概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第三章.ppt

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第三章.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第三章.ppt（90頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、chapter 3,1,第3章 多維隨機(jī)向量及其分布,3.1 多維隨機(jī)向量及其分布函數(shù) 3.2 離散型二維隨機(jī)向量 3.3 連續(xù)型二維隨機(jī)向量 3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 *3.5 條件分布 3.6 二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布 3.7 二維正態(tài)分布 *3.8 n維隨機(jī)向量,chapter 3,2,引例,,身高X,體重Y,chapter 3,3,3.1 多維隨機(jī)向量及其分布函數(shù),定義3.1 如果樣本空間中的樣本點(diǎn)同時(shí)對(duì)應(yīng)著n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，,Xn，以這n個(gè)隨機(jī)變量為分量的向量,稱為 n 維隨機(jī)向量(X1，X2，,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。,稱為 n 維隨機(jī)向量或n 元隨機(jī)變量.,下面主要討論二維隨機(jī)

2、向量.,一、 多維隨機(jī)向量的概念,chapter 3,4,二、隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù),1.二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù),稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)或X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,定義3.2 設(shè)有二維隨機(jī)向量(X,Y),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, y,記二元函數(shù),chapter 3,5,聯(lián)合分布函數(shù)的概率意義,,,,,,Y,o,(x, y),x,聯(lián)合分布函數(shù)的概率意義: F (x, y)表示平面上的隨機(jī)點(diǎn)(X, Y )落在以(x, y)為右上頂點(diǎn)的 無(wú)窮矩形中的概率。如下圖.,chapter 3,6,二維矩形區(qū)域概率的計(jì)算,利用概率加法的多除少補(bǔ)原理, 如圖所示,,,chapter 3,7,三、二維

3、隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),(2) F(x, y) 分別對(duì)x和y單調(diào)不減,即,對(duì)任意固定的y,當(dāng)x1

4、定的概率取這些值，則稱隨機(jī)向量（X,Y）為離散型二維隨機(jī)向量.,顯然，其中每個(gè)分量均為離散型隨機(jī)變量.,一、離散型二維隨機(jī)向量的概念,chapter 3,11,二、聯(lián)合概率函數(shù),定義3.4設(shè)離散型二維隨機(jī)向量（X，Y）的可能值 為(xi , yj)，其概率記為,或記為,稱之為（X，Y）的概率函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合概率函數(shù),或X與Y的聯(lián)合分布律。,即,chapter 3,12,聯(lián)合概率函數(shù)可用如下的表格來(lái)表示:,稱之為一維表.,,,,,(X,Y),P,chapter 3,13,稱之為二維表,,chapter 3,14,三、聯(lián)合概率函數(shù)的性質(zhì),類似一維隨機(jī)變量,二維隨機(jī)向量聯(lián)合概率函數(shù)有如下性質(zhì):

5、,chapter 3,15,對(duì)于集合 (xi ,yj) | i,j=1,2, 的任意一個(gè)子集A,則事件(X,Y)A的概率為,由上式，可得（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為,chapter 3,16,隨機(jī)向量(X,Y)中每一個(gè)隨機(jī)變量X、Y的概率函數(shù), 稱為關(guān)于 X、Y 的邊緣概率函數(shù).,四、邊緣概率函數(shù),X的概率函數(shù),Y的概率函數(shù),或記為,chapter 3,17,,,聯(lián)合概率與邊緣概率的關(guān)系,如下表,,,,,,,PY,PX,1,x1 x2 . xi . .,Y X,,p11 P21 .pi1,,,,,,邊緣分布,邊緣分布,chapter 3,18,即,同理，可證pjj=1,2, .,chapter

