北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）14《數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用》ppt課件之三

《北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）14《數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用》ppt課件之三》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）14《數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用》ppt課件之三（65頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一、數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)模型 (1)________；一般地，如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的具體量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(常數(shù)) (2)________：一般地，如果增加(或減少)的百分比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型 (3)________：在一個(gè)問(wèn)題中，同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型,(4)________：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱(chēng)該模型為生長(zhǎng)模型如分期付款問(wèn)題，樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等 (5)________：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an1與它的前一

2、項(xiàng)an(或前幾項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)求解問(wèn)題,友情提示：一般涉及遞增率什么的，用到________；涉及依次增加或者減少什么的，用到________，或者有的問(wèn)題是通過(guò)轉(zhuǎn)化得到________的，在解決問(wèn)題時(shí)要往這些方面去聯(lián)系,二、與銀行利率相關(guān)的幾類(lèi)模型 (1)銀行儲(chǔ)蓄單利公式 利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和________. (2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和________. (3)產(chǎn)值模型 原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值________.,(4)

3、分期付款模型 a為貸款總額，r為月利率，b為月等額本息還款數(shù)，n為貸款月數(shù)，則________.,三、數(shù)列綜合應(yīng)用題的解題步驟 (1)________弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容，在每個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，各是什么問(wèn)題 (2)________把整個(gè)大題分解成幾個(gè)小題或幾個(gè)“步驟”，每個(gè)小題或每個(gè)小“步驟”分別是數(shù)列問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題、不等式問(wèn)題等 (3)________分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個(gè)問(wèn)題的解答,(4)________將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中 具體解題步驟如下框圖：,1.零存整取模型 銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零

4、存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整取，規(guī)定每次存入的錢(qián)不計(jì)復(fù)利注：?jiǎn)卫挠?jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，而本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為 利息本金利率存期， 本利和本金(1存期利率) 零存整取是等差數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用,例李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲(chǔ)蓄”從8月1號(hào)開(kāi)始，每個(gè)月的1號(hào)都存入100元，存期三年 (1)已知當(dāng)年“教育儲(chǔ)蓄”存款的月利率是2.7.問(wèn)到期時(shí)，李先生一次可支取本息多少元？ (2)已知當(dāng)年同檔次的“零存整取”儲(chǔ)蓄的月利率是1.725.問(wèn)李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息稅),2定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型 銀行有一

5、種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存例如，儲(chǔ)戶某日存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲(chǔ)戶不取出本利和，則銀行自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和 注：復(fù)利的計(jì)算是把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的復(fù)利的計(jì)算公式為： 本利和本金(1利率)n. 定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存(復(fù)利)是等比數(shù)列求和在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用,例已知本金m1200元，復(fù)利率i7%，期數(shù)n4，求本利和總額S4. 解析：S41200(17%)41572.96(元),3分期付款模型 采用分期付款的方法，購(gòu)買(mǎi)售價(jià)為a元的商品(或貸款a元)，每期付款數(shù)相同，購(gòu)買(mǎi)后1個(gè)月(或1年)付款1次，過(guò)1個(gè)月(或1年)再付1次，

6、如此下去，到第n次付款后全部付清 如果月利率(或年利率)為b，那么每期付款x元滿足下列關(guān)系： 按單利計(jì)息時(shí)為a(1nb)x1(1b)(12b)1(n1)b； 按復(fù)利計(jì)息時(shí)為a(1b)nx1(1b)(1b)2(1b)n1 化簡(jiǎn)得x(1b)n1ab(1b)n.,例某職工年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行為了推動(dòng)住房制度改革，低息貸款年利率為2%，按復(fù)利計(jì)息(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息)若這次貸款要求分10次等額還清，每年一次，從貸款次年年初開(kāi)始還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元？(精確到元),解析：設(shè)每年還款x元，第n年還款后余額為Mn.依題意得： M120000(12%)x， M2M1(12%)x2000

7、0(12%)2x(12%)x， M3M2(12%)x20000(12%)3x(12%)2x(12%)x， M1020000(12%)10 x(12%)9x(12%)8x(12%)x.,4怎樣處理數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題 數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的學(xué)習(xí)已成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)、工作效率、圖形面積、曲線長(zhǎng)度、堆積物品總數(shù)等實(shí)際問(wèn)題，都需要用數(shù)列的知識(shí)加以解決解答數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立模型，其基本步驟如下表,(1)等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 在數(shù)列應(yīng)用題中，若an1與an的關(guān)系滿足an1and(d為常數(shù))時(shí)，則可以應(yīng)用等差數(shù)列模型解決 說(shuō)明：要通過(guò)對(duì)題意的分析

