統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)題答案 第5章參數(shù)估計(jì)

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1、第5章 參數(shù)估計(jì) ●1. 從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為5的總體中抽出一個(gè)容量為40的樣本，樣本均值為25。 （1） 樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差等于多少？ （2） 在95%的置信水平下，允許誤差是多少？ 解：已知總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=5，樣本容量n=40，為大樣本，樣本均值=25， （1）樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差===0.7906 （2）已知置信水平1－=95%，得 =1.96， 于是，允許誤差是E ==1.96×0.7906=1.5496。 ●2.某快餐店想要估計(jì)每位顧客午餐的平均花費(fèi)金額，在為期3周的時(shí)間里選取49名顧客組成了一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。 （3） 假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為15元，求樣本均值的抽樣標(biāo)

2、準(zhǔn)誤差； （4） 在95%的置信水平下，求允許誤差； （5） 如果樣本均值為120元，求總體均值95%的置信區(qū)間。 解：（1）已假定總體標(biāo)準(zhǔn)差為=15元， 則樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ===2.1429 （2）已知置信水平1－=95%，得 =1.96， 于是，允許誤差是E ==1.96×2.1429=4.2000。 （3）已知樣本均值為=120元，置信水平1－=95%，得 =1.96， 這時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 =120±4.2= 可知，如果樣本均值為120元，總體均值95%的置信區(qū)間為（115.8，124.2）元。 ●3.某大學(xué)為了解學(xué)生

3、每天上網(wǎng)的時(shí)間，在全校7500名學(xué)生中采取不重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取36人，調(diào)查他們每天上網(wǎng)的時(shí)間，得到下面的數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5 求該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間，置信水平分別為90%、95%和99%。 解：⑴計(jì)算樣本均值

4、：將上表數(shù)據(jù)復(fù)制到Excel表中，并整理成一列，點(diǎn)擊最后數(shù)據(jù)下面空格，選擇自動(dòng)求平均值，回車，得到=3.316667， ⑵計(jì)算樣本方差s：刪除Excel表中的平均值，點(diǎn)擊自動(dòng)求值→其它函數(shù)→STDEV→選定計(jì)算數(shù)據(jù)列→確定→確定，得到s=1.6093 也可以利用Excel進(jìn)行列表計(jì)算：選定整理成一列的第一行數(shù)據(jù)的鄰列的單元格，輸入“＝(a7-3.316667)^2”，回車，即得到各數(shù)據(jù)的離差平方，在最下行求總和，得到： =90.65 再對(duì)總和除以n-1=35后，求平方根，即為樣本方差的值 s===1.6093。 ⑶計(jì)算樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差： 已

5、知樣本容量 n=36，為大樣本， 得樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ===0.2682 ⑷分別按三個(gè)置信水平計(jì)算總體均值的置信區(qū)間： ① 置信水平為90%時(shí)： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平1－=90%，通過(guò)2－1=0.9換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平=0.95，查單側(cè)正態(tài)分布表得 =1.64， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 =3.3167±1.64×0.2682= 可知，當(dāng)置信水平為90%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（2.87，3.76）小時(shí)； ② 置信水平為95%時(shí)： 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平1－=95%，得 =1.96， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信

6、區(qū)間為 =3.3167±1.96×0.2682= 可知，當(dāng)置信水平為95%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（2.79，3.84）小時(shí)； ③ 置信水平為99%時(shí)： 若雙側(cè)正態(tài)分布的置信水平1－=99%，通過(guò)2－1=0.99換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平=0.995，查單側(cè)正態(tài)分布表得 =2.58， 計(jì)算得此時(shí)總體均值的置信區(qū)間為 =3.3167±2.58×0.2682= 可知，當(dāng)置信水平為99%時(shí)，該校大學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間的置信區(qū)間為（2.62，4.01）小時(shí)。 4. 從一個(gè)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取容量為8 的樣本，各樣本值分別為：10,8,12,15,6

7、,13,5,11。求總體均值95%的置信區(qū)間。 解：（7.1,12.9）。 5.某居民小區(qū)為研究職工上班從家里到單位的距離，抽取了由16個(gè)人組成的一個(gè)隨機(jī)樣本，他們到單位的距離（公里）分別是： 10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求職工上班從家里到單位平均距離95%的置信區(qū)間。 解：（7.18,11.57）。 ●6. 在一項(xiàng)家電市場(chǎng)調(diào)查中，隨機(jī)抽取了200個(gè)居民戶，調(diào)查他們是否擁有某一品牌的電視機(jī)。其中擁有該品牌電視機(jī)的家庭占23%。求總體比率的置信區(qū)間，置信水平分別為9

8、0%和95%。 解：已知樣本容量n =200，為大樣本，擁有該品牌電視機(jī)的家庭比率p =23%， 擁有該品牌電視機(jī)的家庭比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ===2.98% ⑴雙側(cè)置信水平為90%時(shí)，通過(guò)2－1=0.90換算為單側(cè)正態(tài)分布的置信水平=0.95，查單側(cè)正態(tài)分布表得 =1.64， 此時(shí)的置信區(qū)間為 =23%±1.64×2.98%= 可知，當(dāng)置信水平為90%時(shí)，擁有該品牌電視機(jī)的家庭總體比率的置信區(qū)間為（18.11%，27.89%）。 ⑵雙側(cè)置信水平為95%時(shí)，得 =1.96， 此時(shí)的置信區(qū)間為 =23%±1.96×2.98%= 可知，當(dāng)置信水平為95%時(shí)，擁有該品牌電

