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1、第6章 IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計 6.1 概述 6.1.1 IIR 數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù) 我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為： （6.1）,,進(jìn)行z變換，可得： 于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： (6.2),,,6.1.2 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 對(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項式進(jìn)行因式分解，可以得到： (6.3) 其中ci 為零點而di為極點。H(z)的設(shè)計就是要確定系數(shù)、或者零極點、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。,,,,,,1. 零極點位
2、置累試法 IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點處出現(xiàn)峰值、在零點處出現(xiàn)谷值, 因此可以根據(jù)此特點來設(shè)置H(z)的零極點以達(dá)到簡單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達(dá)到要求時，通過多次改變零極點的位置來達(dá)到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設(shè)計。,2. 借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器 模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計方法，很多常用濾波器不僅有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計公式，而且設(shè)計參數(shù)已圖表化，設(shè)計起來方便準(zhǔn)確。,,,,,,,,,,,,而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的, 因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)
3、計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，較多地采用了這種方法。,,,,,3. 用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來計算誤差和誤差梯度等。,第二步是最優(yōu)化過程，這個過程的開始是賦予所設(shè)計的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達(dá)到最小值時，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計過程也就到此完成。,,,,,,,,,,,,,這種方法能夠精確地設(shè)計許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計算很復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的迭代運算，故必須借
4、助于計算機(jī)，因而優(yōu)化設(shè)計又叫做IIR濾波器的計算機(jī)輔助設(shè)計(CAD)。 第一種方法的算法簡單、設(shè)計粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。,,,,,,6.1.3 借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。,,,,6.2 模擬低通濾波特性的逼近 模擬濾波器的設(shè)計包括逼近和綜合兩大部分
5、，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。,,,,,,模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(j)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(j)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)。 圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個理想的模擬低通濾波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|Ha(j)|2來給出的。,,c 是截止頻率，當(dāng)0c時，|Ha(j)|2 =0，是阻帶。圖6.1中的實的曲線表示一個實際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。 通常采
6、用的典型逼近有Butterworth逼近、 Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近。,,,,,,6.2.1 Butterworth低通濾波特性的逼近 對于Butterworth濾波器有： （6.4） 滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B 型濾波器的階次，為截止頻率。,,6.2.1.1 B型濾波特性 1. 最平坦函數(shù) B型濾波器的幅頻特性是隨增大而單調(diào)下降的。在 =0附近以及 很大時幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。,,,2. 3db帶寬 由(6.4)式可知，當(dāng)=
7、c 時， = ，而 因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點。,,,,,,,,圖6.1 Butterworth低通濾波器的平方幅度特性,3. N的影響 在通帶內(nèi)，01，故N越大， 隨增大而下降越快。,,,因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過c 處的半功率點。離c越近，幅頻特性與理想特性相差越大。,6.2.1.2 由得到Ha(s), B型濾波器的極點 由于Ha(s)是s的實系數(shù)有理函數(shù)，故有： ，令s=j, 則有： ， 而 (6.5) 由(6.4)式和(6.5)式有：
8、 用s代替上式中的j: (6.6),,,,,,,圖 6.2 階次N對B型特性的影響,,(6.6)式的極點為： p=0,1,,2N-1 作為 1的2N次方根，p 均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為/N ；它們關(guān)于實軸對稱，卻沒有一個在實軸上。顯然，將 的模乘上，再將其按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對稱，卻沒有一個在虛軸上，這就是說，2N個極點sp在s平面的左、右兩半平面各有N個。,,,,這2N個極點是Ha(s)Ha(-s)的極點，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個極點sk
9、（k=0,1,,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N 個極點-sk就正好是Ha(s)的極點。因此有： (6.8),,這個式子中的常數(shù) 是為了使(6.5)式滿足而加入的。 這N個極點s0、s1、、sN-1在s 平面的左半平面而且以共軛形式成對出現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時, 有一個在實軸上 (為 - )。,,,,6.2.1.3 一般情況下的B型低通濾波器,圖 6.3 一般情況下低通濾波器的設(shè)計指標(biāo),,,,,,此時，應(yīng)該將角頻率 標(biāo)稱化，通常以1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：=/1 。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為 1=1，并且在通帶有01，在過渡帶和阻帶則有 1。 以下為了方便起
10、見，仍用不帶撇的表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標(biāo)來確定。,,,,,（6.4）式可以寫成： (6.10) 當(dāng)=1=1時，上式為： (6.11) 令 (6.12) 則由(6.11)式可得：,,,,,,,,,當(dāng) 時有： (6.13) 故 (6.14) 由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求 得 。,,,,,6.4 沖激響應(yīng)不變法 本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何
11、求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。,6.4.1 沖激響應(yīng)不變法的變換方法 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？梢员硎緸椋? (6.62),,而且一般都滿足M
12、的系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)分解為(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以寫出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。,,,這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Ts ha(nTs)，此關(guān)系稱為沖激響應(yīng)不變準(zhǔn)則，由此準(zhǔn)則出發(fā)所得到的變換方法就叫做沖激響應(yīng)不變法。沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器保持了模擬濾波器的時域瞬態(tài)特性，這是這種變換方法的一大優(yōu)點。,6.4.2 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系 已經(jīng)知道，抽樣信號的頻譜 是原模擬信號的頻譜 的周期延拓，即 (6.67) 而 (6.68),,,,,其中 ，和 分別為數(shù)字角頻率和模擬角頻
13、率。也就是說，離散信號的頻譜既可表示為數(shù)字頻率的函數(shù)也可表示為模擬頻率的函數(shù)。又知道，對于離散信號的傅里葉變換，有： 或： (6.69) 由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有： (6.70),,,,,,(6.70)式左邊表示離散信號Tsx(n) 的頻譜，而Tsx(n) 是對模擬信號Ts的抽樣。 模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的頻譜Ha()(即前面的Ha(j))就是模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果對ha(t)抽樣，則由(6.70)式可知，有： (6.71),,令h(n) = Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，也就是以h
14、(n)為沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，于是由(6.71)式可得： (6.72）,,,圖 6.13 模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓,因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響 應(yīng) 是原來的模擬濾波器的頻率響 應(yīng) 的周期延拓。 由圖6.13可以看出，如果 被限制在 - 與 之間，則 在此區(qū)間內(nèi)與 完全一致。,,,,,,,,相反，如果 不被足夠地限帶，則 將產(chǎn)生混疊失真。采用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都會有程度不同的混疊失真，而且，這種方法不能用于高通濾波器和帶阻濾波器等需要保留高頻成分的變換，這是沖激響應(yīng)不變法的一大缺點。,,,6.4.
