實驗三求代數(shù)方程的近似根

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1、實驗三　求代數(shù)方程的近似根（解） 一、問題背景和實驗目的 二、 相關(guān)函數(shù)（命令）及簡介 三、 實驗內(nèi)容 四、自己動手 　 　 一、問題背景和實驗目的 求代數(shù)方程的根是最常見的數(shù)學問題之一（這里稱為代數(shù)方程，主要是想和后面的微分方程區(qū)別開．為簡明起見，在本實驗的以下敘述中，把代數(shù)方程簡稱為方程），當是一次多項式時，稱為線性方程，否則稱之為非線性方程． 當是非線性方程時，由于的多樣性，尚無一般的解析解法可使用，但如果對任意的精度要求，能求出方程的近似根，則可以認為求根的計算問題已經(jīng)解決，至少能滿足實際要求． 本實驗介紹一些求方程實根的近似值的有效方法，要求在使用這些方法前先

2、確定求根區(qū)間，或給出某根的近似值．在實際問題抽象出的數(shù)學模型中，可以根據(jù)物理背景確定；也可根據(jù)的草圖等方法確定，還可用對分法、迭代法以及牛頓切線法大致確定根的分布情況． 通過本實驗希望你能： 1. 了解對分法、迭代法、牛頓切線法求方程近似根的基本過程； 2. 求代數(shù)方程（組）的解． 二、 相關(guān)函數(shù)（命令）及簡介 1．a(chǎn)bs( )：求絕對值函數(shù)． 2．diff(f)：對獨立變量求微分，f 為符號表達式． diff(f, a)：對變量a求微分，f 為符號表達式． diff(f, a, n)：對變量 a 求 n 次微分，f 為符號表達式． 例如： syms x t diff

3、(sin(x^2)*t^6, t, 6) ans= 720*sin(x^2) 3．roots([c(1), c(2), …, c(n+1)])：求解多項式的所有根．例如： 求解：． p = [1 -6 -72 -27]; r = roots(p) r = 12.1229 -5.7345 -0.3884 4．solve(表達式)：求表達式的解． solve(2*sin(x)=1) ans = 1/6*pi 5．linsolve(A, b)：求線性方程組 A*x=b 的解． 例如： A= [9 0; -1 8]; b=[1; 2]; linso

4、lve(A, b) ans= [ 1/9] [19/72] 6．fzero(fun, x0)：在x0附近求fun 的解．其中fun為一個定義的函數(shù)，用“@函數(shù)名”方式進行調(diào)用． 例如： fzero(@sin, 3) ans= 3.1416 7．subs(f, x , a)：將 a 的值賦給符號表達式 f 中的 x，并計算出值． 例如： subs(x^2 , x , 2) ans = 4 三、 實驗內(nèi)容 首先，我們介紹幾種與求根有關(guān)的方法： 1．對分法 對分法思想：將區(qū)域不斷對分，判斷根在某個分段內(nèi)，再對該段對分，依此類推，直到滿足精度為止．對分法適用

5、于求有根區(qū)間內(nèi)的單實根或奇重實根． 設在上連續(xù)，，即 ，或，．則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在內(nèi)至少存在一點 ，使． 下面的方法可以求出該根： (1) 令，計算； (2) 若，則是的根，停止計算，輸出結(jié)果． 若 ，則令，，若，則令，；． ……，有、以及相應的． (3) 若 (為預先給定的精度要求)，退出計算，輸出結(jié)果； 反之，返回(1)，重復(1)，(2)，(3)． 以上方法可得到每次縮小一半的區(qū)間序列，在中含有方程的根． 當區(qū)間長很小時，取其中點為根的近似值，顯然有 以上公式可用于估計對分次數(shù)． 分析以上過程不難知道，對分法的收斂速度與公比為的等比級數(shù)相同．由于，可知

6、大約對分10次，近似根的精度可提高三位小數(shù)．對分法的收斂速度較慢，它常用來試探實根的分布區(qū)間，或求根的近似值． 2. 迭代法 1) 迭代法的基本思想： 由方程構(gòu)造一個等價方程 從某個近似根出發(fā)，令 ， 可得序列，這種方法稱為迭代法． 若 收斂，即 ， 只要連續(xù)，有 即 可知，的極限是的根，也就是的根． 當然，若發(fā)散，迭代法就失?。? 以下給出迭代過程收斂的一些判別方法： 定義：如果根的某個鄰域中，使對任意的，迭代過程，收斂，則稱迭代過程在附近局部收斂． 定理1： 設，在的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，并且，，則對任何，由迭代決定的序列收斂于． 定理2：條件同定理

7、 1，則 定理3：已知方程，且 (1) 對任意的，有． (2) 對任意的，有，則對任意的，迭代生成的序列收斂于的根，且 ． 以上給出的收斂定理中的條件要嚴格驗證都較困難，實用時常用以下不嚴格的標準： 當根區(qū)間較小，且對某一，明顯小于1時，則迭代收斂 (參見附錄3)． 2) 迭代法的加速： a) 松弛法： 若與同是的近似值，則是兩個近似值的加權(quán)平均，其中稱為權(quán)重，現(xiàn)通過確定看能否得到加速． 迭代方程是： 其中，令，試確定： 當時，有，即當，時， 可望獲得較好的加速效果，于是有松弛法：， 松弛法的加速效果是明顯的 (見附錄4)，甚至不收斂的迭代函數(shù)經(jīng)加

