1. 等邊三角形的判定

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1、1. 等邊三角形的判定 一、學(xué)生知識狀況分析 在前兩節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了獨立探索發(fā)現(xiàn)定理的過程，并能基本規(guī)范地證明相關(guān)命題，這些都為本節(jié)課進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)相關(guān)定理提供了較好的知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗基礎(chǔ)。 二、教學(xué)任務(wù)分析 本節(jié)課，學(xué)生將探究等邊三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理，應(yīng)該說，這兩個定理的證明和探索相對而言，并不復(fù)雜，更多的是前面定理的直接運用，因此，本節(jié)課可以更多地讓學(xué)生自主探索。但第一個定理證明中，需要分類討論，因此注意揭示其中的分類思想；第2個定理結(jié)論比較特殊，直接從定理條件出發(fā)，學(xué)生一般難能得到這個結(jié)論，因此，教科書中設(shè)計了一個學(xué)生活動，在活動的基礎(chǔ)上“無

2、意”中發(fā)現(xiàn)了其特殊的結(jié)論，這實際上也是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，因此也應(yīng)注意讓學(xué)生體會。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)： 1．知識目標(biāo) 理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。 2．能力目標(biāo) ①經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維． ②經(jīng)歷實際操作，探索含有30o角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力； ③在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力。 3．情感與價值觀要求 ①積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)

3、有好奇心和求知欲． ②在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心. 教學(xué)重點 ①等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明. ②含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明. 4．教學(xué)難點 ①含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明. ②引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題. 三、教學(xué)過程分析 學(xué)具準(zhǔn)備：兩個帶30度角的三角板。 本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探索；第三環(huán)節(jié)：實際操作 提出問題；第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練 鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。 第一環(huán)節(jié)：提問問題，引入新課 活動內(nèi)容：教師回

4、顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。 活動目的：開門見山，引入新課，同時回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊。 活動效果：在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；對于等邊三角形的判別，學(xué)生可能會出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質(zhì)出發(fā)，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分步進(jìn)行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時提出問題：如果已知一個三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？ 下面是實際教學(xué)中的部分師生活動實況： [生]等腰三角形

5、已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形． [生]等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且分別都等于60°．我認(rèn)為等腰三角形的三個內(nèi)角都等于60°，等腰三角形就是等邊三角形了． (此時，部分同學(xué)同意此生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引起激烈地爭論．教師可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法．) [生]我不同意這位同學(xué)的看法．因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形．根據(jù)等角對等邊，三個內(nèi)角都是60°，所以它們所對的邊一定相等．但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費! [師]給三個角都是60°，這個條件的確有點浪費

6、，那么給什么條件不浪費呢?下面同學(xué)們可在小組內(nèi)交流自己的看法． (2)你認(rèn)為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?把你的證明思路與同伴交流． (教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時間) 第二環(huán)節(jié)：自主探索 活動內(nèi)容：學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結(jié)論，教師適時要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表： 性質(zhì) 判定的條件 等腰三角形（含等邊三角形） 等邊對等角 等角對等邊 “三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合 有一角是60° 等邊三角形三個角都相等，且每

7、個角都是60° 三個角都相等的三角形是等邊三角形 活動目的：經(jīng)歷定理的探究過程，即明確有關(guān)定理，同時提高學(xué)生的自主探究能力。 活動注意事項與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出： 頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形； 底角是60°的等腰三角形是等邊三角形； 三個角都相等的三角形是等邊三角形； 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。 對于前兩個定理的形式相近，教師可以進(jìn)一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個結(jié)論嗎?從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。 在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴(yán)格的證

8、明，由于“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學(xué)生證明的要求，并與同伴交流證明思路．并要求學(xué)生思考證明中的注意事項，從而點明其中的分類思想，提請學(xué)生注意：思考問題要全面、周到． 第三環(huán)節(jié)：實際操作 提出問題 活動內(nèi)容：教師直接提出問題：我們還學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做： 用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎? 在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由． 活動目

9、的：讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 活動注意事項與效果：學(xué)生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形，對于該圖學(xué)生也可以得出BD=AB，從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 注意，教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生說明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下： 方法1：因為△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因為Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形． 方法2：圖(1)中，∠B

10、=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等邊三角形． 如果學(xué)生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標(biāo)出各個字母，并要求學(xué)生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系，并在將三角板分開，思考從中可以得到什么結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論的基礎(chǔ)上，再證明該定理。 定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求證：BC=AB． 分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD． 證明：在

11、△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)． ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90° ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)． ∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)． ∴BC=BD=AB． 第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練 鞏固新知 活動1：直接提請學(xué)生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎?如果是，請你證明它． 在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明： 已知：如圖，在Rt△ABC中，

12、∠C=90°，BC=AB． 求證：∠BAC=30° 證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC． ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC，∴BC=BD． 又∵BC=AB，∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD是等邊三角形． ∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°． 注意事項：該命題的證明中輔助線較復(fù)雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學(xué)生一些啟示，因此，教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？ 活動2 ：呈現(xiàn)例題，在師生

13、分析的基礎(chǔ)上，運用所學(xué)的新定理解答例題。 [例題]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長. 分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一個外角，而∠DAC=×15°=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD． 解：∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30° ∴CD=AC=×2a= a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)． 活動目的：在例題求解中鞏固新知。 第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時小結(jié) 讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等。 第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 四、教學(xué)反思 本節(jié)課，難點在于探究兩個定理：“在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”和“直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半”，由于設(shè)計了三角板操作的實踐活動，有效地突破了難點，因而，課堂學(xué)生思維非常靈活，方法多樣，取得較好的效果。