6、3,19,例1 二維兩點(diǎn)分布,設(shè)（X,Y）只?。?,0）和(1,1)兩個(gè)點(diǎn),且取(1,1)的概率為p,取(0,0)的概率為1-p, （X,Y）的分布如表所示.,X、Y均服從01分布。,也可列成二維聯(lián)合概率分布表,chapter 3,20,例2,同一品種的5件產(chǎn)品中，有2件次品3件正品。每次從中任取一件檢驗(yàn)質(zhì)量，連續(xù)取兩次.用X、Y分別表示第一、第二次取到的次品數(shù)，分別對(duì)不放回抽樣與有放回抽樣兩種情況，寫(xiě)出X與Y的聯(lián)合分布并求邊緣分布.,解：,隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).,不放回抽樣:,X可能取值為0,1，Y可能取值為0,1,連續(xù)兩次都取到正品

7、,chapter 3,21,chapter 3,22,它與第一章學(xué)過(guò)的 全概率公式是否一致？,思考：,聯(lián)合分布及邊緣分布如下表：,其中,同樣方法可求得其他值.,chapter 3,23,有放回抽樣:,事件X=i,Y=j相互獨(dú)立，所以,同樣方法可求得其他值.,chapter 3,24,聯(lián)合分布及邊緣分布見(jiàn)下表：,注:兩種情況下的邊緣分布相同.,因?yàn)槌槿〗Y(jié)果與次數(shù)無(wú)關(guān)！參見(jiàn)第一章例題:抽簽的合理性.,,,chapter 3,25,補(bǔ)例2,設(shè)隨機(jī)變量Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，令,求（X1,X2）的聯(lián)合概率分布.,解： （X1,X2）可以取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),四個(gè)值.

8、,P X 1 = 0 , X 2 = 0 = P | Y | 1 , | Y | 2 ,= P | Y | 2 ,= 1 P | Y | <2 ,= 1 2 ( 2 ) 1 =0.0455,chapter 3,26,續(xù),P X 1 = 0 , X 2 = 1 = P | Y | 1 , | Y | < 2 = P 1 | Y | < 2 = 2 P 1 Y < 2 = 2 ( 2 ) ( 1 ) =0.2719,P X 1 = 1, X 2 = 0 = P | Y | < 1 , | Y | 2 =0,P X 1 = 1, X 2 = 1 = 1

9、P X 1 = 0, X 2 = 0 P X 1 = 0, X 2 = 1 =0.6826,chapter 3,27,例4,某射手在射擊中，每次擊中目標(biāo)的概率為p（0

10、3,29,關(guān)于X2的邊緣概率分布為,事件“X2=j”表示射 擊j次，其中第j次和前j-1次中的某一次擊中目標(biāo)，而其余j-2次未擊中,共有j-1種情況。故,chapter 3,30,定義3.5 設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f (x , y ) ，使得對(duì)于平面上的任意可度量的區(qū)域D，都有,3.3 連續(xù)型二維隨機(jī)向量,則稱（X，Y）為連續(xù)型二維隨機(jī)向量， f (x , y )稱為X和Y的 聯(lián)合密度函數(shù)，簡(jiǎn)記為（X，Y） f (x , y ).,一、聯(lián)合密度函數(shù),chapter 3,31,滿足上面兩個(gè)條件的任一個(gè)二元函數(shù)f (x , y )我們都稱為二維聯(lián)合概率密度.,二、聯(lián)合概率

11、密度的性質(zhì),由定義看出（X，Y）的概率密度函數(shù)f (x , y )滿足下面4條性質(zhì)：,chapter 3,32,（3）對(duì)于任何,且在F(x,y)的連續(xù)點(diǎn)(x,y)處，有,（4）設(shè)區(qū)域D=（x,y）|ax b, c yd,則,chapter 3,33,例1,設(shè)二維隨機(jī)向量（X,Y）f(x,y)，并且，,求 : 1.常數(shù)C；2.（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)F（ x , y ）;,,3. 概率 P0X1, 0 Y1.,chapter 3,34,解:,1.由密度函數(shù)的性質(zhì),即,chapter 3,35,D,3.P0X1, 0 Y1=,矩形,chapter 3,36,例2,二維隨機(jī)向量（X,Y） f (x

