簡單、中檔解答專題強化集訓 反比例函數(shù)綜合題

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1、強化集訓 3 反比例函數(shù)綜合題 類型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合 1 k 1．(2021 煙臺)如圖，正比例函數(shù) y＝ x 與反比例函數(shù) y＝ (x＞0)的圖象交于點 A，過點 A 作 AB⊥y 2 x 軸于點 B，OB＝4，點 C 在線段 AB 上，且 AC＝OC. (1)求 k 的值及線段 BC 的長； (2)點 P 為 B 點上方 y 軸上一點， POC 與△PAC 的面積相等時，請求出點 P 的坐標． 1 解：(1)∵點 A 在正比例函數(shù) y＝ x 上，AB⊥y 軸，OB＝4，∵點 B 的坐標為(0，4)，∴點 A 的縱坐標 2 1 k 是 4，代入

2、 y＝ x，得 x＝8，∴A(8，4)，∵點 A 在反比例函數(shù) y＝ (x＞0)的圖象上，∴k＝4×8＝32，∵ 2 x 點 C 在線段 AB 上，且 AC＝OC.設點 C(c，4)，∵OC＝ OB2＋BC2 ＝ 16＋c2 ，AC＝AB－BC＝8－c，∴ 16＋c2 ＝8－c，解得：c＝3，∴點 C(3，4)，∴BC＝3，∴k＝32，BC＝3； (2)如解圖，設點 P(0，p)，∵點 P 為 B 點上方 y 軸上一點，∴OP＝p，BP＝p－4，∵A(8，4)，C(3， 1 1 4)，∴AC＝8－3＝5，BC＝3，∵△POC 與△PAC 的面積相等，∴

3、×3p＝ ×5(p－4)，解得：p＝10，∴ 2 2 P(0，10). 3 3 k 2．(2021 成都)如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，一次函數(shù) y＝ x＋ 的圖象與反比例函數(shù) y＝ (x＞ 4 2 x 0)的圖象相交于點 A(a，3)，與 x 軸相交于點 B. (1)求反比例函數(shù)的表達式； (2)過點 A 的直線交反比例函數(shù)的圖象于另一點 C，交 x 軸正半軸于點 D，當△ABD 是以 BD 為底的等 腰三角形時，求直線 AD 的函數(shù)表達式及點 C 的坐標． 解：(1)反比例函數(shù)的表達式為 6 y＝ ； x ? x ＝2， ì í

4、 ? 1 ? ? 2 2 1 2 1 2 1 ABP 1 3 1 2 3 3 3 3 3 (2)如解圖，過點 A 作 AE⊥x 軸于點 E，在 y＝ x＋ 中，令 y＝0，得 x＋ ＝0，解得：x＝－2， 4 2 4 2 ∴B(－2，0)，∵E(2，0)，∴BE＝2－(－2)＝4，∵△ABD 是以 BD 為底邊的等腰三角形，∴AB＝AD，∵ AE⊥BD，∴DE＝BE＝4，∴D(6，0)，設直線 AD 的函數(shù)表達式為 y＝mx＋n，∵A(2，3)，D(6，0)， ì?2m＋n＝3， ∴ í ??6m＋n＝0，  解得：

5、ì í ? 3 m＝－ ， 4 9 n＝ ， 2  ∴直線 AD 的函數(shù)表達式為  y ＝－  3 9 x ＋ ，聯(lián)立方程組： 4 2 ì í ?  6 y＝ ， x 3 9 y＝－ x＋ ， 4 2  ìx2＝4， 解得：í (舍去) 3 ??y1＝3， y2＝ ，  3 ∴點 C 的坐標為(4， ). 2 k 3．(2021 淄博)如圖，在平面直角坐標系中，直線y ＝k x＋b 與雙曲線 y ＝ 相交于 A(－2，3)，B(m， 1 1 2 x －2)兩點． (1)求 y ，y 對應的函

6、數(shù)表達式； (2)過點 B 作 BP∥x 軸交 y 軸于點 P，求△ABP 的面積； (3)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關于 x 的不等式 k x＋b＜ k x  的解集． 解：(1)雙曲線的函數(shù)表達式為： 6 y ＝－ ，直線的函數(shù)表達式為： 2 x y ＝－x＋1； (2)過點 A 作 AD⊥BP，交 BP 的延長線于點 D，如解圖，∵BP∥x 軸，∴AD⊥x 軸，BP⊥y 軸，∵A(－ 2，3)，B(3，－2)，∴BP＝3，AD＝3－(－2)＝5，∴ ＝ 1 1 15 BP· AD＝ ×3×5＝ ； 2 2 2 (3)－2＜

7、x＜0 或 x＞3. m 4．(2021 遂寧)如圖，一次函數(shù) y ＝kx＋b(k≠0)與反比例函數(shù) y ＝ (m≠0)的圖象交于點 A(1，2)和 1 2 x B(－2，a)，與 y 軸交于點 M. (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； (2)在 y 軸上取一點 N，當△AMN 的面積為 3 時，求點 N 的坐標； (3)將直線 y 向下平移 2 個單位后得到直線 y ，當函數(shù)值 y ＞y ＞y 時，求 x 的取值范圍． AMN A A 2 3 1 3 1 3 ? ? ? 1 2 3 2 解：(1)反比例函數(shù)解析式為

