《直線的傾斜角與斜率》教案及說明

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1、直線的傾斜角與斜率的教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)目標(biāo) 1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個(gè)反映傾斜程度的幾何量的形成過程。 2、通過教學(xué)，使學(xué)生從生活中的坡度，自然遷移到數(shù)學(xué)中直線的斜率，感受數(shù)學(xué)概念來源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想。 3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面，刻畫直線相對(duì)于x軸傾斜程度的兩個(gè)量這一事實(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。 4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點(diǎn)的直線的斜率計(jì)算公式，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。 二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：1、感悟并形成傾斜角與斜率兩個(gè)概念； 2、推導(dǎo)并初

2、步掌握過兩點(diǎn)的直線斜率公式； 3、體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。 難點(diǎn)：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。 三、教學(xué)方法 計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。即在多媒體課件支持下，讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過程，主動(dòng)建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 四、教學(xué)過程 （一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 問題1、（出示幻燈片）給出的兩點(diǎn)P、Q相同嗎？ 從形的角度看，它們有位置之分，但無大小與形狀之分。 從數(shù)的角度看，如何區(qū)分兩個(gè)點(diǎn)？（用坐標(biāo)區(qū)分） 問題2、過這兩點(diǎn)可作什么圖形？唯一嗎？只經(jīng)過其中一點(diǎn)（如點(diǎn)P）可作多少條直線？若只想

3、定出其中的一條直線，除了再用一點(diǎn)外，還有其他方法嗎？可以增加一個(gè)什么樣的幾何量？（估計(jì)不少學(xué)生能意識(shí)到需要有一個(gè)角） 由此引導(dǎo)學(xué)生歸納，確定直線位置可有兩種方式 （1）已知直線上兩點(diǎn) （2）已知直線上一點(diǎn)和直線的傾斜程度 問題3、角的形成還需一條線，也就是說要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角？（學(xué)生可能回答x軸或y軸） 以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以，習(xí)慣上我們用x軸。 （學(xué)生可能答一條或兩條，投影演示結(jié)果）如何區(qū)分清楚這兩條直線呢？估計(jì)學(xué)生能想到還需要確定方向。 問題4、過點(diǎn)P與x軸形成45角的直線有幾條？

4、 選擇哪個(gè)角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有唯一的角與它對(duì)應(yīng)呢？ （教師引導(dǎo)學(xué)生選取不同的方向來描述角，并區(qū)分L1與L2）。 數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述這個(gè)角呢？（揭示課題） 1、傾斜角的定義：在直角坐標(biāo)系下，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線與軸相交時(shí)，軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角。 學(xué)生練習(xí)畫出過點(diǎn)P的各種傾斜角的直線。 學(xué)生容易忽略與軸平行的直線，補(bǔ)出圖（4），問傾斜角在哪兒？ 如何規(guī)定？ 規(guī)定：當(dāng)直線與軸平行或重

5、合時(shí)，它的傾斜角為0。 自然有傾斜角的范圍是[0，180） 這樣平面直角坐標(biāo)系中每條直線都有唯一一個(gè)確定的傾斜角與它對(duì)應(yīng)。傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。 以上定義了一個(gè)從“形”的角度用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度。 （二）鞏固舊知，同化新知 生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗(yàn)，對(duì)于斜坡的傾斜程度，可以用什么量來反映？（坡角與坡度） 初中對(duì)坡度是如何定義的？ （即坡角的正切值） 坡度（比）= 升高量 前進(jìn)量 當(dāng)坡角增大時(shí)，坡度如何變化？ 當(dāng)坡角=90與0時(shí)，升高量、前進(jìn)量分別是什么？坡度又分別是什么？

