《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》PPT課件.ppt

上傳人:w****2 文檔編號:16562803 上傳時間:2020-10-12 格式:PPT 頁數(shù):16 大?。?69.50KB
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1、第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用( 2) 基礎(chǔ)梳理 1. 函數(shù)的最大值與最小值 (1)概念:如果在函數(shù)定義域 I內(nèi)存在 x0,使得對任意的 x I,總 有 f(x) f(x0)或 f(x) f(x0),則稱 f(x0)為函數(shù)在定義域上的最 大值 (或最小值 ) (2)求 f(x)在區(qū)間 a, b上的最大值與最小值可以分為兩步: 第一步,求 f(x)在區(qū)間 (a, b)上的極值; 第二步,將第一步中求得的極值與 f(a), f(b)比較,得 f(x)在區(qū) 間 a, b上的最大值與最小值 2. 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這 些問題通常稱為優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)在這一類問題中有著重要

2、的應(yīng)用, 它是求函數(shù)最大 (小 )值的強有力的工具 3. 導(dǎo)數(shù)常常和解含參數(shù)的不等式、不等式的證明結(jié)合起來,應(yīng)注 意導(dǎo)數(shù)在這兩方面的應(yīng)用 基礎(chǔ)達標 1. 已知 f(x)=x2f(2) -3x,則 f(3)=________. 2. 若函數(shù) f(x)=x3-3x+a有 3個不同的零點,則實數(shù) a的取值范圍 是 ________ 3. (選修 2-2P32第 3(1)題改編 )函數(shù) f(x)=2x2-x4(x -2,2)的 值域為 ________ 4. 設(shè)函數(shù) f(x)=x3- -2x+5,若對任意 x -1,2,都有 f(x) m,則實數(shù) m的取值范圍是 ________ 5

3、. 有一邊長分別為 8與 5的長方形,在各角剪去相同的小正方 形,把四邊折起做成一個無蓋小盒,要使紙盒的容積最大,問剪 去的小正方形的邊長應(yīng)為 ________ 2 2x 答案: 1. 3 解析: f( x)=2f(2) x-3,將 x=2代入得 f(2)=4 f(2) -3,解得 f(2)=1 ,故 f( x)=2x-3,將 x=3代入 得 f(3)=2 3-3=3. 2. (-2,2) 解析: f( x)=3x2-3,令 f( x)=0解得 x=1或 x=-1. 結(jié)合圖象分析可 解得 -2 a 2. 3. -8,1 解析: f( x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x)

4、0,解得 x -1或 0 x 1, 即 -2, -1)、 (0,1)為函數(shù)的增區(qū)間, (-1,0)、 (1,2為函數(shù)的 減區(qū)間, 而 f(-2)=f(2)=-8, f(0)=0, f(-1)=f(1)=1,所以函數(shù)的最小值 為 -8,函數(shù)的最大值為 1. 10 10 f f 4. 解析:由 f( x)=3x2-x-2=0,得 x1=1, x2=- . 易知當 x 和 x 1,2時, f( x)0 , 當 x 時, f( x) 0, x=1是極小值點, x=- 是極大值點, f(1)= ,又 f(-1)= , f(2)=7, f(x)min=f(1)=

5、, m . 5. 18 解析:設(shè)正方形邊長為 x,則 V=(8-2x) (5-2x)x=2(2x3- 13x2+20 x) , V=4(3 x2-13x+10) , 由 V=0 得 x=1,或 x= (舍去 ) 當 0 x 1時, V 0,當 1 x 時, V 0, 所以當 x=1時, V有最大值, 即當 x=1時,容積 V取最大值為 18. 7,2 23 21, 3 2,1 3 2 3 7272 72 11 2 50 2x 50 2x 10 3 52 經(jīng)典例題 題型一 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 【 例 1】 (2010陜西改編 )已知函數(shù) f(x)=

