【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 4.6 正弦定理和余弦定理課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版

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1、 4.6 正弦定理和余弦定理 一、選擇題 1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A．135° B．105° C．45° D．75° 解析　由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由題知，BC＜AB，∴A＝45°. 答案　C 2．已知a，b，c是△ABC三邊之長(zhǎng)，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C的大小為(　　)． A．60° B．90° C．120° D．150° 解析　由(a＋b－c)

2、(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab， ∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C， ∴cos C＝－，∴C＝120°. 答案　C 3．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，則滿足此條件的三角形個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)個(gè) 解析：直接根據(jù)正弦定理可得＝，可得sin B＝＝＝>1，沒(méi)有意義，故滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0. 答案：A 4．

3、在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acos A＝bsin B，則sin Acos A＋cos2B等于(　　)． A．－ B. C．－1 D．1 解析　根據(jù)正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1. 答案　D 5. 在中，角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 解析 ，故選C. 答案 C

4、6．在△ABC中，sin2 A≤sin2 B＋sin2 C－sin Bsin C，則A的取值范圍是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，于是可得b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥，注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈. 答案　C 7．若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　)． A. B．

5、8－4 C．1 D. 解析　依題意得，兩式相減得ab＝，選A. 答案　A 二、填空題 8．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝45°，則AD的長(zhǎng)度等于________． 解析　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cos C＝，∴sin C＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝， ∴AD＝×＝. 答案　 9. 在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且a＝2csin A，角C＝________. 解析：根據(jù)正弦定理，＝， 由a＝2csin A，得＝， ∴sin C＝，而角C是銳角．

6、∴角C＝. 答案： 10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為______． 答案 6∶5∶4 11．若AB＝2，AC＝BC，則S△ABC的最大值________． 解析　(數(shù)形結(jié)合法)因?yàn)锳B＝2(定長(zhǎng))，可以令A(yù)B所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)C(x，y)，由AC＝BC， 得 ＝ ，化簡(jiǎn)得(x－3)2＋y2＝8， 即C在以(3,0)為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)， 所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|≤2

7、，故答案為2. 答案　2 12．在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若＋＝6cos C，則＋的值是________． 解析　法一　取a＝b＝1，則cos C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝，∴c＝，在如圖所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B＝，又sin C＝，tan C＝2，∴＋＝4. 法二　由＋＝6cos C，得＝6·， 即a2＋b2＝c2，∴＋＝tan C＝ ＝＝4. 答案　4 三、解答題 13．?dāng)⑹霾⒆C明余弦定理． 解析　余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍．或：在

8、△ABC中，a，b，c為A，B，C的對(duì)邊，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C， 法一　如圖(1)， 圖(1) a2＝· ＝(－)·(－) ＝2－2·＋2 ＝2－2||·||cos A＋2 ＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 法二　 圖(2) 已知△ABC中A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(2)則C(bcos A，bs

9、in A)，B(c,0)， ∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2 ＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccos A. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 14．在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，B＝，b＝，a＋c＝4，求a. 解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac. 又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3. 聯(lián)立 解得a＝1或a＝3. 15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C

10、的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB. （1）求角B的大??； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值. 16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，△ABC的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng)． 解析　(1)由正弦定理，設(shè)＝＝＝k， 則＝＝， 所以＝. 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化簡(jiǎn)可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π， 所以sin C＝2sin A，因此＝2. (2)由＝2得c＝2a. 由余弦定理及cos B＝得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2. 所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.從而a＝1，因此b＝2. 6