概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章隨機向量習(xí)題詳解.pdf

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章隨機向量習(xí)題詳解.pdf》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章隨機向量習(xí)題詳解.pdf（54頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 X3 0 2 8 3 0 1 . 將 一 硬 幣 拋 擲 三 次 , 以 表 示 在 三 次 中 出 現(xiàn) 正 面 的 次 數(shù) ， .Y以 表 示 三 次 中 出 現(xiàn) 正 面 次 數(shù) 與 出 現(xiàn) 反 面 次 數(shù) 之 差 的 絕 對 值 .X Y試 寫 出 和 的 聯(lián) 合 分 布 律 : X Y解 和 的 聯(lián) 合 分 布 律 如 表 1 2 3 3 / 0 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 0 C C 0 2 2 2 8 2 2 2 8 1 1 1 1 1 3 0 0 8 2 2 2 8 Y X = = = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 3 2 2 43 0

2、 2 8 3 0 2 . 盒 子 里 裝 有 只 黑 球 、 只 紅 球 、 只 白 球 , 在 其 中 任 取 只 球 , .X Y以 表 示 取 到 黑 球 的 只 數(shù) , 以 表 示 取 到 紅 球 的 只 數(shù) .X Y求 和 的 聯(lián) 合 分 布 律 : X Y解 和 的 聯(lián) 合 分 布 律 如 表 2 2 3 1 3 2 3 2 4 4 7 7 1 1 2 2 1 1 3 1 3 2 2 3 2 2 3 2 4 4 4 7 7 7 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 4 4 7 7 / 0 1 2 3 C C C C3 2 0 0 1 C 3 5 C 3 5 C C C C C C

3、 C C6 1 2 2 1 0 C 3 5 C 3 5 C 3 5 C C C C C1 6 3 2 0 3 5 C 3 5 C 3 5 Y X = = = = = = = g g g g g g g g g g 2 2 4 2 2 7 1 ( 1 , 2 ) ( 0 , 2 , 2 ) C C / C 3 5 P X Y P= = = = =g黑 紅 白 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 3 X Y3 0 2 8 3 0 3 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( , ) 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為 s i n s i n , 0 , 0 2 2 0 , . x y x y F x y =

4、 ( , ) 其 他 0 , . 4 6 3 X Y x y < < 求 二 維 隨 機 變 量 ( , ) 在 長 方 形 域 內(nèi) 的 概 率 : 0 , (3 . 2 ) 4 6 3 P X Y< = 3 0 2 8 3 0 4 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 分 布 密 度 ( , ) 其 他 1 ) A求 : ( 常 數(shù) ； ( 2 ) X Y隨 機 變 量 ( , ) 的 分 布 函 數(shù) ; ( 3 ) 0 1 0 2 .P X Y < = = 其 他 1 2 ( 3 4 ) 3 8 0 0 ( 3 ) 0

5、1 , 0 2 0 1 , 0 2 1 2 e d d ( 1 e ) ( 1 e ) 0 . 9 4 9 9 . x y P X Y P X Y x y - + - - < < = < < = = - - 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 5 ( 6 ), 0 2 , 2 4 , 0 , . k x y x y X Y f x y - - < < < < = 3 0 2 8 3 0 5 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 密 度 為 ( , ) 其 ( 1 ) k確 定 常 數(shù) ; ( 2 ) 1 3 P X Y求 , ; 3 1 .5P X <（ ） 求 ；

6、 4 4 .P X Y+ （ ） 求 2 4 0 2 1 : ( 1 ) ( , ) d d ( 6 ) d d 8 1 , 8 f x y x y k x y y x k k + + - - = - - = = = 解 由 性 質(zhì) 有 1 3 1 3 0 2 1 3 ( 2 ) 1 , 3 ( , ) d d ( 6 ) d d 8 8 P X Y f x y y x k x y y x - - < < = = - - = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 6 ( 6 ), 0 2 , 2 4 , 0 , . k x y x y X Y f x y - - < < < <

7、 = 3 0 2 8 3 0 5 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 密 度 為 ( , ) 其 ( 1 ) k確 定 常 數(shù) ; ( 2 ) 1 3 P X Y求 , ; 3 1 .5P X <（ ） 求 ； 4 4 .P X Y+ （ ） 求 1 1 . 5 4 0 2 1 . 5 1 2 7 : ( 3 ) 1 .5 ( , ) d d a ( , ) d d d ( 6 ) d . 8 3 2 x D P X f x y x y f x y x y x x y y < = 的 密 度 函 數(shù) 為 （ ） 其 他 ; ( 2 ) .X Y P Y