6、 , g(x)=aln x, a R.設(shè)函數(shù) h(x)=f(x)-g(x),當 h(x)存在最小值時,求其最小值 F(a)的解析式 x 解: 由條件知 h(x)= -aln x(x 0), 所以 h( x)= - = . 當 a 0時,令 h( x)=0,解得 x=4a2, 所以當 0 x 4a2時, h( x) 0, h(x)在 (0,4a2)上遞減,當 x 4a2時, h( x) 0, 所以 x=4a2是 h(x)在 (0, +) 上的唯一極值點,且是極小值點 ,從而也是 h(x)的最小值點 所以 F(a)=h(4a2)=2a(1-ln 2a) 當 a0 時, h

7、( x)= 0, h(x)在 (0, +) 遞增,無最 小值 故 h(x)的最小值 F(a)=2a(1-ln 2a)(a 0) x 12x a x 22xax 22xax 變式 1-1 已知 a為實數(shù),函數(shù) f(x)=(x2+1)(x+a)若 f( -1)=0,求函 數(shù) y=f(x)在 上的最大值和最小值 . 3,1 2 解: f( x)=3x2+2ax+1. f( -1)=0, 3-2a+1=0,即 a=2, f( x)=3x2+4x+1=3 (x+1) 由 f( x) 0,得 x -1或 x - ; 由 f( x) 0,得 -1 x - . 因此,函數(shù)

8、f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 和 ,單調(diào)遞減 區(qū)間為 , f(x)在 x=-1處取得極大值 f(-1)=2,在 x=- 處取得極小值 f = .又 f = , f(1)=6,且 f(x)在 上的最大值為 f(1)=6,最小值為 f = . 13x 13 13 3,1 2 1,13 11, 3 13 13 50 27 32 13 8 50 13,27 8 3,1 2 32 13 8 題型二 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 【 例 2】 一種變壓器的鐵芯的截面為正十字形,如圖,為保證 所需的磁通量,要求十字型具有 4 cm2的面積,問應(yīng)如何設(shè)計正 十字形的

9、寬 x cm及長 y cm,才能使其外接圓的周長最短,這樣使 繞在鐵芯上的漆包線最??? 5 解: 設(shè)外接圓的半徑為 R cm,則 . 由 x2+4* x=4 ,得 y= . 要使外接圓的周長最小,需要 R取最小值,也即 R2取最小值 設(shè) f(x)=R2= = x2+ + (0 x 2R), 則 f( x)= x- . 令 f( x)= x- =0, 解得 x=2或 x=-2(舍去 ) 當 0 x 2時, f( x) 0; 當 x 2時, f( x) 0. 因此當 x=2時, y=1+ ,此時 R2最小,即 R最小,則周長最小為 2 R=

10、 (cm) 2212R x y 2yx 5 245 2 xx 22 21 4 5 42 xx x 516 52 25x 58 58 310 x 3 10 x 5 10 2 5 變式 2-1 統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量 y(升 )關(guān) 于行駛速度 x(千米 /時 )的函數(shù)解析式可以表示為 y= x3- x+8(0 x120) 已知甲、乙兩地相距 100千米 (1)當汽車以 40千米 /時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油 多少升? (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最 少為多少升? 1128000 3 80 解: (1)當

11、x=40時,汽車從甲地到乙地行駛了 =2.5(小時 ), 要耗油 *2.5=17.5(升 ) 答:當汽車以 40千米 /時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗 油 17.5升 10040 31340 40 8128 000 80 (2)當速度為 x千米 /時時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設(shè) 耗油量為 h(x)升, 依題意得 h(x)= = x2+ - (0 x120) , h( x)= - = (0 x120) 令 h( x)=0,得 x=80, 當 x(0,80) 時, h( x) 0, h(x)是減函數(shù); 當 x(80,1

12、20) 時, h( x) 0, h(x)是增函數(shù) 當 x=80時, h(x)取到極小值 h(80)=11.25. h(x)在 (0,120上只有一個極值, 它是最小值 答:當汽車以 80千米 /時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最 少,最少為 11.25升 100 x 313 8128 000 80 xx100 x 11280 800 x 154 640 x 2800 x 33280640 x x 題型三 導(dǎo)數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用 【 例 3】 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù) f(x)= x2+2ax, g(x)=3a2ln x+b,其中 a 0.設(shè)兩曲線 y=f(x), y=