8、速后也能獲得收斂． b) Altken方法： 松弛法要先計算，在使用中有時不方便，為此發(fā)展出以下的 Altken 公式： ，是它的根，是其近似根． 設，，因為 ， 用差商近似代替，有 ， 解出，得 由此得出公式 ； ； ， 這就是Altken 公式，它的加速效果也是十分明顯的，它同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂(見附錄5)． 3. 牛頓(Newton)法（牛頓切線法） 1) 牛頓法的基本思想： 是非線性方程，一般較難解決，多采用線性化方法． 記： 是一次多項式，用作為的近似方程． 的解為 記為，一般地，記 即為牛頓法公式.

9、 2) 牛頓法的收斂速度： 對牛頓法，迭代形式為： 注意分子上的，所以當時，，牛頓法至少是二階收斂的，而在重根附近，牛頓法是線性收斂的． 牛頓法的缺點是：(1)對重根收斂很慢；(2)對初值要求較嚴，要求相當接近真值． 因此，常用其他方法確定初值，再用牛頓法提高精度． 4. 求方程根(解)的其它方法 (1) solve(x^3-3*x+1=0) (2) roots([1 0 -3 1]) (3) fzero(x^3-3*x+1, -2) (4) fzero(x^3-3*x+1, 0.5) (5) fzero(x^3-3*x+1, 1.4) (6) linsolv

10、e([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 0], [1, 2, 3]) 體會一下，(2)(5) 用了上述 13 中的哪一種方法？ 以下是本實驗中的幾個具體的實驗，詳細的程序清單參見附錄． 具體實驗1：對分法 先作圖觀察方程：的實根的分布區(qū)間，再利用對分法在這些區(qū)間上分別求出根的近似值． 輸入以下命令，可得的圖象： f=x^3-3*x+1; g=0; ezplot(f, [-4, 4]); hold on; ezplot(g, [-4, 4]); %目的是畫出直線 y=0，即 x 軸 grid on; axis([-4 4 -5 5]);

11、 hold off 請?zhí)顚懴卤恚? 實根的分布區(qū)間 該區(qū)間上根的近似值 在某區(qū)間上求根的近似值的對分法程序參見附錄1． 具體實驗2：普通迭代法 采用迭代過程：求方程在 0.5 附近的根，精確到第 4 位小數(shù)． 構(gòu)造等價方程： 用迭代公式： ， 用 Matlab 編寫的程序參見附錄2． 請利用上述程序填寫下表： 分析：將附錄2第4行中的分別改為以及，問運行的結(jié)果是什么？你能分析得到其中的原因嗎？看看下面的“具體實驗3”是想向你表達一個什么意思． 用

12、Matlab 編寫的程序參見附錄3． 具體實驗3：收斂/發(fā)散判斷 設方程的三個根近似地取，和， 這些近似值可以用上面的對分法求得． 迭代形式一： 　　 　收斂 (很可能收斂，下同) 　不收斂 (很可能不收斂，下同) 不收斂 迭代形式二： 收斂 不收斂 不收斂 迭代形式三： 　不收斂 　收斂 　收斂 具體實驗4：迭代法的加速1——松弛迭代法 ，， 迭代公式為 程序參見附錄4． 具體實驗5：迭代法的加速2——Altken迭代法 迭代公式為： ， ， 程序參見附錄5． 具體實驗6：牛頓法 用牛頓法計算方程

13、在-2到2之間的三個根． 提示：，迭代公式： 程序參見附錄6 （牛頓法程序）． 具體實驗7：其他方法 求下列代數(shù)方程（組）的解： （1） 命令：solve(x^5-x+1=0) （2） 命令：[x, y]=solve(2*x+3*y=0, 4*x^2+3*y=1) (3) 求線性方程組的解，已知， 命令： for i=1:5 for j=1:5 m(i, j)=i+j-1; end end m(5, 5)=0; b=[1:5] linsolve(m, b) 思考：若 ，或是類似的但階數(shù)更大的稀疏方陣，則應如何得到？ 四、自己動手 1．對分法可以用來求偶重根附近的近似解嗎? 為什么? 2．對照具體實驗2、4、5，你可以得出什么結(jié)論? 3．選擇適當?shù)牡^程，分別使用：（1）普通迭代法；（2）與之相應的松弛迭代法和 Altken 迭代法．求解方程 在 1.4 附近的根，精確到4位小數(shù)，請注意迭代次數(shù)的變化． 4．分別用對分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken 迭代法、牛頓切法線等5種方法，求方程 的正的近似根，．(建議取 ．時間許可的話，可進一步考慮 的情況．) 上一頁回目錄 下一頁