12、 , y ) ，并且,確定系數(shù)C，求分布函數(shù)F(x,y),并計(jì)算概率P(X,Y)D，其中D是圖中的陰影部分。,三角形,chapter 3,37,解：,1.由密度的性質(zhì),即 C/2=1, C=2,2.當(dāng)x , y 0時(shí)，F(xiàn)(x , y )PXx ，Y y,因此，,3.,chapter 3,38,三、邊緣密度函數(shù),在連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)中,稱X(或Y)的分布密度為(X,Y)的關(guān)于X(或Y)的邊緣分布密度. 設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則,chapter 3,39,例3,求例1中關(guān)于X與Y的邊緣密度函數(shù).,解:,,同理,chapter 3,40,例4,設(shè)二維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為,

13、解:如圖所示為密度函數(shù)的分塊區(qū)域,X的密度函數(shù)為,同理,求關(guān)于X，Y的邊緣密度.,,,,當(dāng)x0時(shí)，f(x,y)=0,,當(dāng)x0時(shí)，如圖積分線路l1分為兩段,當(dāng)y0時(shí)，如圖積分線路l2分為三段,當(dāng)y0時(shí)，f(x,y)=0,,chapter 3,41,例5,設(shè)二維隨機(jī)向量（X,Y）f(x,y),其中D為平面上一個(gè)可度量的有界閉區(qū)域，確定的值.,解：由密度的性質(zhì),因此， 1/SD, 其中SD為區(qū)域D的面積.,四、二維均勻分布,chapter 3,42,定義3.6,如果二維隨機(jī)向量（X,Y）的概率密度f(wàn) (x , y )為,其中D為平面上一個(gè)可度量的有界區(qū)域，SD為區(qū)域D的面積，則稱（X,Y）服從區(qū)域D

14、上的均勻分布.,記為 (X,Y)UD.,chapter 3,43,例6,設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布 D=(x,y),axb, cyd,求X與Y的聯(lián)合密度與邊緣密度函數(shù).,解:由定義3.6,SD=(b-a)(d-c),有,chapter 3,44,關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為:當(dāng) ax b 時(shí),所以,矩形區(qū)域上的均勻分布之邊緣分布為均勻分布,chapter 3,45,補(bǔ)例,二維隨機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布 D=(x,y), x2+y21,求關(guān)于X和Y的邊緣密度.,解: 區(qū)域D如圖, 其面積SD=.,,,由定義3.6知,(X,Y)的聯(lián)合密度為,,,規(guī)則圖形,chapter

15、 3,46,,D,當(dāng)|x| 1時(shí),,因此,,同理,關(guān)于Y的邊緣密度為,邊緣分布不是均勻分布.,,,chapter 3,47,例 7,設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,,解:,chapter 3,48,chapter 3,49,3. 4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義3.7 :設(shè)X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量,如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x和y, 事件 “Xx”和“Yy”都獨(dú)立,,若X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),X和Y的分布函數(shù)分別為,即,PXx,Yy= PXx PYy,則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立.,chapter 3,50,定理3.1 設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量,其概率分布為,1.離散型R.V.獨(dú)立

16、的充要條件,證明見(jiàn)教材p85.,chapter 3,51,2.連續(xù)型R.V.獨(dú)立的充要條件,定理3.2 設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度為f(x,y),關(guān)于X和Y的邊緣分布密度分別為,即聯(lián)合密度等于兩個(gè)邊緣密度的乘積.,推論:獨(dú)立的隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)也獨(dú)立.,如:X與Y獨(dú)立,則X2與Y2也獨(dú)立.,chapter 3,52,補(bǔ)例1,二維隨機(jī)向量（ X1 , X2 ）的聯(lián)合分布由下表確定，判斷X1與X2是否獨(dú)立？,又 PX2=0= PX1=0,X2=0+ PX1=1,X2=0 = 7/15 + 7/30 =0.7 類似可以算出 PX1=0=0.7,顯然PX1=0,X2=0 PX1=0 P

