概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章課后習(xí)題答案

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1、習(xí)題三 1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 1 0 0 3 0 0 2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律. 【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表： X Y 0 1 2 3 0 0 0 1 0 2 P(0黑,2紅,2白)= 0 3

2、.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率. 【解】如圖 題3圖 說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。 4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= 求：（1） 常數(shù)A； （2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由 得 A=12 （2） 由定義，有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（

3、x，y）= （1） 確定常數(shù)k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性質(zhì)有 故  （2） (3) (4) 題5圖 6.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為 fY（y）= 求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}. 題6圖 【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布

4、，所以X的密度函數(shù)為 而 所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求（X，Y）的聯(lián)合分布密度. 【解】 8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 【解】 題8圖 題9圖 9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 【解】

5、 題10圖 10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 試確定常數(shù)c； （2） 求邊緣概率密度. 【解】（1） 得. (2) 11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 題11圖 【解】 所以 12.袋中有五個號碼1，2，3

6、，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y. （1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布； （2） X與Y是否相互獨(dú)立？ 【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表 Y X 3 4 5 1 2 0 3 0 0 (2) 因 故X與Y不獨(dú)立 13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X Y 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05

7、 0.12 0.03 （1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布； （2） X與Y是否相互獨(dú)立？ 【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表 X Y 2 5 8 P{Y=yi} 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38 (2) 因 故X與Y不獨(dú)立. 14.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為 fY（y）= （1）求X和Y的聯(lián)合概率密度； （2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根

8、的概率. 【解】（1） 因 故 題14圖 (2) 方程有實根的條件是 故 X2≥Y， 從而方程有實根的概率為： 15.設(shè)X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為 f（x）= 求Z=X/Y的概率密度. 【解】如圖,Z的分布函數(shù) (1) 當(dāng)z≤0時， （2） 當(dāng)0

9、 題15圖 (3) 當(dāng)z≥1時，（這時當(dāng)y=103時，x=103z）（如圖b） 即 故 16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4 只，求其中沒有一只壽命小于180的概率. 【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202）， 從而

10、17.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為 P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，…. 證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為 P{Z=i}=，i=0，1，2，…. 【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)， 所以 于是 18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布. 【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n.

11、 方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則 X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項分布. 19.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X Y 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01

12、0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，

13、Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1） （2） 所以V的分布律為 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3) 于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)類似

14、上述過程，有 W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}. 題20圖 【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為 （1）

15、(2) 21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？ 題21圖 【解】區(qū)域D的面積為 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 （X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為 所以 22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. X Y y1 y2 y3

16、 P{X=xi}=pi x1 x2 1/8 1/8 P{Y=yj}=pj 1/6 1 【解】因, 故 從而 而X與Y獨(dú)立，故, 從而 即： 又 即 從而 同理 又,故. 同理 從而 故 Y X 1 23.設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0

17、，Y）的概率分布. 【解】(1) . (2) 24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨(dú)立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,

18、Y}≤1}. 解：因為隨即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有 因為X，Y相互獨(dú)立，所以 推得 . 26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為 X Y -1 0 1 -1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中a,b,c

19、為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)= -0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，記Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知， a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由，可得 . 再由 , 得 . 解以上關(guān)于a，b，c的三個方程得 . (2) Z的可能取值為-2，-1，0，1，2， ， ， ， ， ， 即Z的概率分布為 Z -2 -1 0

20、 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3) . 習(xí)題四 1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) (2) (3) 2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差. 【解】設(shè)任

21、取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為 X 0 1 2 3 4 5 P 故 3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 X -1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因……①, 又……②, ……③ 由①②③聯(lián)立解得 4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，

22、問從袋中任取1球為白球的概率是多少？ 【解】記A={從袋中任取1球為白球}，則 5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f（x）= 求E（X），D（X）. 【解】 故 6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ -4X. 【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相

23、互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）. 【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 試確定常數(shù)k，并求E（XY）. 【解】因故k=2 . 9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 fX（x）= fY（y）= 求E（XY）. 【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為 于是 10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為 fX

24、（x）= fY（y）= 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）. 【解】 從而(1) (2) 11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f（x）= 求（1） 系數(shù)c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由得. (2) (3) 故 12.袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機(jī)器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）. 【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則

25、X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為 f（x）= 為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望. 【解】廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有

26、兩個值：100元和 -200元 故 (元). 14.設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記 ，S2=. （1） 驗證=μ， =； （2） 驗證S2=； （3） 驗證E（S2）=σ2. 【證】(1) (2) 因 故. (3) 因,故 同理因,故. 從而 15.對隨機(jī)變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1, 計算：Cov（3

27、X -2Y+1，X+4Y -3）. 【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似). 16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的. 【解】設(shè). 同理E(Y)=0. 而 , 由此得,故X與Y不相關(guān). 下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時， 當(dāng)|y|≤1時，. 顯然 故X和Y不是相互獨(dú)立的. 1

28、7.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為 X Y -1 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的. 【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表 X -1 0 1 P Y -

29、1 0 1 P XY -1 0 1 P 由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0, 即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的. 又 從而X與Y不是相互獨(dú)立的. 18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為 題18圖 從而 同理 而 所以 . 從而 19.設(shè)

30、（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY. 【解】 從而 同理 又 故 20.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 從而 故 21.對于兩個隨機(jī)變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明： ［E（VW）］2≤E（V

31、2）E（W2）. 這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy -Schwarz）不等式. 【證】令 顯然 可見此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0， 即 故 22.假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時間X服從參數(shù)λ=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時開機(jī)，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時間Y的分布函數(shù)F（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機(jī)后無故障的工作時間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時間X~E(λ),E(X)==5. 依題意Y=min(X,2). 對于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 對于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1. 對于0≤y<2,當(dāng)x≥0時，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為 P{X≤x}=1 -e -λx,所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 -e -y/5.