【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 13.3 直接證明與間接證明課時(shí)檢測(cè) 理 （含解析）北師大版

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1、 13.3 直接證明與間接證明 一、選擇題 1.“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故該奇數(shù)是3的倍數(shù).”上述推理(　　) A 小前提錯(cuò)　　　　　　 B 結(jié)論錯(cuò) C 正確 D 大前提錯(cuò) 解析 大前提，小前提都正確，推理正確，故選C. 答案 C 2．在用反證法證明命題“已知a、b、c∈(0,2)，求證a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”時(shí)，反證時(shí)假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1 B．假設(shè)a(2－

2、b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1 C．假設(shè)a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1 D．以上都不對(duì) 解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故選B. 答案 B 3．下列命題中的假命題是(　　)． A．三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60° B．四面體的三組對(duì)棱都是異面直線 C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn) D．設(shè)a，b∈Z，若a＋b是奇數(shù)，則a，b中至少有一個(gè)為奇數(shù) 解析　a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤． 答案　D 4．命題“如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)

3、列”是否成立(　　)． A．不成立 B．成立 C．不能斷定 D．能斷定 解析　∵Sn＝2n2－3n， ∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1符合上式)． 又∵an＋1－an＝4(n≥1)， ∴{an}是等差數(shù)列． 答案　B 5．設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋、b＋、c＋(　　)． A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不大于2 D．至少有一個(gè)不小

4、于2 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋＋＝＋＋ ≥6， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個(gè)不小于2. 答案　D 6．設(shè)a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)≤b 解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， 而b＝ex＜e0＝1，故a＞b. 答案 A 7．定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì)：(n＋1)*1＝n*1＋1，則n

5、*1＝ (　　)． A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2 解析　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n. 答案　A 二、填空題 8.用反證法證明命題“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為　　　　. 解析 由反證法的定義可知，否定結(jié)論，即“a，b中至少有一個(gè)能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”. 答案 a、b都不能被3整除 9．要證明“＋＜2”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________(填序號(hào))． ①反證

6、法，②分析法，③綜合法． 答案　② 10．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是______．(填序號(hào)) 解析 若a＝，b＝，則a＋b>1， 但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出； 對(duì)于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1， 反證法：假設(shè)a≤1且b≤1， 則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾， 因此假設(shè)不成立，故a，

7、b中至少有一個(gè)大于1. 答案 ③ 11．如果a＋b＞a＋b，則a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是________． 解析　首先a≥0，b≥0且a與b不同為0. 要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2， 即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab， 即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b應(yīng)滿(mǎn)足a≥0，b≥0且a≠b. 答案　a≥0，b≥0且a≠b 12．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a>b與a

8、a≠b不能同時(shí)成立． 其中判斷正確的是_______． 解析 ①②正確；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同時(shí)成立， 如a＝1，b＝2，c＝3.選C. 答案 ①② 三、解答題 13．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若＋＝，試問(wèn)A，B，C是否成等差數(shù)列，若不成等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由．若成等差數(shù)列，請(qǐng)給出證明． 解析 A、B、C成等差數(shù)列． 證明如下： ∵＋＝， ∴＋＝3. ∴＋＝1， ∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ∴b2＝a2＋c2－ac. 在△ABC中，由余弦定理，得 cosB＝＝＝， ∵0°

9、°. ∴A＋C＝2B＝120°. ∴A、B、C成等差數(shù)列． 14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤. 證明　a⊥b?a·b＝0， 要證≤. 只需證|a|＋|b|≤|a＋b|， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0， 上式顯然成立，故原不等式得證． 15．若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證： lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 證明　∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴≥＞0，≥＞0

10、，≥＞0. 又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立． ∴··＞abc成立． 上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)， 得lg＞lg(abc)， ∴l(xiāng)g＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 16．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且0＜x＜c時(shí)，f(x)＞0. (1)證明：是f(x)＝0的一個(gè)根； (2)試比較與c的大??； (3)證明：－2＜b＜－1. 解析 (1)證明　∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根， 又x1x2＝，∴x2＝， ∴是f(x)＝0的一個(gè)根． (2)假設(shè)＜c，又＞0， 由0＜x＜c時(shí)，f(x)＞0， 知f＞0與f＝0矛盾，∴≥c， 又∵≠c，∴＞c. (3)證明　由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0， ∴b＝－1－ac. 又a＞0，c＞0，∴b＜－1. 二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為 x＝－＝＜＝x2＝， 即－＜.又a＞0， ∴b＞－2，∴－2＜b＜－1. 5