6、坡角、坡度都能反映傾斜程度，遷移到數(shù)學(xué)中，坡角相當(dāng)于直線的傾斜角，而坡度則對(duì)應(yīng)于直線的斜率。 2、斜率：傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即 問題5、當(dāng)為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？（轉(zhuǎn)化到其補(bǔ)角上） 如：傾斜角，則斜率 x y o 問題6、當(dāng)在[0，180）內(nèi)變化時(shí)，斜率k如何變化？ 問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？ 傾斜角能從形的角度刻畫傾斜程度，而斜率是比值，實(shí)質(zhì)是數(shù)值，它能從數(shù)的角度反映傾斜的程度，顯然用斜率更細(xì)致入微些。 （三）嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí) 兩點(diǎn)確定一條直線，可見由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾

7、斜程度，即傾斜角與斜率?？磥?，直線上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。 問題8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k？ （學(xué)生活動(dòng)）：隨意在坐標(biāo)系下畫兩點(diǎn)P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量，前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)，并請(qǐng)同學(xué)敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過程與結(jié)果。 解：設(shè)直線P1 P2傾斜角為（90）當(dāng)直線P1 P2方向向上時(shí)，過點(diǎn)P1作軸的平行線，過點(diǎn)P2作軸的平行線，兩線交于點(diǎn)Q，則

8、點(diǎn)Q為（x2，y1） （1）當(dāng)為銳角時(shí)，，， 在中， （2）當(dāng)為鈍角時(shí)，（設(shè)=），， = 在中， （可讓學(xué)生分組推導(dǎo)） 同理，當(dāng)直線P2P1方向向上時(shí)，無論為銳角或鈍角，也有，即 思考：1、各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？與P1、P2這兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？ 2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？ 3、斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問題？ 鞏固練習(xí)：求經(jīng)過下列兩點(diǎn)直線的斜率，并判斷傾斜角是銳角還是鈍角。 （1）A（3,2）,B（-4,1）（） （2）A（3,2）,B（4,1）（） （3）A（3,2）,B（3,-1）（不存在） （4）A（3,2）,B（-4,2）（）

9、 （四）反思小結(jié)，概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？） 1、明確了確定直線位置的幾何要素。 2、理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法） 3、經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想 (五)板書設(shè)計(jì) 直線的傾斜角與斜率 （學(xué)生展示推導(dǎo)斜率公式的圖形） 1、傾斜角的定義 范圍[0，180） 2、直線的斜率 （） 為鈍角時(shí)， （六）作業(yè)：①自學(xué)課本P85：例1、例2； ②作業(yè)本：P89：1、2、3。 【教案說明】直線的傾斜角與

10、斜率 一、教學(xué)內(nèi)容與地位作用解析 本節(jié)課是新人教版A版高一數(shù)學(xué)必修（2）的3.1.1節(jié)的內(nèi)容。 1、內(nèi)容分析 本節(jié)課的主要內(nèi)容有兩個(gè)概念（直線的傾斜角、直線的斜率）及一個(gè)公式（斜率計(jì)算公式） 直線的傾斜角是反映直線傾斜方向的量，它也是確定直線位置的一個(gè)重要的幾何要素，它實(shí)質(zhì)上能從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度。 直線的斜率指傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。教材是從生活中斜坡的坡度遷移到直線的斜率概念的。直線的斜率可看作是比值，實(shí)質(zhì)上是數(shù)值，所以直線的斜率從本質(zhì)上可看成是從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”

11、。顯然，與傾斜角相比，用斜率刻畫傾斜程度會(huì)更細(xì)致。 關(guān)于過已知兩點(diǎn)的直線斜率公式：因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線是唯一確定的，所以其傾斜程度也就確定（即直線的斜率也是確定的）。從而在直角坐標(biāo)系中，直線的斜率與直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)就有密不可分的聯(lián)系。斜率不僅反映了這種聯(lián)系，并用代數(shù)方法表示了出來，而且在公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)含了分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想。 2、地位作用分析 本節(jié)課是高中解析幾何部分的起始課，學(xué)生具備的知識(shí)基礎(chǔ)是在直角坐標(biāo)系中會(huì)用坐標(biāo)表示點(diǎn)，明確了坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，不僅能反映出數(shù)學(xué)概念離不開生活，數(shù)學(xué)是自然有用的，而且蘊(yùn)含了幾何問題代數(shù)化的思