8、 X求 : ( 1 ) 與 的 聯(lián) 合 分 布 密 度 1 , 0 0 .2 , : ( 1 ) 0 0 . 2 X ( ) 0 .2 0 , . X x X f x < = Q又 其 他 5 5 1 5 e 2 5 e , 0 0 . 2 0 , ( , ) , ( ) ( ) 0 .2 0 , 0 , y y X Y x y f x y X Y f x f y - - < = = g 且 獨 立 其 他 . 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 8 0 0 .2X Y X3 0 2 8 3 0 6 . 設(shè) 和 是 兩 個 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 , 在 ( , ) 上 服 從

9、 均 勻 分 布 5 5 e , 0 , 0 , . y Y y Y f y - = 的 密 度 函 數(shù) 為 （ ） 其 他 ; ( 2 ) .X Y P Y X求 : ( 1 ) 與 的 聯(lián) 合 分 布 密 度 5 ( 2 ) ( ) ( , ) d d 2 5 e d d y y x D P Y X f x y x y x y - = 如 圖 0 . 2 0 . 2 - 5 5 - 1 0 0 0 d 2 5 e d ( 5 e 5 ) d = e 0 .3 6 7 9 . x y x x y x - = = - + 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 9 X Y3 0 2 8

10、 3 0 7 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( , ) 的 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 為 .X Y求 ( , ) 的 聯(lián) 合 分 布 密 度 4 2 ( 1 e ) ( 1 e ) , 0 , 0 , 0 , . x y x y F x y - - - - = （ , ） 其 他 ( 4 2 ) 2 8 e , 0 , 0 , ( , ) : ( , ) 0 , x y x y F x y f x y x y - + = = 解 其 他 . 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 0 X Y3 0 2 8 3 0 8 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 密 度 為 .

11、求 邊 緣 概 率 密 度 4 .8 ( 2 ), 0 1 , 0 , 0 , . y x x y x f x y - = （ , ） 其 他 x 2 0 4 .8 ( 2 ) d 2 . 4 ( 2 ), 0 1 , : ( ) ( , ) d = 0 , . 0 , X y x y x x x f x f x y y + - - - = = 解 其 他 1 2 y 4 . 8 ( 2 ) d 2 . 4 (3 4 ), 0 1 , ( ) ( , ) d = 0 , . 0 , Y y x x y y y y f y f x y x + -

12、- - + = = 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 1 X Y3 0 2 8 3 0 9 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 密 度 為 .求 邊 緣 概 率 密 度 e 0 , 0 , . y x y f x y - < = = 解 其 他 0 e d e , 0 , ( ) ( , ) d = 0 , . 0 , y y x Y x y y f y f x y x - - + - = = 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 2 X Y3 0 2 8 3 1 0 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率

13、密 度 為 1 ) ;c( 試 確 定 常 數(shù) 2 2 , 1 , 0 , . cx y x y f x y = （ , ） 其 他 ( 2 ) .求 邊 緣 概 率 密 度 2 1 1 2 - 1 4 2 1 : ( 1 ) ( , ) d d ( , ) d d = d d 1 . , 2 1 4 x D f x y x y f x y x y x c x y y c c + + - - = = = Q解 如 圖 2 1 2 42 2 12 1 ( 1 ) , 1 1 ,d ( 2 ) ( ) ( , ) d 84 0 , 0 , . x X x x xx y

14、y f x f x y y + - - - = = = 其 他 5 2 2 2 1 7 d , 0 1 , ( ) ( , ) d 4 2 0 , 0 , . y y Y x y x y y f y f x y x + - - = = = 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 3 1 , , 0 1 , 0 , . y x x X Y f x y < < < = 3 0 2 8 3 1 1 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 密 度 為 ( , ) 其 他 . Y X X Y f y x f x y 求 條 件 概 率

15、 密 度 ( | ) , ( | ) 1 d 2 , 0 1 , : ( ) ( , ) d 0 , . x x X y x x f x f x y y + - - = < < = = Q解 其 他 1 1 1 d 1 , 1 0 , ( ) ( , ) d 1 d 1 , 0 1 , 0 , . y Y y x y y f y f x y x x y y - + - = + - < < = = = - < 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 4 1 , , 0 1 , 0 , . y x x X Y f x y < < < = 3 0 2 8 3 1

16、1 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 密 度 為 ( , ) 其 他 . Y X X Y f y x f x y 求 條 件 概 率 密 度 ( | ) , ( | ) | 1 , | | 1 , ( , ) ( | ) 2 ( ) 0 , . Y X X y x f x y f y x x f x < < = = 其 他 | 1 , 1 , 1 ( , ) 1 ( | ) , 1 , ( ) 1 0 , . X Y Y y x y f x y f x y y x f y y < < - = = - < = 的 概 率 密 度 為 （ ） 其 他

17、 ( 1 ) X Y求 和 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 ; 2 ( 2 ) 2 0 .a a Xa Y a+ + =設(shè) 含 有 的 二 次 方 程 為 , 試 求 有 實 根 的 概 率 2 1 1 , 0 1 , e , 1 , : ( 1 ) ( ) , ( ) 2 0 , 0 , y X Y x y f x f y - < = == Q解 其 他 ; 其 他 . / 2 1 e 0 1 , 0 , ( , ) , ( ) ( ) 2 0 , . y X Y x y f x y X Y f x f y - < = 獨 立 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 8 0 1X