13、g(x)有公共點, 且在該點處的切線相同 (1)用 a表示 b,并求 b的最大值; (2)求證: f(x) g(x)(x 0) 1 2 解: (1)設(shè) y=f(x)與 y=g(x)(x 0)在公共點 (x0, y0)處的切線相 同 f( x)=x+2a, g( x)= , 由題意知 f(x0)=g(x0), f( x0)=g( x0),即 由 x0+2a= ,得 x0=a,或 x0=-3a(舍去 ), 即有 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a. 令 h(t)= t2-3t2ln t(t 0),則 h( t)=2t(1-3ln t) 23a x 2

14、20 0 0 2 0 0 1 2 3 ln 2 32 x a x a x b axa x 2 0 3ax 12 5 2 52 當 t(1-3ln t) 0,即 0 t 時, h( t) 0; 當 t(1-3ln t) 0,即 t 時, h( t)<0. 故 h(t)在 (0, )上為增函數(shù),在 ( , +) 上為減函數(shù),于是 h(t)在 (0, +) 上的最大值為 h( )= ,即 b的最大值為 . (2)證明:設(shè) F(x)=f(x)-g(x)= x2+2ax-3a2ln x-b(x 0), 則 F( x)=x+2a- = (x 0) 故 F(x)在

15、 (0, a)上為減函數(shù),在 (a, +) 上為增函數(shù) 于是 F(x)在 (0, +) 上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故當 x 0時,有 f(x)-g(x)0 , 即當 x 0時, f(x) g(x) 13e13e 13e 13e 13e 233 2e 233 2e 12 23a x 3x a x ax 鏈接高考 1. (2010 山東改編 )已知某生產(chǎn)廠家的年利潤 y(單位:萬元 )與 年產(chǎn)量 x(單位:萬件 )的函數(shù)關(guān)系式為 y=- x3+81x-234,則使該生 產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為 ________萬件 知識準備: 1.

16、 要知道年利潤的最大值就是函數(shù) y的最大值 2. 已知函數(shù)最高次數(shù)為 3次,必須用導(dǎo)數(shù)來求最值 1 3 答案: 9 解析:令導(dǎo)數(shù) y= -x2+81 0,解得 0 x 9;令導(dǎo)數(shù) y= -x2+81 0,解得 x 9,所以函數(shù) y=- x3+81x-234在區(qū)間 (0,9)上是增函數(shù),在區(qū)間 (9, +) 上是減函數(shù),所以在 x=9處 取極大值,也是最大值 1 3 2. (2010 湖北 )為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗, 房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為 6萬元該建筑物每年 的能源消耗費用 C(單位:萬元 )與隔

17、熱層厚度 x(單位: cm)滿足關(guān) 系: C(x)= (0 x10) ,若不建隔熱層,每年能源消耗費用 為 8萬元設(shè) f(x)為隔熱層建造費用與 20年的能源消耗費用之和 (1)求 k的值及 f(x)的表達式; (2)隔熱層修建多厚時,總費用 f(x)達到最小,并求最小值 知識準備: 1. 根據(jù)題意,要知道不建隔熱層,每年能源消耗費 用為 8萬元,即當 x=0時, C=8. 2. 總費用的最小值可通過建立 f(x)與 x的關(guān)系式來求 35 k x 解: (1)設(shè)隔熱層厚度為 x cm,由題設(shè),每年能源消耗費用 為 C(x)= ,再由 C(0)=8,解得 k=40,故 C(x)= , 而建造費用為 C1(x)=6x, 隔熱層建造費用與 20年的能源消耗費用之和為 f(x)=20C(x)+C1(x)=20* +6x= +6x(0 x10) (2)f( x)=6- ,令 f( x)=0, 解得 x=5或 x=- (舍去 ) 當 0 x 5時, f( x) 0,當 5 x 10時, f( x) 0,故 x=5是 f(x)的最小值點,對應(yīng)的最小值為 f(5)=30+ =70. 當隔熱層修建 5 cm厚時,總費用達到最小值 70萬元 35kx 4035x 40 35x 800 35x 2 240035x 253 80015 5

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