15、3 z平面與s平面的映射關(guān)系 對照(6.63)式和(6.66)式可知，s 平面的極點sk與z平面的極點 互相映射。將極點的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模擬s平面與數(shù)字z平面的映射關(guān)系，即： (6.73),,,令z=rej，s= +j，代入上式，得： ， 故有： （6.74） = Ts (6.75) (6.74)式表示了z平面的模r與s平面的實部之間的關(guān)系, 顯然有：當(dāng) =0, r= 1；當(dāng) 0, r 1；當(dāng) <0, r<1。,,,(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角與s平面的虛部之間的關(guān)
16、系。由(6.75)式還可以知道，s平面上 由-/Ts到/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上由-到的區(qū)域，即整個z平面；s平面上的水平線=-/Ts映射到z平面上的射線=-，而當(dāng)這條射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。,上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。,,圖 6.14 模擬復(fù)頻率 s 與數(shù)字復(fù)頻率 z 之間的映射關(guān)系,例6.6 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階 Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為f
17、s =1.2 kHz, 截止頻率為 =400 Hz。 解：此數(shù)字濾波器的截止頻率： c =2fc =2400=800 弧度/s 這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):,其中 ， ， 現(xiàn)在進(jìn)行部分分式分解，令 (*2),,,,,,可以得到： 根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：,,,,,上式中Ts =1/fs =1/1200（秒）。,,6.5 雙線性變換法 6.5.1 雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出 模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 可以變換 為： 這里為了方便說明，已令M=N。,,,由此式可以看出，模擬濾波
18、器的基本單元是積分器 ，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。 模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為： 則其沖激響應(yīng)為：,,,,設(shè)有一信號(t0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對的響應(yīng)為： 設(shè)0
19、差分方程： (6.78) 這樣，我們就將模擬積分器轉(zhuǎn)變成了數(shù)字網(wǎng)絡(luò)，上式就是此數(shù)字積分器的差分方程。對它進(jìn)行z變換，得：,,,,于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)： （6.79） 用此數(shù)字基本單元來代替模擬濾波器的基本單元1/s, 就可以得到與模擬濾波器性能相近的數(shù)字濾波器。,,由上面的推導(dǎo)有： 即： (6.80) 于是有： (6.81),,,,這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，則相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： (6.82),,6.5.2 s平面與z
20、平面的映射關(guān)系 用s=+j, z=rej 代入(6.81)式，可以得到： (6.83) (6.84),,,s平面 z平面 0，即右半平面 r1, 即單位圓外 =0，即虛軸 r=1, 即單位圓 <0，即左半平面 r<1, 即單位圓內(nèi),因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的映射是一一對應(yīng)的關(guān)系。,,圖 6.16 雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關(guān)系,6.5.3 頻率預(yù)畸變 下面討
21、論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率之間的關(guān)系。在(6.84)式中令 = 0 ，便可得到： 或 （6.85）,,,圖 6.17 與之間的非線性關(guān)系,與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對應(yīng)地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問題。 由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率與數(shù)字頻率之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；,但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照(6.85)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率
22、，再根據(jù)這些頻率指標(biāo)來設(shè)計模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率就會正好映射到所要求的位置上。,6.5.4 雙線性變換法的特點 1模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Ha() 無限帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。,2與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系=Ts不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，如果事先進(jìn)行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會使所設(shè)計的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。 3雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行
23、部分分式分解。,因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會產(chǎn)生相頻特性失真，所以若對數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴(yán)，則不宜采用這種變換方法。,最后必須強調(diào)說明一下用雙線性變換法來設(shè)計數(shù)字濾波器時各種頻率之間的關(guān)系。我們在考慮一個數(shù)字濾波器的頻域特性時，所采用的頻率變量可以是數(shù)字頻率，也可以是模擬頻率。模擬角頻率=2f，f是以赫茲(Hz)為單位的真正具有物理意義的頻率變量。與的關(guān)系為=Ts ，Ts為抽樣周期。,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) = ， 是的周期函數(shù)，以2為周期； 是的周期函數(shù)，周期為s =2/Ts 。上述這些關(guān)系與數(shù)字濾波器的設(shè)計方法無關(guān)。如果數(shù)字濾波器是用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的，則模擬濾波器的頻率變量也就是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量；如果數(shù)字濾波器是用雙線性變換法來設(shè)計的，那末模擬濾波器的頻率變量并不是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量。,,,,,我們在6.5.2 節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射關(guān)系實際上是被變換的模擬濾波器的復(fù)頻率s 與所得到的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的關(guān)系，(6.85)式中的也是此模擬濾波器的角頻率，并不是數(shù)字濾波器的模擬角頻率。為了便于區(qū)分，應(yīng)該將(6.85)式中的模擬濾波器角頻率用 來表示，即為： ；而數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率與其本身的模擬角頻率之間仍然是上面所述的那種線性關(guān)系，即有：=Ts。,,
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