18、 Y X3 0 2 8 3 1 4 . 設(shè) 和 是 兩 個 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 , 在 ( , ) 上 服 從 均 勻 分 布 / 2 1 e , 0 , 2 0 , . y Y y Y f y - = 的 概 率 密 度 為 （ ） 其 他 ( 1 ) X Y求 和 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 2 ( 2 ) 2 0 .a a Xa Y a+ + =設(shè) 含 有 的 二 次 方 程 為 , 試 求 有 實 根 的 概 率 2 2 2 ( 2 ) 2 0 ( 2 ) 4 0 ,a Xa Y X Y X Y+ + = D = - Q 方 程 有 實 根 的 條 件

19、是 從 而 方 程 有 實 根 的 概 率 為 : 2 2 1 2 / 2 0 0 1 ( , ) d d d e d 1 2 ( 1 ) ( 0 ) 0 . 1 4 4 5 . 2 x y x y P X Y f x y x y x y p - = = = - F - F = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 1 9 X Y3 0 2 8 3 1 5 . 設(shè) 和 分 別 表 示 兩 個 不 同 電 子 器 件 的 壽 命 ( 以 小 時 計 ) , 2 1 0 0 0 , 1 0 0 0 , 0 , . x X Y f x x = 并 設(shè) 和 相 互 獨 立 , 且 服 從 同

20、 一 分 布 , 其 概 率 密 度 為 ( ) 其 他 / .Z X Y=求 的 概 率 密 度 : , ( ) Z X Z F z P Z z P z Y = = 解 如 圖 的 分 布 函 數(shù) ( 1 ) 0 ( ) 0 . Z z F z =當(dāng) 時 , 1 0 0 0 ( 2 ) 0 1 1 0 0 0 , ( a ).z x y z < = 并 設(shè) 和 相 互 獨 立 , 且 服 從 同 一 分 布 , 其 概 率 密 度 為 ( ) 其 / .Z X Y=求 的 概 率 密 度 3 3 1 1 0 1 0 bz y x z = =( 3 ) 當(dāng) 時 , ( 這 時

21、 當(dāng) 時 , ) ( 如 圖 ) 3 3 6 6 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 ( ) d d d d z y Z x y z F z x y y x x y x y + = = 3 3 6 2 3 1 0 1 0 1 0 1 = d 1 2 y y z y z + - = - 2 1 1 1 , 1 , , 1 , 2 2 1 ( ) , 0 1 , ( ) , 0 1 , 2 2 0 , . 0 , . Z Z z z z z z F z z f z z - = < < = < < 即 其 他 其 他

22、大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 1 2 1 6 0 2 0 .N3 0 2 8 3 1 6 . 設(shè) 某 種 型 號 的 電 子 管 的 壽 命 ( 以 小 時 計 ) 近 似 地 服 從 ( ， ) 分 4 1 8 0 h .隨 機 地 選 取 只 , 求 其 中 沒 有 一 只 壽 命 小 于 的 概 率 ( ) 2 : 1 , 2 , 3 , 4 1 6 0 2 0 i i X i X N=解 設(shè) 這 四 只 壽 命 為 ， 則 ( ， ) ， 1 2 3 4 m i n ( , , , ) 1 8 0 i P X X X X X 之 間 獨 立 1 2 3 4 1 8 0 1 8 0

23、 1 8 0 1 8 0 P X P X P X P X 1 2 3 4 1 1 8 0 1 1 8 0 1 1 8 0 1 1 8 0 P X P X P X P X= - < - < - < -

24、變 量 , 其 分 布 律 分 別 為 ) , 0 1 2 ) 0 1 2P X k p k k P Y r q r r= = = = = =L L( ， ， ， ， ( , ， ， ， 0 ( ) ( ) , 0 1 2 . i k Z X Y P Z i p k q i k i = = + = = - = L證 明 隨 機 變 量 的 分 布 律 為 ， ， ， : X YQ解 和 所 有 可 能 值 都 是 非 負(fù) 整 數(shù) ， 0 , 1 , 1 , 0 Z i X Y i X Y i X Y i X i Y = = + = = = = = = - = =

25、U U L U 0 , , i k P Z i P X k Y i k X Y = = = = = - 因 此 相 互 獨 立 0 0 ( ) ( ) i i k k P X k P Y i k p k q i k = = = = - = - g 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 3 X Y n p3 0 2 8 3 1 8 . 設(shè) , 是 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 , 它 們 都 服 從 參 數(shù) 為 , 的 二 項 分 布 2 .Z X Y n p= +證 明 服 從 參 數(shù) 為 , 的 二 項 分 布 : 0 1 2 2 .X Y n+ L解 方 法 一 : 可 能 取