17、X2=0 因此X1與X2不獨(dú)立.,解：由右表知，,chapter 3,53,例 3,設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布分別由下表給出,且PXY=0=1,求X與Y的聯(lián)合分布并判斷X與Y的獨(dú)立性.,chapter 3,54,解,由已知可得PXY0=0,即有PX=1,Y=-1+ PX=1,Y=1 =0, 所以,,又由聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系 PY=-1 =PX=0,Y=-1+ PX=1,Y=-1 =1/4，,PX=1,Y=-1=0 ,PX=1,Y=1=0,于是有下表,同理可求出表中其它值.(參見(jiàn)下頁(yè)).,得PX=0,Y=-1=1/4,1/4,55, , 1,,,,進(jìn)一步可得,,,,因?yàn)镻X=0,Y=

18、0 =0,而PX=0 PY=0=1/21/2=1/4,PX=0,Y=0 PX=0 PY=0X與Y不獨(dú)立.,chapter 3,56,例 4,設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，判斷X與Y是否獨(dú)立，其中 (1) D=(x,y),axb, cyd, (2) D=(x,y),x2+ y2 R2,chapter 3,57,解: (1)由均勻分布的定義知,關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為:,關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為:,顯然,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有,chapter 3,58,(2)X與Y的聯(lián)合密度為,關(guān)于X的邊緣密度為：當(dāng)|X|

19、,59,例 5,chapter 3,60,小結(jié),本節(jié)介紹了二維隨機(jī)向量的概念，聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的概念。 對(duì)離散型隨機(jī)向量，重點(diǎn)要掌握的是如何寫(xiě)出聯(lián)合分布及由聯(lián)合分布求出邊緣分布。 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)向量，重點(diǎn)要掌握的是由聯(lián)合分布密度求邊緣分布密度及有關(guān)概率。 兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性是一個(gè)很重要的概念，要掌握其判斷方法。,chapter 3,61,3.6 二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布,定義3.10 若對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)的每一個(gè)可能值(x,y),都有另一隨機(jī)變量Z的相應(yīng)可能值z(mì)與之對(duì)應(yīng):z=g(x,y),則稱隨機(jī)變量Z為(X,Y)的函數(shù),記為Z=g(X,Y).,一、離散型隨機(jī)向量函數(shù),注:等價(jià)

20、事件概率相等.,chapter 3,62,例1,已知X,Y的概率分布由下表給出,求Y的邊緣分布及X+Y的概率分布.,解:由邊緣分布的定義,將表中第1,2,3列相加, 得到Y(jié)的邊緣分布.見(jiàn)下表,X+Y可以取-3,-2,0,1,3共五個(gè)值.其概率分布為:,PX+Y=-3=PX= -2,Y= -1=0.2 PX+Y=0=PX= -2,Y=2+ PX=1,Y=-1=0.3+0.1 =0.4,chapter 3,63,類似可以算出其他概率值,見(jiàn)下表,,chapter 3,64,例2,設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如表所示,求Z=maxX,Y的分布.,解:Z的可能值如表所示,可得Z的分布如表所示.,c

21、hapter 3,65,例 3,設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為1和2的泊松分布,求Z=X+Y的概率分布.,解:用i,j,k分別表示X,Y,Z的可能取值,則,于是,有,chapter 3,66,因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以,可知Z服從參數(shù)為1+2的泊松分布.,chapter 3,67,例4,設(shè)XB(n1,p), YB(n2,p),且X與Y相互獨(dú)立, 證明X+Y B(n1 +n2,p).,證:見(jiàn)下頁(yè),chapter 3,68,證,令Z=X+Y,由二項(xiàng)分布定義知,則Z=X+Y的可能取值為k=0,1,2,, n1 +n2.,命題得證.,chapter 3,69,二、連續(xù)性隨機(jī)向量函數(shù),一般對(duì)