12、想，從知識(shí)點(diǎn)及研究方法上，為后繼判斷兩條直線的位置關(guān)系以及建立直線的方程等內(nèi)容起著關(guān)鍵性的鋪墊作用。 二、教學(xué)目標(biāo)解析 1、探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個(gè)反映傾斜程度的幾何量的形成過程； 2、通過教學(xué)，使學(xué)生從生活中坡度自然遷移到數(shù)學(xué)中直線的斜率的過程，感受數(shù)學(xué)概念來源于生活實(shí)際，數(shù)學(xué)概念的形成是自然的，從而滲透辯證唯物主義思想； 3、充分利用傾斜角和斜率是從數(shù)與形兩方面刻畫直線相對(duì)于x軸傾斜程度的兩個(gè)量這一事實(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想； 4、經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，初步掌握過已知兩點(diǎn)的直線的斜率計(jì)算公式，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想。 三、教學(xué)問題診斷分析

13、 1、關(guān)于傾斜角的概念：為什么要引入傾斜角？如何描述這個(gè)角？這些地方都是教學(xué)中易忽略的，也是學(xué)生最難理解的地方。直接給出傾斜角的定義，會(huì)使學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)學(xué)概念就是絕對(duì)抽象的，你只要接受就可以了，這樣我們就把活生生的、自然的數(shù)學(xué)演變成高不可攀的，為聰明人準(zhǔn)備的學(xué)科，會(huì)漸漸使許多學(xué)生變得被動(dòng)學(xué)習(xí)，缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣及自信心。所以，在引入這節(jié)課時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)讓學(xué)生感受引入傾斜角的必要性，要描述清楚傾斜角必須規(guī)定“基準(zhǔn)”與“直線方向”，從而能自然地、準(zhǔn)確地描述清楚定義。 2、對(duì)于斜率，學(xué)生基本上能從斜坡的坡度中順利遷移過來，當(dāng)傾斜角為90及0時(shí)可以特殊認(rèn)識(shí)，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)(與斜坡稍有不同)斜率的求法應(yīng)重

14、點(diǎn)分析，突出轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)P83頁(yè)的腳注，使學(xué)生對(duì)所有直線的斜率情況有全面的認(rèn)識(shí)。 另外，傾斜角和斜率分別是從“形”與“數(shù)”的不同方面刻畫直線的傾斜程度，相比較斜率更具有優(yōu)越性。 3、斜率計(jì)算公式的得出，學(xué)生有兩點(diǎn)不易把握。一方面，怎樣將兩點(diǎn)坐標(biāo)與相聯(lián)系；另一方面，圖形分析不夠全面。對(duì)前者，可提供學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，對(duì)后者教師可先讓學(xué)生在直角坐標(biāo)系下聯(lián)想坡度，找升高量與前進(jìn)量，再引導(dǎo)其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示。 公式的推導(dǎo)過程是多數(shù)學(xué)生能獨(dú)立解決的，教學(xué)中應(yīng)放手讓學(xué)生推導(dǎo)并體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生研究問題的獨(dú)立性、條理性、全面性。 教學(xué)重點(diǎn)：1、感悟并形成傾斜角

15、與斜率兩個(gè)概念； 2、推導(dǎo)并初步掌握過兩點(diǎn)的直線斜率公式； 3、體會(huì)數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用。 教學(xué)難點(diǎn)：用代數(shù)方法推導(dǎo)斜率的過程。 四、本節(jié)課的教學(xué)方法： 計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)與發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。即在多媒體課件支持下，讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下，積極探索，親身經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)與形成過程，體驗(yàn)公式的推導(dǎo)過程，主動(dòng)建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題 問題1、給出的兩點(diǎn)P、Q相同嗎？如何區(qū)分這兩個(gè)點(diǎn)？ 問題2、過這兩點(diǎn)可作什么圖形？只經(jīng)過其中一點(diǎn)（如點(diǎn)P）可作多少條直線？若只想定出其中的一條直線，除了再