26、值 為 ， ， ， ， 0 0 , ( ) k k i i P X Y k P X i Y k i P X i P Y k i = = + = = = = - = = = - g 2 2 0 0 2 k k i n i k i n k i k n k k n k i i n n n n n p q p q p q p q i k i i k i k - - - + - - = = = = = - - 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 4 X Y n p3 0 2 8 3 1 8 . 設(shè) , 是 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量

27、 , 它 們 都 服 從 參 數(shù) 為 , 的 二 項 分 布 2 .Z X Y n p= +證 明 服 從 參 數(shù) 為 , 的 二 項 分 布 1 2 1 2 , , , ; , , n n pm m m m m m L L方 法 二 : 設(shè) , 均 服 從 兩 點 分 布 ( 參 數(shù) 為 ) , 則 1 2 1 2 , n n X Ym m m m m m= + + + = + + + ， 1 2 1 2 , n n X Y m m m m m m+ = + + + + + + + 2 , ) .X Y n p + 服 從 參 數(shù) 為 ( 的 二 項 分 布 大學(xué)數(shù)學(xué)云課

28、堂 2 5 X Y3 0 2 8 3 1 9 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 分 布 律 為 0 1 2 3 4 5 0 0 0 . 0 1 0 .0 3 0 .0 5 0 . 0 7 0 . 0 9 1 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 4 0 . 0 5 0 .0 6 0 . 0 8 2 0 . 0 1 0 .0 3 0 .0 5 0 . 0 5 0 . 0 5 0 .0 6 3 0 .0 1 0 . 0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 . 0 6 0 . 0 5 Y X ( 1 ) 2 2 3 0 P X Y P Y X= = = =求 , ; 5 0 2

29、, 2 2 , 2 0 . 0 5 1 : ( 1 ) 2 | 2 , 2 0 . 2 5 2 , 2 i P X Y P X Y P X Y P Y P X i Y = = = = = = = = = = = = = = 解 3 0 3 , 0 0 , 3 0 . 0 1 1 3 | 0 ; 0 0 . 0 3 3 0 , j P Y X P X Y P Y X P X P X Y j = = = = = = = = = = = = = = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 6 X Y3 0 2 8 3 1 9 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 分 布 律

30、為 0 1 2 3 4 5 0 0 0 . 0 1 0 .0 3 0 .0 5 0 . 0 7 0 . 0 9 1 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 4 0 . 0 5 0 .0 6 0 . 0 8 2 0 . 0 1 0 .0 3 0 .0 5 0 . 0 5 0 . 0 5 0 .0 6 3 0 .0 1 0 . 0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 . 0 6 0 . 0 5 Y X ( 2 ) ma xV X Y=求 ( , ) 的 分 布 律 ; ( 2 ) m a x ( , ) , , P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i= =

31、 = = = 3 5 1 , , 0 , 1 , 2 , 3 , k i k i P X i Y k P X k Y i i = = + = = = + = = = U 的 分 布 律 為 ( ) m i n , 0 1 2 3 0 . 2 8 0 . 3 0 0 . 2 5 0 . 1 7 U X Y P = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 8 X Y3 0 2 8 3 1 9 . 設(shè) 隨 機 變 量 ( , ) 的 分 布 律 為 0 1 2 3 4 5 0 0 0 . 0 1 0 .0 3 0 .0 5 0 . 0 7 0 . 0 9 1 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 4 0

32、. 0 5 0 .0 6 0 . 0 8 2 0 . 0 1 0 .0 3 0 .0 5 0 . 0 5 0 . 0 5 0 .0 6 3 0 .0 1 0 . 0 2 0 .0 4 0 .0 6 0 . 0 6 0 . 0 5 Y X ( 4 ) .W X Y= +求 的 分 布 律 類 似 上 述 過 程 , 有 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 .0 2 0 .0 6 0 . 1 3 0 .1 9 0 . 2 4 0 . 1 9 0 .1 2 0 . 0 5 W X Y P = + 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 2 9 R X Y3 0 2 8 3 2 0 . 雷 達 的 圓 形 屏 幕 半

33、 徑 為 , 設(shè) 目 標(biāo) 出 現(xiàn) 點 ( , ) 在 屏 幕 上 服 從 均 勻 分 ( 1 ) 0 P Y Y X求 ; ( 2 ) ma x 0 .M X Y P M=設(shè) , , 求 2 2 2 2 1 , , : ( , ) 0 , . x y R X Y f x y R + = Q解 ( , ) 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為 其 他 0 , ( 1 ) 0 | P Y Y X P Y Y X P Y X = 0 2 / 4 0 5 4 2 / 4 0 ( , ) d 1 d d 3 / 8 3 ; 1 / 2 4 1 (

