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1、理科數(shù)學(xué) 2018年高三試卷
理科數(shù)學(xué)
考試時(shí)間:____分鐘
題型
單選題
填空題
簡(jiǎn)答題
總分
得分
單選題 (本大題共12小題,每小題____分,共____分。)
1.
A.
B.
C.
D.
2.已知集合,則中元素的個(gè)數(shù)為
A. 9
B. 8
C. 5
D. 4
3.函數(shù)的圖像大致為
A. A
B. B
C. C
D. D
4.已知向量,滿足,,則
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
5.雙曲線的離心率為,則其漸近線方程為
A.
B.
C.
D.
6.在中,,,,則
2、A.
B.
C.
D.
7.為計(jì)算,設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入
A.
B.
C.
D.
8.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如.在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是
A.
B.
C.
D.
9.在長(zhǎng)方體中,,,則異面直線與所成角的余弦值為
A.
B.
C.
D.
10.若在是減函數(shù),則的最大值是
A.
B.
C.
D.
11.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若,則
A.
B
3、. 0
C. 2
D. 50
12.已知,是橢圓的左、右焦點(diǎn),是的左頂點(diǎn),點(diǎn)在過且斜率為的直線上,為等腰三角形,,則的離心率為
A.
B.
C.
D.
填空題 (本大題共4小題,每小題____分,共____分。)
13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.
14.若滿足約束條件 則的最大值為__________.
15.已知,,則__________.
16.已知圓錐的頂點(diǎn)為,母線,所成角的余弦值為,與圓錐底面所成角為45,若的面積為,則該圓錐的側(cè)面積為__________.
簡(jiǎn)答題(綜合題) (本大題共6小題,每小題____分,共____分。)
4、
17.(12分)
記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求,并求的最小值.
18.(12分)
下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.
為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型①:;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型②:.
(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;
(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說明理由.
19.(12分)
設(shè)拋物線的
5、焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線與交于,兩點(diǎn),.
(1)求的方程
(2)求過點(diǎn),且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
20.(12分)
如圖,在三棱錐中,,,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若點(diǎn)在棱上,且二面角為,求與平面所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函數(shù).
(1)若,證明:當(dāng)時(shí),;
(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn),求.
(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.
22.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為
(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標(biāo)方程;
6、(2)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率.
23.[選修4-5:不等式選講](10分)
設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;
(2)若,求的取值范圍.
答案
單選題
1. D 2. A 3. B 4. B 5. A 6. A 7. B 8. C 9. C 10. A 11. C 12. D
填空題
13.
14.
9
15.
16.
簡(jiǎn)答題
17.
(1)設(shè)的公差為d,由題意得.
由得d=2.
所以的通項(xiàng)公式為.
(2)由(1)得.
所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16.
18.
(1)利用模型①
7、,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為
(億元).
利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為
(億元).
(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
理由如下:
(?。恼劬€圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模
8、型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.
以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.
19.
(1)由題意得,l的方程為.
設(shè),
由得.
,故.
所以.
由題設(shè)知,解得(舍去),.
因此l的方程為.
(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以AB的垂直平分線方程為,即.
設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為,則
解得或
9、
因此所求圓的方程為或.
20.
(1)因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,且.
連結(jié).因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危?
且,.
由知.
由知平面.
(2)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
由已知得取平面的法向量.
設(shè),則.
設(shè)平面的法向量為.
由得,可取,
所以.
由已知可得.
所以.解得(舍去),.
所以.
又,所以.
所以與平面所成角的正弦值為.
21.
(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于.
設(shè)函數(shù),則.
當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減.
而,故當(dāng)時(shí),,即.
(2)設(shè)函數(shù).
在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn).
(i)當(dāng)時(shí),,沒有零點(diǎn);
(
10、ii)當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
故是在的最小值.
①若,即,在沒有零點(diǎn);
②若,即,在只有一個(gè)零點(diǎn);
③若,即,由于,所以在有一個(gè)零點(diǎn),
由(1)知,當(dāng)時(shí),,所以.
故在有一個(gè)零點(diǎn),因此在有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),.
22.
(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為.
當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為,
當(dāng)時(shí),的直角坐標(biāo)方程為.
(2)將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于的方程
.①
因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi),所以①有兩個(gè)解,設(shè)為,,則.
又由①得,故,于是直線的斜率.
23.
(1)當(dāng)時(shí),
可得的解集為.
(2)等價(jià)于.
而,且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故等價(jià)于.
由可得或,所以的取值范圍是
解析
單選題
略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略
填空題
略 略 略 略
簡(jiǎn)答題
略 略 略 略 略