8、，說(shuō)明數(shù)列為等差數(shù)列，然后設(shè)出有關(guān)符號(hào)，如an，d等的意義，這樣才能使閱卷者迅速了解你的解答思路,5模型法 模型法就是在實(shí)際問(wèn)題中，構(gòu)造數(shù)列模型或其他模型，再進(jìn)而構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，通過(guò)構(gòu)造模型使問(wèn)題順利得到解決 運(yùn)用模型法來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)廣泛搜集信息，抓住關(guān)鍵詞，準(zhǔn)確理解題意，要善于抓主要矛盾，類(lèi)比聯(lián)想，從而建立相應(yīng)模型 (1)解決數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題必須準(zhǔn)確探索問(wèn)題所涉及的數(shù)列的模型(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、或與等差、等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列)，或準(zhǔn)確定義問(wèn)題中的數(shù)列,(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或建立遞推公式：如果問(wèn)題所涉及的數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列、或與等差、等比有關(guān)的數(shù)列，等等)，應(yīng)首先建立數(shù)列

9、的通項(xiàng)公式；如果問(wèn)題所涉及的數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，一般應(yīng)考慮先建立數(shù)列的遞推關(guān)系(即an與an1的關(guān)系).,數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的重要內(nèi)容，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟： (1)閱讀理解實(shí)際材料且對(duì)材料作適當(dāng)處理； (2)建立變量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型； (3)討論變量性質(zhì)，挖掘題目中的條件,例1某人有七位朋友第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一個(gè)晚上到他家去，第三位朋友每隔兩個(gè)晚上去他家串門(mén)，第四位朋友每隔三個(gè)晚上去他家做客，依次類(lèi)推，直至第七位朋友每隔六個(gè)晚上在他家出現(xiàn)這七位朋友昨晚在主人家中碰面，他們還會(huì)同一個(gè)晚上

10、在主人家中碰面嗎？,解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天數(shù)為第：2,4,6,8，，這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為：an2n；第三位朋友以后在主人家的天數(shù)為第：3,6,9，，這些數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為：an3n；第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天數(shù)構(gòu)成以4、5、6、7為首項(xiàng)，公差為4、5、6、7的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式分別為an4n，an5n，an6n，an7n；他們要在同一晚上出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)應(yīng)為這七個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)，這一項(xiàng)是2,3,4,5,6,7的倍數(shù)，而2,3,4,5,6,7的最小公倍數(shù)為420，因此第420,840,126

11、0天晚上他們會(huì)同時(shí)在主人家出現(xiàn),變式訓(xùn)練1用分期付款方法購(gòu)買(mǎi)電器一件，價(jià)格為1150元，購(gòu)買(mǎi)當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率為1%，分20次付完，若交付150元以后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第十個(gè)月該交付多少錢(qián)？全部貸款付清后，買(mǎi)這件家電實(shí)際花多少錢(qián)？,解析：購(gòu)買(mǎi)時(shí)付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，設(shè)每月付款數(shù)順次成數(shù)列an，則a15010001%60(元)，a250(100050)1%59.5(600.51)(元)，a350(1000502)1%59(600.52)(元)，，依次類(lèi)推，a1050(1000509)

12、1%55.5(600.59)(元)，an600.5(n1)0.5n60.5(1n20)所以an組成以60為首項(xiàng)，0.5為公差的等差數(shù)列，所以，總數(shù)S2015020a1 d1501255(元)，第十個(gè)月該交55.5元，全部付清實(shí)際花1255元,評(píng)析：審題，建立等差數(shù)列模型，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解，但需注意最后一次付款利息是50元欠款的利息，第一次付款利息是1000元的利息而不是950元，此處易出錯(cuò),解決數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)仔細(xì)審題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)解決問(wèn)題，因此在做題過(guò)程中必須明確建立的是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，明確是求

13、n，還是求an，或是求Sn.,例2陳老師購(gòu)買(mǎi)工程集資房92 m2，單價(jià)為1000元/m2，一次性國(guó)家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款(注)，經(jīng)過(guò)一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按復(fù)利計(jì)算(注)，那么每年應(yīng)付款多少元？(注),注：分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購(gòu)房余額的現(xiàn)價(jià)及這個(gè)房款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生的利息之和 每年按復(fù)利計(jì)算，即本年利息計(jì)入次年的本金生息 必要時(shí)參考下列數(shù)據(jù). 1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216.,解