34、 , ) d d d R y y x R y x f x y r r R f x y r r R s q s q = = = = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 3 0 R X Y3 0 2 8 3 2 0 . 雷 達 的 圓 形 屏 幕 半 徑 為 , 設(shè) 目 標(biāo) 出 現(xiàn) 點 ( , ) 在 屏 幕 上 服 從 均 勻 分 ( 1 ) 0 P Y Y X求 ; ( 2 ) ma x 0 .M X Y P M=設(shè) , , 求 2 2 2 2 1 , , : ( , ) 0 , . x y R X Y f x y R + = Q解 ( , ) 的 聯(lián) 合

35、概 率 密 度 為 其 他 ( 2 ) 0 m a x ( , ) 0 1 m a x ( , ) 0 P M P X Y P X Y = = - 0 0 1 3 1 0 , 0 1 ( , ) d 1 . 4 4 x y P X Y f x y s = - = - = - = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 3 1 2 1 / 0 1 , x eD y x y x= = = =3 0 2 8 3 2 1 . 設(shè) 平 面 區(qū) 域 由 曲 線 及 直 線 , 所 圍 成 , X Y D二 維 隨 機 變 量 ( , ) 在 區(qū) 域 上 服 從 均 勻 分 布 , 2X Y X x

36、=求 ( , ) 關(guān) 于 的 邊 緣 概 率 密 度 在 處 的 值 為 多 少 ? 2 2 e e 0 1 1 1 : d l n 2 .D S x x x = = = 解 區(qū) 域 的 面 積 為 2 1 1 , 1 e , 0 , , ( , ) 2 0 , . x y X Y f x y x 3 0 2 8 3 2 3 . 設(shè) 某 班 車 起 點 站 上 客 人 數(shù) 服 從 參 數(shù) 為 的 泊 松 分 布 0 1p p< <每 位 乘 客 在 中 途 下 車 的 概 率 為 （ ） , 且 中 途 下 車 與 否 相 互 獨 立 Y以 表 示 在 中 途 下 車 的 人 數(shù) ，

37、: ( 1 ) n m求 在 發(fā) 車 時 有 個 乘 客 的 條 件 下 , 中 途 有 人 下 車 的 概 率 ; ( 2 ) .X Y二 維 隨 機 變 量 ( , ) 的 概 率 分 布 : ( 1 ) | C ( 1 ) , 0 , 0 , 1 , 2 , m m n m n P Y m X n p p m n n - = = = - = L解 ( 2 ) , | P X n Y m P X n P Y m X n= = = = = = e C ( 1 ) , , 0 , 1 , 2 , . ! m m n m n n p p n m n n n l l - - =

38、 - = L ( 2 0 0 1 )研 考 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 3 7 1 2 , 0 . 3 0 . 7 X Y X X 3 0 2 8 3 2 4 . 設(shè) 隨 機 變 量 和 獨 立 , 其 中 的 概 率 分 布 為 ( ) ( ) , .Y f y U X Y g u= +而 的 概 率 密 度 為 求 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 : ( )F y Y U X Y= +解 設(shè) 是 的 分 布 函 數(shù) , 則 由 全 概 率 公 式 , 知 的 分 布 函 數(shù) 為 ( ) 0 . 3 | 1 0 . 7 | 2 G u P X Y u P X Y u X

39、 P X Y u X= + = + = + + = 0 . 3 1 | 1 0 .7 2 | 2 P Y u X P Y u X= - = + - = X Y由 于 和 獨 立 , 可 見 ( ) 0 . 3 1 0 . 7 2 0 . 3 ( 1 ) 0 .7 ( 2 ) .G u P Y u P Y u F u F u= - + - = - + - U由 此 , 得 的 概 率 密 度 為 ( ) ( ) 0 .3 ( 1 ) 0 . 7 ( 2 ) 0 . 3 ( 1 ) 0 . 7 ( 2 ).g u G u F u F u f u f u = = -

40、 + - = - + - ( 2 0 0 2 )研 考 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 3 8 0 , 3X Y3 0 2 8 3 2 5 . 設(shè) 隨 機 變 量 與 相 互 獨 立 , 且 均 服 從 區(qū) 間 上 的 均 勻 分 布 , m a x , 1 .P X Y 求 : 0 3 Q解 隨 機 變 量 服 從 ， 上 的 均 勻 分 布 , 于 是 有 1 1 , 0 3 , , 0 3 , ( ) ( ) 3 3 0 , 0 , 3 ; 0 , 0 , 3 . x y f x f y x x y y = = 1 , 0 3 ,

41、0 3 , ( , ) 9 0 , 0 , 0 , 3 , 3 . x y X Y f x y x y x y = < Q , 相 互 立 , 獨 1 m a x , 1 9 P X Y =故 ( 2 0 0 6 )研 考 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 3 9 , )X Y3 0 2 8 3 2 6 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( 的 概 率 密 度 為 2 , 0 1 , 0 1 ( , ) 0 , x y x y f x y - - < < < 求 ( 2) ( ) . z Z X Y f z= + 的 概 率 密 度 ( 2 0 0 7 )研 考 : ( 1