22、于連續(xù)型二維隨機(jī)向量(X,Y)， Z=g (X,Y)不一定是連續(xù)型隨機(jī) 變量。,chapter 3,70,設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布, D=(x,y), 0 x2 ,0y1,,求Z的概率分布.,解:(X,Y)的密度函數(shù)為,PZ=1=1-1/4=3/4.,例5,chapter 3,71,例6,設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為,求Z=X2+Y2的密度f(wàn)Z(z).,,采用分布函數(shù)法: 由(X,Y)的聯(lián)合密度f(wàn)(x,y) ，求出隨機(jī)變量Z的密度函數(shù).,chapter 3,72,例6,解: 當(dāng)z<0時(shí),FZ(z)=PZz= PX2+Y2z=0, fZ(z)=0,當(dāng)z0時(shí),,FZ(z)=PZz

23、=PX2+Y2z,,采用極坐標(biāo),令,FZ(z)=, fZ(z)= FZ(z)=,chapter 3,73,下面分別介紹幾種常見(jiàn)的隨機(jī)變量函數(shù)的分布,chapter 3,74,1.和函數(shù)(Z=X+Y)的分布,,,,,,,,,x+y=z,D,x,y,例 7,chapter 3,75,,,,,,,,,x+y=z,D,chapter 3,76,結(jié)論,該例表明： 兩個(gè)獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)向量之和仍是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度由上兩式計(jì)算。 這兩個(gè)公式稱為卷積公式.,chapter 3,77,例8,解:X與Y的密度函數(shù)分布為,chapter 3,78,令,原式=,即ZN(0,2).,XN(0,1),YN(0,

24、1)X+YN(0+0,1+1),chapter 3,79,定理3.3,兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量之和仍然服從正態(tài)分布.,推論：有限個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍是 正態(tài)分布隨機(jī)變量.,chapter 4,80,5. Z=M=maxX,Y的分布,FZ(z)=PZz =PmaxX,Yz,=PXz,Yz ,= F(z,z),若 X與Y相互獨(dú)立 ,則,若 Z為連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則Z=maxX,Y的密度函數(shù)為,若X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)為FX(x,y).則 Z=maxX,Y的分布函數(shù)為,chapter 4,81,6.N=minX,Y的分布,若X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F (x,y).則 Z=minX,Y的分

25、布函數(shù)為,=PminX,Yz,或FZ(z) =PZz=1-PZz = 1-PXz,Y z.,chapter 4,82,若 X與Y相互獨(dú)立 ,則,若 Z為連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則Z=minX,Y的密度函數(shù)為,FZ(z) = 1-PXz,Y z,= 1-PXz.PY z,=1-1-FX(z).1-FY(z),=1-1- PXz.1-PYz ,= FX(z)+FY(z)- FX(z)FY(z),chapter 3,83,3.7 二維正態(tài)分布,定義3.11：設(shè)有二維隨機(jī)向量(X,Y),如果其概率密度為,為常數(shù),,稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布.,其圖像對(duì)稱軸為X,Y平面上過(guò)(1, 2)且與豎軸平行的直線.參

26、見(jiàn)右圖.(教材p.101.),chapter 3,84,定理3.4 二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布.,證：,chapter 3,85,chapter 3,86,同理，可求出fY (y).,則,由此，可得如下結(jié)果,chapter 3,87,定理3.5,設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0.,證：（1）充分性.由=0，代入（3-58）式，得,所以，X與Y獨(dú)立.,chapter 3,88,X與Y獨(dú)立,則對(duì)任意x,y,有,特別地,令 x=1,y= 2,則有,帶入式（3-58）， （3-59）， （3-60）得,于是，,chapter 3,89,定理3.6,則X與Y的非零線形組合仍服從正態(tài)分布.,chapter 3,90,且X與Y相互獨(dú)立，易得,注意：,ab0時(shí)有,如果少了獨(dú)立的條件，上述結(jié)論不一定成立.,