第二章第3節(jié) 萬有引力定律的應(yīng)用

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1、三、萬有引力定律的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 1. 知道天體間的相互作用主要是萬有引力。 2. 知道如何應(yīng)用萬有引力定律計算天體質(zhì)量的方法。 3. 通過了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用，體會科學(xué)定律對人類認(rèn)識世界的作用。 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)： 天體質(zhì)量的計算及兩個重要模型的理解 難點(diǎn)： 黃金代換的理解 設(shè)計思想 萬有引力定律在天文學(xué)上應(yīng)用廣泛，與實(shí)際問題、現(xiàn)代科技相聯(lián)系，可以用來發(fā)現(xiàn)新問題，開拓新領(lǐng)域。同時，萬有引力定律與牛頓第二定律、圓周運(yùn)動的知識相結(jié)合，可用來求解天體的質(zhì)量和密度，分析天體的運(yùn)動規(guī)律。本節(jié)課是以計算天體質(zhì)量為問題中心，展開兩個模型的探究和討論，深刻理解黃

2、金代換和萬能公式的物理意義，掌握兩個核心公式的應(yīng)用。計算天體質(zhì)量的兩個模型如下：一是忽略中心天體自傳情況下，中心天體表面物體所受的重力mg近似等于中心天體對物體的引力，即mg=，由此解出M=；一是利用圍繞中心天體運(yùn)動的天體來求解，即=mω2r=來求解。天體的質(zhì)量算出后，還可以利用ρ=來求天體的密度。 教學(xué)資源 《萬有引力定律的應(yīng)用》多媒體課件 教學(xué)設(shè)計 【課堂引入】 故事：在1781年3月13日,這是一個很平常的日子,晴朗而略帶寒意的夜晚,英國天文學(xué)家威廉·赫歇爾（1738—1822）跟往常一樣，在其妹妹加羅琳（1750—1848）的陪同下，用自己制造的口徑為16厘米、焦距為213厘

3、米的反射望遠(yuǎn)鏡，對著夜空熱心地進(jìn)行巡天觀測。當(dāng)他把望遠(yuǎn)鏡指向雙子座時,他發(fā)現(xiàn)有一顆很奇妙的星星,乍一看像是一顆恒星,一閃一閃地發(fā)光,引起了他的懷疑。 經(jīng)過一段時間的觀測和計算這后,這顆一直被看作是“彗星”的新天體,實(shí)際上是一顆在土星軌道外面的大行星——天王星。 天王星被發(fā)現(xiàn)以后,天文學(xué)家們都想目睹這顆大行星的真面目。在人們觀測和計算中,發(fā)現(xiàn)天王星理論計算位置與實(shí)際觀測位置總有誤差,就是這一誤差,引起了人們對“天外星”的探究，并于1846年9月23日發(fā)現(xiàn)了太陽系的第八顆行星——海王星。 海王星被稱為“從筆尖上發(fā)現(xiàn)的行星”，原因就是計算出來的軌道和預(yù)測的位置跟實(shí)際觀測

4、的結(jié)果非常接近。你知道科學(xué)家在推測海王星的軌道時,應(yīng)用的物理規(guī)律主要有哪些嗎? （學(xué)生都會回答萬有引力定律。） 一個成功的理論不僅要能解釋已知的事實(shí)，更重要的是能預(yù)言未知的現(xiàn)象。預(yù)言彗星的回歸和預(yù)言未知天體就充分展示了萬有引力定律的巨大成就。 【課堂學(xué)習(xí)】 學(xué)習(xí)活動一：預(yù)言彗星回歸和未知天體 問題1： 萬有引力定律適用于彗星嗎？你了解哈雷彗星嗎？ 牛頓指出，行星的運(yùn)動規(guī)律同樣適用于彗星。哈雷根據(jù)牛頓的引力理論，對哈雷彗星的軌道運(yùn)動進(jìn)行了計算，預(yù)言了它將于1758年再次出現(xiàn)。后來，克雷洛計算了遙遠(yuǎn)的行星對它的影響，指出它將推遲于1759年4月份經(jīng)過近日點(diǎn)，這個預(yù)言果然得到