42、) ( , ) ( , ) | 0 1 , 0 1 ,f x y D x y x y= 解 由 于 僅 在 區(qū) 域 非 零 ( , ) | 2 , 2 x G x y x y x O y y= =而 事 件 域 是 平 面 上 直 線 下 方 的 半 平 面 1 2 , 2 ( , ) x y D G D P X Y f x y d x d y = = I記 則 1 1 2 0 0 7 ( , ) ( 2 ) 2 4 x D f x y d x d y d x x y d y= = - - = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 0 , )X Y3 0 2 8 3 2 6

43、. 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( 的 概 率 密 度 為 2 , 0 1 , 0 1 ( , ) 0 , x y x y f x y - - < < < 求 ( 2) ( ) . z Z X Y f z= + 的 概 率 密 度 ( 2 0 0 7 )研 考 : ( 2 ) ( ) ( , ) Z x y z Z F z P Z z P X Y z f x y d x d y + < = = + = 解 因 為 的 分 布 函 數(shù) 為 , ( , ) | ( , )G x y x y z f x y= + 下 面 就 事 件 域 與 非 零 區(qū) 域 ( , ) | 0

44、1 , 0 1 : z D x y x y D= 的 交 集 的 各 種 可 能 情 形 分 段 計 算 1 ) 0 , , ( ) 0 z Z z D F z = F =當(dāng) 故 2 ) 1 , ( , ) | 0 , 0 , z z D x y x z y z x< = -當(dāng) 0 < 2 3 0 0 1 ( ) ( 2 ) 3 z z x Z F z d x x y d y z z - = - - = - 故 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 1 , )X Y3 0 2 8 3 2 6 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 ( 的 概 率 密 度 為 2 , 0 1 , 0 1 ( ,

45、 ) 0 , x y x y f x y - - < < < 求 ( 2) ( ) . z Z X Y f z= + 的 概 率 密 度 ( 2 0 0 7 )研 考 3 ) 1 2 , ( , ) | 1 1 , 1 , z z D D x y z x z x y = - - - = - - 4 ) 2 , , ( ) 1 . z Z z D D F z = =當(dāng) 時 故 2 3 2 3 0 , 0 1 ( 2 ) , 0 1 , 0 1 3 ( ) , ( ) ( ) ( 2 ) , 1 2 1 1 ( 2 ) , 1 2 0 , 3 1 , 2 Z Z Z z z z z z

46、z z F z Z f z F z z z z z z - < < - < = = = - < - - 即 所 以 的 概 率 密 度 為 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 2 1 , , 3 X Y X P X i3 0 2 8 3 2 7 . 設(shè) 隨 機 變 量 與 相 互 獨 立 的 概 率 分 布 為 = = 1 , 0 1 1 , 0 , 1 , ( ) 0 , Y y i Y f y < = - = 的 概 率 密 度 為 其 他 1 : ( 1 ) | 0 ; ( 2 ) ( ) . 2 z Z X Y P Z X Z f z =記 = +

47、. 求 的 概 率 密 度 ( 2 0 0 8 )研 考 : ( 1 )解 由 條 件 概 率 的 概 念 和 隨 機 變 量 的 獨 立 性 可 得 1 1 1 1 | 0 | 0 | 0 2 2 2 2 P Z X P X Y X P Y X P Y = = + = = = = 1 1 2 2 0 1 ( ) 1 2 Y f y d y d y - = = = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 3 1 , , 3 X Y X P X i3 0 2 8 3 2 7 . 設(shè) 隨 機 變 量 與 相 互 獨 立 的 概 率 分 布 為 = = 1 , 0 1 1 , 0 , 1

48、 , ( ) 0 , Y y i Y f y < = - = 的 概 率 密 度 為 其 他 1 : ( 1 ) | 0 ; ( 2 ) ( ) . 2 z Z X Y P Z X Z f z =記 = + . 求 的 概 率 密 度 ( 2 0 0 8 )研 考 0 , 0 1 , 0 1 ( 2 ) ( ) , ( ) , 0 1 0 , 1 , 1 Y Y y y Y f y Y F y y y y < = = < 因 為 的 概 率 密 度 為 所 以 的 分 布 函 數(shù) 為 其 他 Z由 分 布 函 數(shù) 的 概 念 及 全 概 率 公 式 可 得

49、的 分 布 函 數(shù) 為 ( ) 1 | 1 Z F z P Z z P X Y z P X P X Y z X= = + = = - + = - 0 | 0 1 | 1 P X P X Y z X P X P X Y z X+ = + = + = + = 1 1 0 1 1 P X P Y z P X P Y z P X P Y z= = - + + = + = - 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) 3 Y Y Y F z F z F z= + + + - 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 4 1 ) 1 0 , 1 , 1 0 ,