14、析：設(shè)每年應(yīng)付款x元，那么到最后一次付款時(shí)(即購(gòu)房十年后)，第一年付款及所生利息之和為x1.0759元，第二年付款及所生利息之和為x1.0758元，，第九年付款及其所生利息之和為x1.075元，第十年付款為x元，而所購(gòu)房余款的現(xiàn)價(jià)及其利息之和為100092(2880014400)1.07510488001.07510(元)因此有x(11.0751.07521.0759)488001.07510(元)，所以x488001.07510 488002.0610.0717141(元) 每年需交款7141元,變式訓(xùn)練2為了迎接2008年北京奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)決定治理垃圾經(jīng)調(diào)查，近10年來(lái)我國(guó)城市垃圾的年平均增

15、長(zhǎng)率為3%，到2001年底堆存垃圾已達(dá)60億噸，侵占了約5億平方米的土地，目前我國(guó)還以年產(chǎn)1億噸的速度產(chǎn)生新的垃圾，垃圾治理已刻不容緩！ (1)問(wèn)1991年我國(guó)城市垃圾約有多少億噸？ (2)如果從2002年起，每年處理上年堆存垃圾的 ，到2007年底，我國(guó)城市垃圾約有多少億噸？可節(jié)約土地多少億平方米？,數(shù)列的遞推應(yīng)用問(wèn)題往往是以一定的實(shí)際問(wèn)題作為背景進(jìn)行命題的，該問(wèn)題來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐，解題時(shí)先將實(shí)際生活模型用數(shù)學(xué)公式或等量關(guān)系式列出，然后得出數(shù)列的遞推關(guān)系式適當(dāng)?shù)臅r(shí)候也可以利用特殊化思想方法先求得前幾項(xiàng)，應(yīng)用不完全歸納法得出通項(xiàng)后再進(jìn)行進(jìn)一步的論證其最終目的是把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為an與an1之間的關(guān)

16、系，或an與Sn間的關(guān)系，然后利用所學(xué)知識(shí)加以解決,例3某國(guó)采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1，a2，是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國(guó)家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說(shuō)，如果固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1r)n2，.以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額 (1)寫(xiě)出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式； (2)求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列,

17、解析：(1)由題意有，TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，對(duì)n2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an. 在式兩端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，,例4(2010湖南卷)給出下面的數(shù)表序列： 表1表2表3 1 13 135 4 48 12 其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，，2n1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和,解析：()表4為 1357 4 8 12 122

18、0 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列 將這一結(jié)論推廣到表n(n3)，即 表n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列,由此可知，表n(n3)各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列 ()表n的第1行是1,3,5，，2n1，其平均數(shù)是,由()知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列(從而它的第k行中的數(shù)的平均數(shù)是n2k1)，于是，表n中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為bnn2n1.因此,變式訓(xùn)練4某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，

19、有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案使用期都是10年，到期一次性歸還本息若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？ (取1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665),例5職工小張年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行貸款的年利率為10%，按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金)，若這筆貸款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且從借款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元？(精確到1元),解析：設(shè)每年

20、還款x元，需10年還清，那么每年還款及利息情況如下：第10年還款x元，此次欠款全部還清 第9年還款x元，過(guò)1年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(110%)元 第8年還款x元，過(guò)2年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(110%)2元 ,變式訓(xùn)練5(2009重慶市三區(qū)聯(lián)考題)購(gòu)買(mǎi)一件售價(jià)為5000元的商品，采用分期付款的方法，每期付款數(shù)相同，購(gòu)買(mǎi)后1個(gè)月付款一次，過(guò)1個(gè)月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清如果月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算(上月利息計(jì)入下月本金)，那么每期應(yīng)付款多少元？(精確到1元),解析：設(shè)每期應(yīng)付款x元，則 第一期付款與到最后一期付款所生利息之和為x(10.008)11元； 第二期付款與到最后一期付款所生利息之和為x(10.008)10元； 第十一期付款與到最后一期付款所生利息之和為x(10.008)元； 第十二期付款已沒(méi)有利息問(wèn)題，即為x元,同步檢測(cè)訓(xùn)練,