5、了證實(shí)。這充分證明了萬有引力定律的正確性，展現(xiàn)了其無窮的魅力。 問題2：除了預(yù)言彗星回歸，萬有引力定律在天文學(xué)上還有何應(yīng)用？ （應(yīng)用萬有引力定律還可以用來發(fā)現(xiàn)未知天體。） 問題3：應(yīng)用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了哪些行星？ （海王星和冥王星就是應(yīng)用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的，憑借著萬有引力定律，通過計算，在筆尖下發(fā)現(xiàn)了新的天體，這充分顯示了科學(xué)理論的威力。） （這部分內(nèi)容主要引導(dǎo)學(xué)生看書，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，也可以讓學(xué)生課后查閱資料。） （過渡：應(yīng)用萬有引力定律可以發(fā)現(xiàn)未知天體，給天文學(xué)的研究開辟了一條新的道路。同時，應(yīng)用萬有引力定律還可以“稱量”地球的質(zhì)量，計算天體的質(zhì)量，這些累累碩果體現(xiàn)了萬有引力定律

6、的巨大理論價值。） 學(xué)習(xí)活動二：計算天體質(zhì)量 問題1：卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室里測量幾個鉛球之間的作用力，測出了引力常量G的值，從而宣稱“稱量”出了地球的質(zhì)量，測出G后,是怎樣“稱量”地球的質(zhì)量的呢？ （只要知道了引力常量G就可以了，忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，在地球表面的物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。） 問題2：設(shè)地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2，地球半徑R=6.4×106 m，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量。 （忽略地球自轉(zhuǎn)，mg=，M=kg=6.0×1024 kg。） （計算過程中應(yīng)該教給學(xué)生估算的方法，不用計算器，不求精確計算，因?yàn)?/p>

7、g和R本身就是取的平均值，地球質(zhì)量也只能估算，只要數(shù)量級對就可以了，本處不太方便展示，建議教師在黑板上給學(xué)生演示估算過程。） 問題3：知道了引力常量G，測出星球表面的重力加速度就可以稱出天體的質(zhì)量了，能否用該方法計算太陽的質(zhì)量？如果不能你能想到什么好方法？ （不能，因?yàn)槲覀儾豢赡苷驹谔柹蠝y其表面的重力加速度。可以利用地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動的模型求解，萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力定律結(jié)合向心力的方程求解。） 問題4：地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑r為1.49×1011 m，公轉(zhuǎn)的周期T是3.16×107s，太陽的質(zhì)量是多少？ （根據(jù)牛頓第二定律，可知：F向=ma向=m·()2r

8、 ① 又因?yàn)镕向是由萬有引力提供的所以F向=F萬=G· ② 所以由①②式聯(lián)立可得M==1.96×1030 kg） （該問題也可不給軌道半徑r和公轉(zhuǎn)周期T，讓學(xué)生根據(jù)常識得出r和T，根據(jù)太陽光傳到地球表面大概需要8min可知r，T即為1年。計算時還是應(yīng)該讓學(xué)生估算，保證數(shù)量級正確即可。） 問題5：根據(jù)以上兩個模型，你能總結(jié)出求解天體質(zhì)量的一般方法嗎？ （方法一：忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體的重力近似的等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，設(shè)地面附近的重力加速度為g，則有，該方程也稱為黃金代換。方法二：行星或衛(wèi)星繞中心天體沿圓軌道做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供行星或衛(wèi)星做勻速圓

9、周運(yùn)動的向心力，即可根據(jù)向心力公式列方程求出處于圓軌道圓心的太陽或地球等中心天體的質(zhì)量?；痉匠淌剑? ，該方程也稱為萬能公式。） 問題6：應(yīng)用黃金代換和萬能公式求解的是哪個天體的質(zhì)量？中心天體還是環(huán)繞天體？ （從兩式的推導(dǎo)過程可知，只能求出中心天體的質(zhì)量，而不能求環(huán)繞天體的質(zhì)量，因?yàn)榄h(huán)繞天體的質(zhì)量同時出現(xiàn)在方程的兩邊，已被約掉。） 問題：1970年我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星，運(yùn)行周期為114 min，衛(wèi)星軌道的平均半徑為7782 km，請據(jù)此計算地球的質(zhì)量。（保留一位有效數(shù)字） 解析：由 得 代入已知得 （過渡：應(yīng)用黃金代換和萬能公式可以求解中心天體的質(zhì)量，進(jìn)而根

10、據(jù)密度公式還可以求解天體的密度。黃金代換和萬能公式是本章的兩個核心公式，幾乎所有與萬有引力有關(guān)的問題都是圍繞這兩個公式的應(yīng)用，該如何理解它們，公式里的各個物理量的意義是什么，應(yīng)用過程中該注意哪些問題呢？下面我們首先討論黃金代換，至于萬能公式的理解我們等到后面再說。） 學(xué)習(xí)活動三： 黃金代換的理解與應(yīng)用 問題1： 大家回憶一下重力的定義是什么？ （由于地球的吸引而使物體受到的力叫重力。） 問題2：地球表面上物體的重力和地球?qū)ξ矬w的萬有引力是一回事嗎？它們的關(guān)系是如何？ （地球上物體的重力是由于地球的吸引而產(chǎn)生的，它并不等于萬有引力。因?yàn)榈厍蛏系奈矬w要隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動半