50、0 , ( 1 ) ( ) ( 1 ) 0 Y Y Y z z z z F z F z F z+ < < - - < < + = = - =當(dāng) 即 時 2 ) 1 1 , 0 , 1 0 , 0 , ( 1 ) 1 , ( ) ( 1 ) 0 Y Y Y z z z z F z z F z F z + < < - < < + = + = - =當(dāng) 0 即 - 1 時 3 ) 1 2 , 1 , 1 0 , ( 1 ) 1 , ( ) , ( 1 ) 0 Y Y Y z z z F z F z z F z + < < - - < + = = - =當(dāng) 1 即 1 時 1 4 ) 1 3 ,

51、 2 , 0 1 1 , ( 1 ) ( ) 1 , ( 1 ) 1 Y Y Y z z z F z F z F z z + < < - < + = = - = -當(dāng) 2 即 1 時 5 ) 1 3 , 2 , 1 1 , ( 1 ) ( ) ( 1 ) 1 Y Y Y z z z F z F z F z+ - + = = - =當(dāng) 即 時 0 , 1 1 , 1 2 1 ( ) , 1 2 , ( ) ( ) 3 3 0 , 1 , 2 Z Z Z z z z F z z Z f z F z z < - - < + = - < = = 故 于 是 的

52、概 率 密 度 為 其 他 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 5 1 2 33 0 2 8 3 2 8 . 袋 中 有 個 紅 球 、 個 黑 球 、 個 白 球 , 現(xiàn) 有 放 回 地 從 袋 中 取 , 1 , , , .X Y Z次 每 次 取 個 球 以 分 別 表 示 兩 次 取 球 所 得 的 紅 球 、 黑 球 與 白 球 的 個 : ( 1 ) 1 | 0 ; ( 2 ) ( , ) .P X Z X Y= =求 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 ( 2 0 0 9 )研 考 : ( 1 ) 1 , 0 , P X Z P= = =解 因 為 兩 次 取 球 只 得 到

53、一 個 紅 球 沒 有 白 球 , , P P= +第 一 次 取 到 紅 球 第 二 次 取 到 黑 球 第 一 次 取 到 黑 球 第 二 次 取 到 紅 球 1 1 2 2 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 2 2 1 1 6 6 6 6 9 C C C C C C = + = + = 1 1 3 3 1 1 6 6 3 3 1 0 6 6 4 C C P Z P C C = = = = =兩 次 取 球 都 沒 有 白 球 1 , 0 4 1 | 0 0 9 P X Z P X Z P Z + = = = = = = 所 以 由 條 件

54、概 率 可 得 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 6 1 2 33 0 2 8 3 2 8 . 袋 中 有 個 紅 球 、 個 黑 球 、 個 白 球 , 現(xiàn) 有 放 回 地 從 袋 中 取 , 1 , , , .X Y Z次 每 次 取 個 球 以 分 別 表 示 兩 次 取 球 所 得 的 紅 球 、 黑 球 與 白 球 的 個 : ( 1 ) 1 | 0 ; ( 2 ) ( , ) .P X Z X Y= =求 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 ( 2 0 0 9 )研 考 ( 2 )( , ) ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ), ( 1 , 0 ),

55、( 1 , 1 ), ( 2 , 0 )X Y 可 能 取 值 為 且 由 古 典 概 率 可 得 1 1 3 3 1 1 6 6 3 3 1 0 , 0 6 6 4 C C P X Y P C C = = = = = =兩 次 都 取 白 球 1 11 1 3 32 2 1 1 1 1 6 6 6 6 2 3 3 2 1 0 , 1 6 6 6 6 3 C CC C P X Y P C C C C = = = = + = + =一 次 取 黑 球 , 一 次 取 白 球 1 1 2 2 1 1 6 6 2 2 1 0 , 2 6 6 9 C C P X Y

56、 P C C = = = = = =兩 次 都 取 黑 球 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 7 1 1 3 3 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 3 3 1 1 1 , 0 6 6 6 6 6 C C P X Y P C C C C = = = = + = + =一 次 取 紅 球 , 一 次 取 白 球 ( , )X Y 二 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 分 布 律 為 1 1 2 2 1 1 1 1 6 6 6 6 1 1 1 2 2 1 1 1 , 1 6 6 6 6 6 C C P X Y P C C C C = = = = + = + =一 次 取

57、 紅 球 , 一 次 取 黑 球 1 1 6 6 1 1 1 1 1 2 , 0 6 6 3 6 P X Y P C C = = = = = =兩 次 都 取 紅 球 0 1 2 0 1 / 4 1 / 3 1 / 9 1 1 / 6 1 / 9 0 2 1 / 3 6 0 0 X Y 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 8 ( , )X Y3 0 2 8 3 2 9 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為 2 2 2 2 ( , ) , , x x y y f x y A e x y - + - = - < < + | ( | ) . Y X A f y x求 常 數(shù) 及