16、用一點(diǎn)外，還有其他方法嗎？可以增加一個(gè)什么幾何量？ 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納確定直線位置的幾何要素 問題3、角的形成還需一條線。即要有刻畫傾斜程度的角，就必須還有一條形成角的參照的直線。在平面直角坐標(biāo)系下，以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角？ 問題4、過點(diǎn)P與x軸形成45角的直線有幾條？如何區(qū)分這兩條直線？ 選擇哪個(gè)角來描述直線的傾斜程度，就能保證坐標(biāo)系下的任何一條直線都有唯一的角與它對(duì)應(yīng)呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】?jī)A斜角的形成離不開“基準(zhǔn)”與“直線方向”的規(guī)定，同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念是自然的以及數(shù)學(xué)定義的統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，從而提示本節(jié)課的課題。 〖學(xué)生練習(xí)〗畫出過一點(diǎn)的各類傾斜角的直線，并

17、完善傾斜角的定義。 （二）鞏固舊知，同化新知 根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，將坡度自然遷移到斜率的概念上，通過坡角（傾斜角）的變化，感受斜率的變化，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念是親切的，激發(fā)其求知欲。 問題5：生活中坡角沒鈍角，當(dāng)為鈍角時(shí)，直線的斜率如何求？ 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生會(huì)用轉(zhuǎn)化思想求為鈍角時(shí)的斜率，明確課本腳注的用法。 問題6、當(dāng)在[0，180）內(nèi)變化時(shí)，斜率k如何變化？ 【設(shè)計(jì)意圖】更條理、更全面地認(rèn)識(shí)斜率與傾斜角的變化關(guān)系。 問題7、傾斜角與斜率都能刻畫直線的傾斜程度，哪個(gè)量更優(yōu)越呢？ 【設(shè)計(jì)意圖】突出斜率刻畫傾斜程度的優(yōu)越性是更細(xì)致入微，使用方便簡(jiǎn)潔。 （三）嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)識(shí)

18、 兩點(diǎn)確定唯一一條直線，可見由兩點(diǎn)也就確定了直線的傾斜程度，即傾斜角與斜率?？磥?，直線上兩點(diǎn)與直線的斜率有著密不可分的聯(lián)系。 問題8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn)：P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1 x2，能否用P1 、P2的坐標(biāo)來表示直線斜率k？ （學(xué)生活動(dòng)）：在坐標(biāo)系下畫兩點(diǎn)P1 、P2及直線P1 P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)。教師可適當(dāng)引導(dǎo)其將斜坡截面圖遷移到坐標(biāo)系中，類似升高量與前進(jìn)量，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)，請(qǐng)同學(xué)敘述各個(gè)圖的推導(dǎo)過程與結(jié)果。 【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生提供充分的自主探索的時(shí)間與空間，克服公式推導(dǎo)中不易把握的兩點(diǎn)（1、兩點(diǎn)坐標(biāo)與的聯(lián)系；2、圖形分析不全面

19、），培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想，促進(jìn)思維的獨(dú)立性、全面性，邏輯性。 思考：1、各種情形得出的結(jié)論一致嗎？與兩點(diǎn)坐標(biāo)順序有關(guān)系嗎？ 2、當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)果適用嗎？ 3、斜率公式使用時(shí)應(yīng)注意什么問題？ 【設(shè)計(jì)意圖】熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征及適用范圍。 （四）反思小結(jié)，概括提煉（同學(xué)們這節(jié)課有何收獲？） 1、明確了確定直線位置的幾何要素。 2、理解了刻畫傾斜程度的量（傾斜角與斜率），知道了求斜率的兩種方法（定義法、坐標(biāo)法） 3、經(jīng)歷了代數(shù)方法刻畫斜率的過程,感受了數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想 六、預(yù)期效果分析 1、兩個(gè)概念的形成，估計(jì)通過問題情境的設(shè)置，學(xué)生能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，而且這樣設(shè)計(jì)之后，概念得出是自然的，不是強(qiáng)加于人的。 2、斜率公式的推導(dǎo)可能存在學(xué)生對(duì)圖形考慮不全面的問題，需要教師適當(dāng)進(jìn)行引導(dǎo)。