【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 第五章 平面向量章末檢測 理 （含解析）北師大版

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1、 第五章　章末檢測 (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則 (　　) A.＋＋＝0 B.－＋＝0 C.＋－＝0 D.－－＝0 2．(2011·金華月考)已知a＝(cos 40°，sin 40°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，則a·b等于 (　　) A．1 B. C. D. 3.已知△ABC中，＝a， ＝b，若a·b<0，則△ABC是 (　　)

2、A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．任意三角形 4．(2010·山東)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說法錯(cuò)誤的是 (　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ) C．對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 5．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別

3、為2和4，則F3的大小為 (　　) A．6 B．2 C．2 D．2 6．(2010·廣東)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 7.（2010·遼寧）平面上O，A，B三點(diǎn)不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于 (　　) A. B. C. D. 8.O是平面上一定點(diǎn)，A、

4、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動點(diǎn)P滿足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則直線AP一定通過△ABC的 (　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 9．已知a＝(sin θ，)，b＝(1，)，其中θ∈，則一定有 (　　) A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)與b的夾角為45° D．|a|＝|b| 10．(2010·湖南師大附中月考)若|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a，b的夾角為(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 11．(2011·廣

5、州模擬)已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，則|a＋b|的最大值(　　) A．1 B. C．3 D．9 12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　　) A. B. C. D. 題　號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答　案 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(2010·江西)已知向量a， b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a

6、－b|＝________. 14．(2010·舟山調(diào)研)甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應(yīng)取方向__________才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了________海里． 15.（2010·天津）如圖所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，則·＝________. 16.（2011·濟(jì)南模擬）在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若·＝·＝1，那么c＝________. 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)(2010·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2

7、)、B(2,3)、C(－2，－1)． (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； （2）設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值． 18．(12分)已知A、B、C的坐標(biāo)分別為A(4,0)，B(0,4)，C(3cos α，3sin α)． （1）若α∈,且||＝||，求角α的大??； （2）若⊥，求的值． 19．(12分)(2010·遼寧)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大?。? (2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀．

8、 20（12分）已知向量＝，＝，定義函數(shù)f(x)＝·. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并指出其最大值和最小值； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)＝1，bc＝8，求△ABC的面積S. 21．(12分)(2011·衡陽月考)在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(－1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以 10n mile/h的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

9、 22．(12分)(2010·天津一中高三第四次月考)設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，m＝(sin B＋sin C,0)，n＝(0，sin A)且|m|2－|n|2＝sin Bsin C. (1)求角A的大??； (2)求sin B＋sin C的取值范圍． 2．B　[由數(shù)量積的坐標(biāo)表示知 a·b＝cos 40°sin 20°＋sin 40°cos 20° ＝sin 60°＝.] 4．B　[∵a⊙b＝mq－np，b⊙a(bǔ)＝np－mq， ∴a⊙b≠b⊙a(bǔ).] 5．D　[因?yàn)镕＝F＋F－2|F1||F2|cos(180°－60°)＝28，所以

10、|F3|＝2.] 6．C　[∵(8a－b)＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)， ∴(8a－b)·c＝6×3＋3x＝30，∴x＝4.] 7．C　[S△OAB＝|a||b|sin〈a，b〉 ＝|a||b| ＝|a||b| ＝.] 9．B　[a·b＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈， ∴|sin θ|＝－sin θ，∴a·b＝0，∴a⊥b.] 10．A　[由a⊥(a－b)，得a2－a·b＝0， 即a2＝a·b，所以|a|2＝|a||b|cos θ. 因?yàn)閨a|＝1，|b|＝，所以cos θ＝， 又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.] 11．C　[由a＋b＝(

11、sin x＋1，cos x＋)， 得|a＋b|＝ ＝ ＝ ＝≤＝3.] 12．D　[設(shè)c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b， ∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)， ∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 由①②解得x＝－，y＝－.] 13. 解析　如圖，a＝，b＝，a－b＝－＝，由余弦定理得，|a－b|＝. 14．北偏東30°　a 解析　如圖所示， 設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時(shí)間為t，乙船速度為v， 則BC＝tv，AC＝tv，B＝120

12、°， 由正弦定理知 ＝， ∴＝， ∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°， ∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a， ∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120° ＝a2＋a2－2a2·＝3a2， ∴AC＝a. 15. . 16. 解析　設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a， 由·＝· 得：cbcos A＝cacos B. 由正弦定理得：sin Bcos A＝cos Bsin A， 即sin(B－A)＝0，因?yàn)椋?B－A<π 所以B＝A，從而b＝a. 由已知·]＝1 得：accos B＝1， 由余弦定理得：ac＝1， 即a2＋c2－b2＝2，所以

13、c＝. 17．方法一 由題意知＝(3,5)， ＝(－1,1)， 則＋＝(2,6)，－＝(4,4)．……………………………………………………(3分) 所以，＝4. 故所求的兩條對角線的長分別為2、4.…………………………………………(6分) 方法二　設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，則E為B、C的中點(diǎn)，E(0,1)，又E(0,1)為A、D的中點(diǎn)，所以D(1,4)． 故所求的兩條對角線的長分別為 BC＝4，AD＝2.……………………………………………………………………(6分) （2）由題設(shè)知：＝(－2，－1)， －t＝(3＋2t,5＋t)．…………………

14、……………………………………………(8分) 由(－t)·＝0，得： (3＋2t, 5＋t)·(－2，－1)＝0， 從而5t＝－11，所以t＝－.…………………………………………………………(10分) 19．解　(1)由已知，根據(jù)正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc.………………………………………………………………………(4分) 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 故cos A＝－，∵A∈(0°，180°) ∴A＝120°.………………………………………………………………………………(6分) (2)由(1)得sin2

15、A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝.………………………………………………(9分) 因?yàn)?°

16、f(A)＝1，∴sin＝. ∴2A－＝或2A－＝. ∴A＝或A＝.…………………………………………………………………………(9分) 又∵△ABC為銳角三角形，∴A＝.∵bc＝8， ∴△ABC的面積S＝bcsin A＝×8×＝2.……………………………………(12分) 21．解　設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船，畫出示意圖(如圖所示)， 則有CD＝10t，BD＝10t， 在△ABC中， ∵AB＝－1，AC＝2， ∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos 120°＝6，……

17、………………………………(4分) ∴BC＝，且sin∠ABC＝sin∠BAC ＝×＝， ∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向垂直．………………………………………………(8分) ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝ ＝＝， ∴∠BCD＝30°，即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船．…………………(12分) 22．解　(1)∵|m|2－|n|2＝(sin B＋sin C)2－sin2A ＝sin2B＋sin2C－sin2A＋2sin Bsin C……………………………………………………(3分) 依題意有， sin2B＋

18、sin2C－sin2A＋2sin Bsin C＝sin Bsin C， ∴sin2B＋sin2C－sin2A＝－sin Bsin C，…………………………………………………(6分) 由正弦定理得：b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝＝＝－，∵A∈(0，π) 所以A＝.………………………………………………………………………………(8分) (2)由(1)知，A＝，∴B＋C＝， ∴sin B＋sin C＝sin B＋sin ＝sin B＋cos B＝sin.………………………………………………………(10分) ∵B＋C＝，∴0