8、y ＝ ，一次函數(shù)解析式為 y ＝x＋1； 2 x 1 (2)將 x＝0 代入 y＝x＋1 中得，y＝1，即 M(0，1)，∵ ＝  1 2  MN·|x |＝3 且 x ＝1，∴MN＝6，∴ N(0，7)或(0，－5)； (3)如解圖，設 y 與 y 的圖象交于 C，D 兩點，∵y 向下平移 2 個單位得 y 且 y ＝x＋1，∴y ＝x－1， ìy＝x－1， 聯(lián)立í 2 y＝ ， x  ì?x＝－1， ì? 解得í 或í ??y＝－2， ??  x＝2， y＝1，  ∴C(－1，－2)，D(2，1)，∵y ＞y ＞y

9、 ，∴－2＜x＜－1 或 1 ＜x＜2. 1 2 2 2 類型二 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合 1．(2020 廣州)如圖，平面直角坐標系 xOy 中，?OABC 的邊 OC 在 x 軸上，對角線 AC，OB 交于點 M， k 函數(shù) y＝ (x＞0)的圖象經(jīng)過點 A(3，4)和點 M. x (1)求 k 的值和點 M 的坐標； (2)求?OABC 的周長． 解：(1)k＝12，∴M(6，2)； (2)∵AM＝MC，A(3，4)，M(6，2)，∴C(9，0)，∴OC＝9，OA＝ 32＋42 ＝5，∴平行四邊形 OABC 的周長為 2×(5＋9)＝2

10、8. 2．(2021 常德)如圖，在 AOB 中，AO⊥BO，AB⊥y 軸，O 為坐標原點，A 的坐標為(n， 3 )，反 k k 比例函數(shù) y ＝ 的圖象的一支過 A 點，反比例函數(shù) y ＝ 的圖象的一支過 B 點，過點 A 作 AH⊥x 軸于點 1 x 2 x H，若△AOH 的面積為  3 2  . (1)求 n 的值； (2)求反比例函數(shù) y 的解析式． ∴  解：(1)n＝1； (2)過點 B 作 BQ⊥x 軸于點 Q，如解圖，∵AO⊥BO，AB⊥y 軸，∴△BOQ∽△OAH，且 BQ＝AH＝ 3 ， BQ QO 3 QO ＝

11、 ，即 ＝ ，∴QO＝3，∵點 B 位于第二象限，∴點 B 的坐標為(－3， 3 )，將點 B 坐 OH HA 1 3 k －3 3 標代入反比例函數(shù) y ＝ 中，k ＝－3× 3 ＝－3 3 ，∴反比例函數(shù) y 的解析式為：y ＝ . 2 x 2 2 2 x 3．(2021 河南)如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標系的原點 O 重合，邊分別與坐標軸 k 平行，反比例函數(shù) y＝ 的圖象與大正方形的一邊交于點 A(1，2)，且經(jīng)過小正方形的頂點 B. x (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)求圖中陰影部分的面積． 2 解：(1)反比例函數(shù)的解析式為 y

12、＝ ； x (2)∵小正方形的中心與平面直角坐標系的原點 O 重合，邊分別與坐標軸平行，∴設B 點的坐標為(m， 2 2 m)，∵反比例函數(shù) y＝ 的圖象經(jīng)過 B 點，∴m＝ ，∴m2＝2，∴小正方形的面積為 4m2 x m  ＝8，∵大正方 形的中心與平面直角坐標系的原點 O 重合，邊分別與坐標軸平行，且 A(1，2)，∴大正方形在第一象限的 頂點坐標為(2，2)，∴大正方形的面積為 4×22＝16，∴圖中陰影部分的面積＝大正方形的面積－小正方形 的面積＝16－8＝8. m 4．(2021 雅安)已知反比例函數(shù) y＝ 的圖象經(jīng)過點 A(2，3). x (1)

13、求該反比例函數(shù)的表達式； m (2)如圖，在反比例函數(shù) y＝ 的圖象上點 A 的右側(cè)取點 C，過點 C 作 x 軸的垂線交 x 軸于點 H，過點 x A 作 y 軸的垂線交直線 CH 于點 D. ①過點 A，點 C 分別作 x 軸，y 軸的垂線，兩線相交于點 B，求證：O，B，D 三點共線； ②若 AC＝2OA，求證：∠AOD＝2∠DOH. 6 (1)解：反比例函數(shù)的表達式為 y＝ ； x (2)證明：①如解圖，過點 A 作 AM⊥x 軸于點 M，過點 C 作 CN⊥y 軸于點 N，AM 交 CN 于點 B，連 6 6 6 BM 接 OB.∵A(2，3)

14、，點 C 在 y＝ 的圖象上，∴可以設 C(t， )，則 B(2， )，D(t，3)，∴tan ∠BOM＝ x t t OM 6 t 3 DH 3 ＝ ＝ ，tan ∠DOH＝ ＝ ，∴tan ∠BOM＝tan ∠DOH，∴∠BOM＝∠DOH，∴O，B，D 三點共 2 t OH t 線．②設 AC 交 BD 于點 J.∵AD⊥y 軸，CB⊥y 軸，∴AD∥CB，∵AM⊥x 軸，DH⊥x 軸，∴AB∥CD，∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，∵∠ADC＝90°，∴四邊形 ABCD 是矩形，∴AJ＝JC＝JD＝JB，∵AC＝2OA， ∴AO＝AJ，∴∠AOJ＝∠AJO，∵∠AJO＝∠JAD＋∠JDA，∵AD∥CB，∴∠DOH＝∠ADJ，∵JA＝JD， ∴∠JAD＝∠ADJ，∴∠AOD＝2∠ADJ＝2∠DOH.