58、條 件 概 率 ( 2 0 1 0 )研 考 :解 由 概 率 密 度 的 性 質(zhì) 可 得 2 2 2 2 ( ) ( , ) t y x x y x x t f x y d x d y A e d x e d y A e d x e d t = - + + + + + + - - - - - - - - - - - = = 令 ( ) 2 2 2 1 ( ) 1 , . x A e d x A A Ap p p + - - = = = = = ( , ) ,x - + 因 為 對 任 意 的 同 樣 可 得 2 2 2 2 2 ( ) 1 1

59、( ) ( , ) ( ) x x y y x y x X f x f x y d y e d y e e d y x p p + + + - + - - - - - - - = = = - 2 2 2 2 1 1 1 x t x x e e d t e ep p p p + - - - - - = = = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 4 9 ( , )X Y3 0 2 8 3 2 9 . 設(shè) 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為 2 2 2 2 ( , ) , , x x y y f x y A e x y - + - = - < < + | ( | ) . Y

60、X A f y x求 常 數(shù) 及 條 件 概 率 ( 2 0 1 0 )研 考 ( , ) ,x - + 故 當(dāng) 時 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1 ( , ) 1 ( | ) ( ) 1 ( ) x x y y x x y y Y X x X e f x y f y x e y f x e p p p - + - - + - - = = = - < < + 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 5 0 X Y3 0 2 8 3 3 0 . 設(shè) 隨 機 變 量 與 的 概 率 分 別 如 表 3 - 1 7 、 表 3 - 1 8 所 示 . 0 1 1 2 3 3 k X p 3 1 7-表 3 1

61、 8-表 1 0 2 1 1 1 3 3 3 k Y p - 2 2 1 . : ( 1 ) ( , ) ;P X Y X Y= =且 求 二 維 隨 機 變 量 的 概 率 分 布 ( 2 ) .Z X Y= 的 概 率 分 布 ( 2 0 1 1 )研 考 2 2 : 1P X Y= =解 ( 1 ) 由 可 得 2 2 0 , 1 0 , 1 1 , 0 0P X Y P X Y P X Y P X Y = = = - + = = + = = = 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 5 1 0 , 1 0 , 1 1 , 0 0P X Y P X Y P X Y = =

62、= = = - = = = = ( , )X Y 的 概 率 分 布 為 0 0 , 1 0 , 0 0 , 1 0 , 0 P X P X Y P X Y P X Y P X Y= = = = - + = = + = = = = = = 1 1 0 , 1 1 , 1 1 , 1 3 P Y P X Y P X Y P X Y= - = = = - + = = - = = = - = 1 1 0 , 1 1 , 1 1 , 1 3 P Y P X Y P X Y P X Y= = = = + = = = = = = 1 0 1 0 0 1

63、/ 3 0 1 1 / 3 0 1 / 3 X Y - 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 5 2 1 , 0 , 1 .Z X Y= -Q( 2 ) 的 可 能 取 值 為 1 1 1 1 , 1 3 P Z P X Y P X Y= - = = - = = = - = 0 0 0 , 0 0 , 1 0 , 1 1 , 0 P Z P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y= = = = = = + = = - + = = + = = = 1 1 1 1 , 1 3 P Z P X Y P X Y= = = = = = = Z X Y = 的 概

64、率 分 布 為 1 0 1 1 1 1 3 3 3 Z P - 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 5 3 2 1 , 0 3 , ( ) 9 0 , x x X f x < < = 3 0 2 8 3 3 1 . 設(shè) 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為 其 他 2 , 1 , 1 2 1 , 2 X Y X X X = < < 令 隨 機 變 量 : ( 1 ) ; ( 2 ) .Y P X Y求 的 分 布 函 數(shù) 概 率 ( 2 0 1 3 )研 考 : 1 , ( ) ( ) 0 ;y Y y F y Pf f< = = =解 ( 1 ) 當(dāng) 時 , 2 , (

65、 ) ( ) 1 ;y Y y F y P Y y = =當(dāng) 時 , 為 必 然 事 件 3 2 2 3 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 8 ) 9 9 2 7 y y F y P Y y P X y P X x d x x d x y < = = < + = + = + 1 時 , 3 0 , 1 1 ( ) ( 1 8 ) , 1 2 2 7 1 , 2 y Y F y y y y < = + < 的 分 布 函 數(shù) 為 大學(xué)數(shù)學(xué)云課堂 5 4 2 1 , 0 3 , ( ) 9 0 , x x X f x < < = 3 0 2 8 3 3 1 . 設(shè) 隨 機 變 量 的 概 率 密 度 為 其 他 2 , 1 , 1 2 1 , 2 X Y X X X = < < 令 隨 機 變 量 : ( 1 ) ; ( 2 ) .Y P X Y求 的 分 布 函 數(shù) 概 率 ( 2 0 1 3 )研 考 2 2 2 0 0 1 8 2 ( ) 9 2 7 P X Y P X f x d x x d x = < = = = ( I I )