9、視機(jī)的家庭總體比率的置信區(qū)間為 ；（17.16%，28.84%）。 ●7.某居民小區(qū)共有居民500戶，小區(qū)管理者準(zhǔn)備采取一項(xiàng)新的供水設(shè)施，想了解居民是否贊成。采取重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取了50戶，其中有32戶贊成，18戶反對(duì)。 （1）求總體中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間，置信水平為95%； （2）如果小區(qū)管理者預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到80%，應(yīng)抽取多少戶進(jìn)行調(diào)查？ 解： 已知總體單位數(shù)N=500，重復(fù)抽樣，樣本容量n =50，為大樣本， 樣本中，贊成的人數(shù)為n1=32，得到贊成的比率為 p = ==64% （1）贊成比率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ==6.788% 由雙側(cè)正態(tài)分布的置信

10、水平1－=95%，得 =1.96， 計(jì)算得此時(shí)總體戶數(shù)中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間為 = 64%±1.96×6.788%= 可知，置信水平為95%時(shí)，總體中贊成該項(xiàng)改革的戶數(shù)比率的置信區(qū)間為（50.70%,77.30%）。 （2）如預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到80%，即 p=80%， 由 =6.788%，即=6.788% 得樣本容量為 n == 34.72 取整為35， 即可得，如果小區(qū)管理者預(yù)計(jì)贊成的比率能達(dá)到80%，應(yīng)抽取35戶進(jìn)行調(diào)查。 8.從兩個(gè)正態(tài)總體中分別抽取兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)樣本，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

11、如下表： 來(lái)自總體1的樣本 來(lái)自總體2的樣本 （1） 求90%的置信區(qū)間； （2） 求95%的置信區(qū)間。 解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。 9.從兩個(gè)正態(tài)總體中分別抽取兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)樣本，它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下表： 來(lái)自總體1的樣本 來(lái)自總體2的樣本 （1）設(shè)，求95%的置信區(qū)間； （2）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間； （3）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間； （4）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間； （5）設(shè)，，求95%的置信區(qū)間。 解：（1）2±1.176；（2）2±3.986；（3）2±3.986；（4）

12、2±3.587；（5）2±3.364。 10.下表是由4對(duì)觀察值組成的隨機(jī)樣本： 配對(duì)號(hào) 來(lái)自總體A的樣本 來(lái)自總體B的樣本 1 2 0 2 5 7 3 10 6 4 8 5 （1）計(jì)算A與B各對(duì)觀察值之差，再利用得出的差值計(jì)算和； （2）設(shè)和分別為總體A和總體B的均值，構(gòu)造95%的置信區(qū)間。 解：（1），；（2）1.75±4.27。 11.從兩個(gè)總體中各抽取一個(gè)的獨(dú)立隨機(jī)樣本，來(lái)自總體1的樣本比率為，來(lái)自總體2的樣本比率為。 （1）構(gòu)造90%的置信區(qū)間； （2）構(gòu)造95%的置信區(qū)間。 解：（1）10%±6.98%；（2）10%±8

13、.32%。 12.生產(chǎn)工序的方差是共需質(zhì)量的一個(gè)重要度量。當(dāng)方差較大時(shí)，需要對(duì)共需進(jìn)行改進(jìn)以減小方差。下面是兩部機(jī)器生產(chǎn)的袋茶重量（克）的數(shù)據(jù)： 機(jī)器1 機(jī)器2 3.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.35 3.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.30 3.22 3.75 3.28 3.30 3.20 3.05 3.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.33 2.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.27 3.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.2

14、8 3.20 3.18 3.25 3.30 3.34 3.25 構(gòu)造兩個(gè)總體方差比95%的置信區(qū)間。 解：（4.06,14.35）。 ●13.根據(jù)以往的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，某種產(chǎn)品的廢品率為2%。如果要求95%的置信區(qū)間，若要求允許誤差不超過(guò)4%，應(yīng)抽取多大的樣本？ 解：已知總體比率=2%=0.02，由置信水平1-α=95%，得置信度=1.96，允許誤差E≤ 4% 即由允許誤差公式 E=整理得到樣本容量n的計(jì)算公式： n===≥=47.0596 由于計(jì)算結(jié)果大于47，故為保證使“≥”成立，至少應(yīng)取48個(gè)單位的樣本。 ●14.某超市想要估計(jì)每個(gè)顧客平均每次

15、購(gòu)物花費(fèi)的金額。根據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，標(biāo)準(zhǔn)差大約為120元，現(xiàn)要求以95%的置信水平估計(jì)每個(gè)購(gòu)物金額的置信區(qū)間，并要求允許誤差不超過(guò)20元，應(yīng)抽取多少個(gè)顧客作為樣本？ 解：已知總體標(biāo)準(zhǔn)差=120，由置信水平1-α=95%，得置信度=1.96，允許誤差E≤ 20 即由允許誤差公式 E=整理得到樣本容量n的計(jì)算公式： n=≥=138.2976 由于計(jì)算結(jié)果大于47，故為保證使“≥”成立，至少應(yīng)取139個(gè)顧客作為樣本。 15.假定兩個(gè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：，，若要求誤差范圍不超過(guò)5，相應(yīng)的置信水平為95%，假定，估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)所需的樣本容量為多大？ 解： 57。 16.假定，允許誤差，相應(yīng)的置信水平為95%，估計(jì)兩個(gè)總體比率之差時(shí)所需的樣本容量為多大？ 解： 769。