)學(xué)生正確應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)的應(yīng)用能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，參與意識(shí)，就本例題而言，必須使學(xué)生學(xué)會(huì)含30°角的直角 三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，突出本節(jié)課的重點(diǎn). （六）開心刮刮樂 學(xué)生可從四張獎(jiǎng)票中，任選一張刮開，其中三張可獲得答題機(jī)會(huì)，答對(duì)即中獎(jiǎng)，一張沒有答題機(jī)會(huì)。題目分別如下： 1．如圖，△ABC中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，點(diǎn) P 是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 AP 的長(zhǎng)不可能是( ).

15、 A．3.5 B. 4.2 C．5.8 D. 7 2．如圖，在△ABC中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD是 △ABC 的高，且BD =1，則AD =_______. 3．如圖，已知在△ABC 中，AB =AC，∠C =30°,AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(　 　). A．BD = CD B．BD = 2CD C．BD = 3CD D．BD = 4CD 答案分別為：1. D； 2. 3； 3. B. 【設(shè)計(jì)意圖】 本環(huán)節(jié)的設(shè)置是為了讓學(xué)生熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并能靈活運(yùn)

16、用。用刮獎(jiǎng)票的形式呈現(xiàn)，增強(qiáng)了課堂的趣味性，讓學(xué)生能以更高的熱情投入到課堂中來。 （七）角色互換 幻燈片展示： 如圖，點(diǎn)P、M、N分別在等邊三角形 ABC 的 各邊上，且MP ⊥ AB ，NM ⊥ BC ，PN ⊥ AC. （1）求證：△PMN是等邊三角形. （2）若AB＝9，求CM的長(zhǎng)度． 【設(shè)計(jì)意圖】 該題將本節(jié)課兩大塊知識(shí)全部融合，是本節(jié)課定理的綜合運(yùn)用，難度較大。為了突破難點(diǎn)，設(shè)計(jì)的兩個(gè)問題層層推進(jìn)，讓學(xué)生有、逐步實(shí)現(xiàn)由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡，調(diào)動(dòng)學(xué)生思考，使學(xué)生容易理解，學(xué)會(huì)應(yīng)用自己已有的知識(shí)來解決問題，環(huán)環(huán)相扣，將感性的知識(shí)轉(zhuǎn)化為理性，突破難點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)，學(xué)生

17、學(xué)習(xí)積極性高漲，氛圍也十分濃厚. （八）課堂小結(jié) 1.這節(jié)課我們研究了哪些問題？ 2.我們?cè)谘芯窟@些問題時(shí)，經(jīng)歷了怎樣的過程？ 3.通過這個(gè)研究過程，你有什么感受和體會(huì)？ 【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識(shí)、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊(yùn)含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。 （九）課后作業(yè) 1.必做：完成教材P12-13習(xí)題、《作業(yè)本》上相應(yīng)的練習(xí)； 2.選做：探索定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．”的逆命題是否成立，如果成立，請(qǐng)給予證明. 【設(shè)計(jì)意圖】 必做題的設(shè)計(jì)是為了讓所有學(xué)生將本節(jié)課所學(xué)知識(shí)加以鞏固，而選做題是提供給學(xué)有余力的學(xué)生，發(fā)展逆向思維以及邏輯推理能力。分層作業(yè)，讓不同層次的學(xué)生各有所得。