11、徑r是物體到地軸的距離，向心力大小為F需=mω2r，方向垂直指向地軸。物體隨地球的自轉(zhuǎn)所需的向心力是由地球?qū)ξ矬w萬有引力的一個分力提供的，萬有引力的另一個分力才是通常所說的物體受到的重力，如圖所示。） 問題3：地球表面物體的重力是否恒定不變？若變，怎么變？ （地球上物體的重力會隨緯度變化而變化，這里的原因有兩個：一個是由于在不同緯度上物體隨地球自轉(zhuǎn)時的運(yùn)動半徑不同，因而所需的向心力有所不同；另一個是由于地球并不是一個理想的球體，從精確的測量可知，地球是一個極半徑比赤道半徑略小的橢球體，因而物體位于不同緯度上，地球?qū)λ囊σ簿陀兴煌?。所以隨著緯度的增加，地球?qū)ξ矬w的引力逐漸增大，物體

12、隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力逐漸減小，物體的重力逐漸增大。相應(yīng)的，地球表面的重力加速度也隨緯度的增加而增大。即：在兩極處，F(xiàn)=mg；赤道上，F(xiàn)=mg+Fn） 問題：一顆行星上一晝夜時間T=6小時，用彈簧秤稱一物體，發(fā)現(xiàn)在其赤道上的視重比在其兩極的視重小10%，據(jù)此，求此行星的平均密度。 解析：本題主要考查萬有引力和重力的聯(lián)系，物體放在兩極稱，重力即為萬有引力,故 =mg′，行星質(zhì)量M=.設(shè)該行星的半徑為r,則該行星體積為,該行星密度ρ= 所以ρ= ① 在赤道稱物體，視重小10%，即mg′

13、×10%=mω2r 即=10ω2= ② 將②式代入①得 ρ=kg/m3=3.03×103 kg/m3. 答案：3.03×103 kg/m3 問題4：既然重力是萬有引力的一個分力，黃金代換還能用嗎？ （實(shí)際上，物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力最大也不過是地球?qū)λΦ那Х种畮?，所以在一般情況下，重力和重力加速度隨緯度變化可忽略不計。以物體處在地球赤道上為例計算：物體此時所需向心力最大為，而物體受重力G=mg=10m，可見Fn遠(yuǎn)小于G，在一般情況下根本無需考慮重力與萬有引力的差別，在要求不是特

14、別精確的情況下，黃金代換成立。） 問題5：隨著離開地球表面高度的增加，重力如何變化？ （在地球表面，物體重力=mg0,g0=，但隨高度增大，萬有引力變?yōu)椋?=mg′,g′=，由此可看出物體隨高度的增大其重力減小。） （提醒學(xué)生注意：應(yīng)用黃金代換時應(yīng)看清題目交代的g是哪里的，星球表面還是高空處，各自所對應(yīng)的R取值不同，這也是學(xué)生最容易犯的錯誤。） 問題：地球表面重力加速度g0=9.8 m/s2，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在距離地面高度h=1.0×103m的空中重力加速度g與g0的差值多大？取地球半徑R=6.37×106 m。 解析：不計地球自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力等于物體所受到地球的萬有引力，

15、有 mg=G,mg0=G 所以=0.99969 Δg=g0—g=3.04×10—3 m/s2 【課堂小結(jié)】 問題1： 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)取得了哪些巨大的成就？ 問題2： 計算天體質(zhì)量的兩個模型是什么？ 問題3： 什么是黃金代換和萬能公式？ 問題4： 如何理解黃金代換？ 【板書設(shè)計】 一、預(yù)言彗星回歸和未知天體 二、計算天體質(zhì)量 黃金代換：忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上物體的重力近似的等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力 萬能公式：萬有引力提供行星或衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力 三、黃金代換的理解與應(yīng)用 1.重力是萬有引力的一個分力 2.在兩極處，F(xiàn)=mg；赤道上，F(xiàn)=m

