《數(shù)學(xué)物理方程 第十三講MP.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)物理方程 第十三講MP.ppt（40頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、三、勒讓德方程的本征值和本征函數(shù)(續(xù)）,,四、勒讓德多項(xiàng)式,四、勒讓德多項(xiàng)式（續(xù)）,,,總結(jié),,,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),一. 特殊值、奇偶性和圖形,二. 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)表示,證 利用二項(xiàng)式定理，有,當(dāng)x的冪次低于l的項(xiàng)變?yōu)?，不為0的項(xiàng)必滿足2l-2kl，即kl/2.,當(dāng)l為偶數(shù)時(shí)，有,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),當(dāng)l為奇數(shù)時(shí)，有,羅德里格斯（Rodrigues）公式,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),二. 勒讓德多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)表示（續(xù)）,三. 勒讓德多項(xiàng)式的積分表示,柯西公式：,C為z平面上圍繞z=x點(diǎn)的任一閉合回路。,施列夫利(Schlafli)積分,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),三. 勒讓德多項(xiàng)式的積分
2、表示（續(xù)）,拉普拉斯積分,3 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì),1. 球坐標(biāo)下有軸對稱的拉普拉斯方程解的普遍性式,如果討論的問題具有軸對稱性，則有,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù),,,,（1）,方程（1）解的普遍形式，即就是球坐標(biāo)系下具有軸對稱性的拉普拉斯方程解的普遍形式為,2.一個(gè)物理問題的解,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（續(xù)）,1. 球坐標(biāo)下有軸對稱的拉普拉斯方程解的普遍性式（續(xù)）,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（續(xù)）,2.一個(gè)物理問題的解（續(xù)）,,,,,,,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（續(xù)）,2.一個(gè)物理問題的解（續(xù)）,,,,,四. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（續(xù)）,2.一個(gè)物理問題的解（續(xù)）,所以原物理問題
3、的解為,3. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù),或,叫作勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（或母函數(shù)）,3. 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（續(xù)）,,根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)可以導(dǎo)出勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式,,五. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式,1.,,,五. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式（續(xù)）,其中,,五. 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式（續(xù)）,4.,2.,3.,,,,,,六. 勒讓德多項(xiàng)式的正交性、完備性與模,先證明：,,,,,,例1:將 在-1,1內(nèi)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)形式,,,,,,,,,,,例2：將 在-1,1內(nèi)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)形式,,,,,只有當(dāng)k=n-1時(shí)，x=0處2n-2階導(dǎo)數(shù)不為0,例4：在電場強(qiáng)度為E0的均勻電場中
4、放一個(gè)接地導(dǎo)體球，半徑為a，求球外電勢的分布.,解：,,,,,,,,,,,,,,,球坐標(biāo)系下具有軸對稱性的拉普拉斯方程解的普遍形式為,,,,5 連帶勒讓德函數(shù)與球函數(shù),一. 連帶勒讓德函數(shù),,另一方面,（1）,一. 連帶勒讓德函數(shù)（續(xù)）,對上式關(guān)于x求導(dǎo)m次，有,連帶勒讓德函數(shù),,一. 連帶勒讓德函數(shù)（續(xù)）,注意：上式雖然是在條件0ml下得到的，但是當(dāng)m滿足 -lm<0時(shí)，上式同樣是本征值問題的相應(yīng)于本征值=l(l+1)的本征函數(shù)，不過它與 線性相關(guān).,,二. 連帶勒讓德函數(shù)基本性質(zhì),稱為l次m階連帶勒讓德函數(shù),三. 球函數(shù),,,,,,,三. 球函數(shù)（續(xù)）,球函數(shù)方程的一個(gè)解,稱為l次球面諧函數(shù)，簡稱球函數(shù)，其中,三. 球函數(shù)（續(xù)）,球函數(shù)的正交性,三. 球函數(shù)（續(xù)）,球函數(shù)的完備性,球函數(shù)的具體形式,
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