楊輝三角與布萊尼茲三角.ppt

上傳人:max****ui 文檔編號:15490515 上傳時間:2020-08-12 格式:PPT 頁數:12 大?。?73.55KB
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1、,楊輝三角與布萊尼茲三角,授課教師:符日仕 授課班級:08電子技術與應用,楊輝:,杭州錢塘人,南宋末年數學家、數學教育家。他著作甚多,由他編著的數學 書共五種二十一卷,分別是詳解九章算法十二卷(1261年)、日用算法 二卷、乘除通變本末三卷、田畝比類乘除算法二卷、續(xù)古摘奇算法 二卷。其中后三種合稱為楊輝算法,朝鮮、日本等國均有譯本出版,后流傳 世界。,“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書中,此書還說明表內除 “1”以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和。楊輝指出這個方法出于釋鎖算 書,且我國北宋數學家賈憲(約公元11世紀)已經用過它,這表明國發(fā)現(xiàn)在 這個表不晚于11世紀。,二項式(a

2、+b)n展開式的二項式系數,當n依次取1,2,3時,列出的一張表,叫做二項式系數表,因它形如三角形,南宋的楊輝對其有過深入研究,所以我們又稱它為楊輝三角(表1),例如 : ,它的兩項的系數是1和1; ,它的三項系數依次是1、2、1; ,它的四項系數依次1、3、3、1。,什么是楊輝三角?,規(guī)律:,(1)楊輝三角的第2K-1行(K是正整數)的各數字之除了兩端為1,其余都是偶數。,(2)行數為素數(質數)時,如第2,3,7,11等行,除了兩端的1外,行數 可以整除其余各數。,(3)計算一下楊輝三角中各行數數學之和,第2行 1+1=

3、21 第3行 1+2+1=4=22 第4行 1+3+3+1=8=23 第5行 1+4+6+4+1=16=24 第6行 1+5+10+10+5+1=32=25 。。。 。。。 第n+1行 Cn0+Cn1+Cn2++Cnr+ Cnn-1+ Cnn=2n,第n+1行 數字的和為2n,前n行所有數的和為2n-1, 它恰好比第n+1的和小2 n小1。,(4)從楊輝三角中一個確定的數的“左(右)肩出發(fā),向右(左)上方作 一條和左(右)斜邊平行的射線,在這條射線上的各數的和等于這個數。 例如:101234, 2013610,,,,(第4條斜線),根據這一性質,猜想下列數列的前n項和:,1

4、11 1(第1條斜線),123 ,(第2條斜線),136 ,,(第3條斜線),1410 ,,(第r+1條斜線),于是有一般性結論: 一般地,在第m條斜線上(從右上到左下)前n個數字的和,等于第 條 斜線上的第 個數,1,1,2,3,5,8,13,21,34,此數列an滿足, a1=1, a2=1, 且 an = an-1 + an-2 (n3),(5)如圖,寫出斜線上各行數字的和,有什么規(guī)律?,這就是著名的斐波那契數列(斐波那契,中世紀意大利數學家,傳世之作算術之法),?問題:,楊輝三角與“堆垛術”(三角垛,正方垛, )我國古代數學的偉大成就堆垛術,,2、將圓彈堆成三角垛:底層是每

5、邊n的三角形,向上逐層每邊少一個圓彈,頂層是一個圓彈,求總數:,1、計算11的1、2、3、次冪,看一看與楊輝三角有 什么有趣的聯(lián)系?,觀察楊輝三角所蘊含的數量關系(表2),(1)表中每個數都是組合數,第n行的第r+1個數是, (2)三角形的兩條斜邊上都是數字1,而其余的數都等于它肩上的兩個數字相加, 也就是, (3)楊輝三角具有對稱性(對稱美),即, (4)楊輝三角的第n行是二項式(a+b)n展開式的二項式系數,即,楊輝三角基本性質:,介紹楊輝三角蘊含的基本規(guī)律 :,德國數學家萊布尼茲在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的單位分數三角形,其特點是單位分數是分子為1,分母為正整數的分數。由于這個三角形最早是由萊布

6、尼茲作出,所以叫做萊布尼茲單位分數三角形,或簡稱為萊布尼茲三角形。,根據前五行的規(guī)律,可以知道第六行的第三個數是,( 1/60 ),在觀察中進行角度的轉換,打破常規(guī),從下到上。楊輝三角中,一肩扛兩數,是從上到下習慣觀察順序,上行兩數的和與下行中間正對數相等;萊布三角形中,一腳踏兩數,是自下而上的觀察順序,下行兩數的和與上行中間正對數相等.,布萊尼茲三角與楊輝三角有著相似的性質:,(1)第n+1條線上所有數之和等于1/n。即,某些由單位分數組成的 無窮級數可以由布萊尼茲三角求得。,如:1/2 = 1/3 + 1/12 + 1/30 + 1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + ,(2)布萊尼茲三角中每一個數等于其腳下兩個數之和。,如:1/2 = 1/3 + 1/6 X 1/6 = 1/12 + 1/12 X 1/12 = 1/20 + 1/30,科學的發(fā)現(xiàn)離不開仔細的觀察,數學領域中也是如此。著名數學學歐拉曾經說過:“在被稱為純數學的那部分數學中,觀察無疑地也占有重要的地位。”我該在平時的學習和生活中注意觀察,學會觀察,善于觀察,不斷提高自己的觀察能力。,總結:,

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