16、g+Fn 3.地球表面：=mg0,g0= 在高空中： =mg′,g′= 4.地球表面，隨著緯度的增加，g增大；隨著高度的增加，g減小。 5. Fn遠(yuǎn)小于G，在一般情況下根本無需考慮重力與萬有引力的差別，直接用黃金代換。 第三節(jié) 萬有引力定律的應(yīng)用 課堂反饋 1、離地面高度h處的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，則高度是地球半徑的（ ） A．2倍 B．1/2倍 C．倍 D．（－1）倍 2、一艘宇宙飛船在一個星球表面附近作圓形軌道環(huán)繞飛行，宇航員要估測該星球的密度，只需要 （

17、 ） A．測定飛船的環(huán)繞半徑 B．測定行星的質(zhì)量 C．測定飛船的環(huán)繞周期 D．測定飛船的環(huán)繞速度 3、由于地球自轉(zhuǎn)，又由于地球的極半徑較短而赤道半徑較長，使得在地球表面的同一物體受到的重力 （ ） A．在兩極較大 B．在赤道較大 C．在兩極跟在赤道一樣大 D．無法判斷 4、假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量M火與地球的質(zhì)量M地之比M火：M地=p，火星的半徑和地球半徑之比R火：R地=q，求火星與地球表面處的重力加速度之比。 5、宇航員

18、在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn)，將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放，經(jīng)時間t后落到月球表面（設(shè)月球半徑為R）。據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動所必須具有的速率為 （ ） A． B． C． D． 6、如圖所示，陰影區(qū)域是質(zhì)量為M、半徑為R的球體挖去一個小圓球后的剩余部分，所挖去的小圓球的球心O'和大球體球心間的距離是0.5R。求球體剩余部分對球體外離球心O距離為2R處的質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P的引力。(P在兩球心OO'連線的延長線上) 參考答案： 1、D

19、 2、C 3、A 4、解析： 由得 5、B 6、6. [解析] 將挖去的球補(bǔ)上,則完整的大球?qū)η蛲赓|(zhì)點(diǎn)P的引力為1==, 半徑為的小球的質(zhì)量 M'=π·ρ=π·=M, 小球?qū)|(zhì)點(diǎn)P的引力為 F2=G=G=, 因而挖去小球后的陰影部分對P質(zhì)點(diǎn)的引力 F=F1-F2=-=. [答案] 課后測評 1、下列說法正確的是(　　) A．海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的 B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的 C．海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的 D．天王星的運(yùn)行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其原因

20、是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此，人們發(fā)現(xiàn)了海王星 2、利用下列數(shù)據(jù)，可以計算出地球質(zhì)量的是(　　) A．已知地球的半徑R和地面的重力加速度g B．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T C．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和線速度v D．已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的線速度v和周期T 3、科學(xué)家們推測，太陽系的第九大行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”。由以上信息我們可以推知(　　) A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等 B．這顆行星的自轉(zhuǎn)周期與地球相等 C．這顆行星的質(zhì)量與地球相等

21、 D．這顆行星的密度與地球相等 4、近地人造衛(wèi)星1和2繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期分別為T1和T2，設(shè)在衛(wèi)星1、衛(wèi)星2各自所在的高度上的重力加速度大小分別為g1、g2，則(　　) A．＝()4/3 B．＝()4/3 C．＝()2 D．＝()2 5、已知地球半徑約為6.4×106 m，又知月球繞地球的運(yùn)動可近似看做圓周運(yùn)動，則可估算出月球到地心的距離為________m．(結(jié)果保留一位有效數(shù)字) 6、已知地球半徑R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2。計算在距離地面高為h＝2×106 m的圓形軌道上的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的線速度v和周期T。

22、 7、假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星，若衛(wèi)星貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動的周期為T1，已知萬有引力常量為G，則該天體的密度是多少？若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得在該處做圓周運(yùn)動的周期為T2，則該天體的密度又是多少？ 參考答案： 1、D 2、D 3、A 4、B 5、解析：地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)所需的向心力，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期為27天，即 　　G＝m·r ① 　　T＝27×24×3600 s 　　G＝m′g　　　　　　　　 ② 　　由①、②兩式可得 　　r＝＝＝4×108 m 6、答案：6.9×103 m/s　7.6×103 s 解析　根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的向心力，有 G＝m 知v＝ ① 由地球表面附近萬有引力近似等于重力，即G＝mg得GM＝gR2② 由①②兩式可得 v＝ ＝6.4×106× m/s ＝6.9×103 m/s 運(yùn)動周期T＝ ＝ s＝7.6×103 s 7、解析　設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M.衛(wèi)星貼近天體表面做勻速圓周運(yùn)動時有 G＝mR，則M＝ 根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知星球的體積V＝πR3 故該星球密度ρ1＝＝＝ 衛(wèi)星距天體表面距離為h時有 G＝m(R＋h) M＝ ρ2＝＝＝