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1、第 30講 圖形的旋轉(zhuǎn) 浙江專用 1 旋轉(zhuǎn) 概念 把一個圖形繞著某一個點(diǎn) O轉(zhuǎn)動一定角度的圖形變換叫做 _________， 定點(diǎn) O叫做 __________________， 旋轉(zhuǎn)的角度叫 做 ____________， 如果圖形上的點(diǎn) P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn) P， 那么 這兩個點(diǎn)叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn) . 三要 素 旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度 性質(zhì) (1)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離 ________； (2)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于 ____________； (3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等 . 旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)中心 旋轉(zhuǎn)角 相等 旋轉(zhuǎn)角 2.中心對稱和中心對稱圖形 名稱
2、 中心對稱 中心對稱圖形 定義 把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ， 如果得到的圖形與原 來的圖形重合 ， 那么這兩個 圖形成中心對稱 ， 該點(diǎn)叫做 _______________ 把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ， 如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與 原圖形 ________， 那么這個 圖形叫做中心對稱圖形 ， 該 點(diǎn)叫對稱中心 性質(zhì) 中心對稱的兩個圖形 ， 對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心 ， 且被______________所平分 對稱中心 重合 對稱中心 1 在描述旋轉(zhuǎn)時 ， 必須指出它是順時針還是逆時針旋轉(zhuǎn)多少度 ， 不能 只說旋轉(zhuǎn)多少度 2 旋轉(zhuǎn)前后圖形上的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)了同
3、樣的角度 ， 對應(yīng)點(diǎn) 到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等 ， 對應(yīng)線段相等 ， 對應(yīng)角相等 要正確利用旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì) ， 抓住其中的不變量是解決問題的關(guān)鍵 在網(wǎng)格中找旋轉(zhuǎn)后的圖 形可以分部分進(jìn)行 1 (2016呼和浩特 )將數(shù)字 “ 6”旋轉(zhuǎn) 180 ， 得到數(shù)字 “ 9”， 將數(shù)字 “ 9”旋轉(zhuǎn) 180 ， 得到數(shù)字 “ 6”， 現(xiàn)將數(shù)字 “ 69”旋轉(zhuǎn) 180 ， 得到的 數(shù)字是 ( ) A 96 B 69 C 66 D 99 2 (2016湖州 )為了迎接杭州 G20峰會 ， 某校開展了設(shè)計(jì) “ YJG20”圖 標(biāo)的活動 ， 下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ( ) B
4、D 3 ( 2016 宜賓 ) 如圖 ， 在 A B C 中 ， C 90 ， AC 4 ， BC 3 ， 將 A B C 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn) ， 使點(diǎn) C 落在線段 AB 上的點(diǎn) E 處 ， 點(diǎn) B 落在點(diǎn) D 處 ， 則 B ， D 兩點(diǎn)間的距離為 ( ) A. 10 B 2 2 C 3 D 2 5 A 4 (2016賀州 )如圖 ， 將線段 AB繞點(diǎn) O順時針旋轉(zhuǎn) 90 得到線段 AB， 那么 A( 2， 5)的對應(yīng)點(diǎn) A的坐標(biāo)是 ( ) A (2， 5) B (5， 2) C (2， 5) D (5， 2) B 5 (2016溫州 )如
5、圖 ， 將 ABC繞點(diǎn) C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至 ABC， 使 點(diǎn) A落在 BC的延長線上已知 A 27 ， B 40 ， 則 ACB ____度 46 識別中心對稱圖形 【 例 1】 (2016臨夏州 )下列圖形中 ， 是中心對稱圖形的是 ( ) A 【 點(diǎn)評 】 把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 ， 如果旋轉(zhuǎn)后的圖 形能夠與原來的圖形重合 ， 這樣的圖形才是中心對稱圖形 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016內(nèi)江 )下列標(biāo)志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ( ) A 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題 【例 2 】 (1 ) ( 2 0 1 6 大連 ) 如圖 ， 將 A B C 繞點(diǎn)
6、 A 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 A DE ， 點(diǎn) C 和點(diǎn) E 是對應(yīng)點(diǎn) ， 若 C A E 90 ， AB 1 ， 則 BD ____ . 2 ( 2 ) ( 2 0 1 6 濰坊 ) 如圖 ， 在菱形 A B C D 中 ， AB 2 ， B A D 60 ， 過點(diǎn) D 作 DE AB 于點(diǎn) E ， DF BC 于點(diǎn) F. 如圖 ， 連結(jié) AC 分別交 DE ， DF 于點(diǎn) M ， N ， 求證： MN 1 3 AC ； 如圖 ， 將 EDF 以點(diǎn) D 為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn) ， 其兩邊 D E ， DF 分別與 直線 AB ， BC 相交于點(diǎn) G ， P ， 連
7、結(jié) GP ， 當(dāng) DGP 的面積等于 3 3 時 ， 求旋轉(zhuǎn)角的大小并指 明旋轉(zhuǎn)方向 證明：連結(jié) BD ， 交 AC 于 O( 圖略 ) ， 在菱形 A B C D 中 ， B A D 60 ， AD AB ， A B D 為等邊三角形 ， DE AB ， AE EB ， AB DC ， AM MC AE DC 1 2 ， 同理 ， CN AN 1 2 ， MN 1 3 AC ； 解： AB DC ， B A D 60 ， A DC 120 ， 又 A DE C D F 30 ， E DF 60 ， 當(dāng) E DF 順
8、時針旋轉(zhuǎn)時 ， 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 ， E DG FDP ， GD P E DF 60 ， DE DF 3 ， DE G DFP 90 ， 在 DE G 和 DFP 中 ， GDE P DF ， DE DF ， DE G D FP ， DE G DFP ( A S A ) ， DG DP ， DGP 為等邊三角形 ， DG P 的面積 3 4 DG 2 3 3 ， 解得 DG 2 3 ( 負(fù)值舍去 ) ， 則 c os E DG DE DG 1 2 ， E DG 60 ， 當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn) 60 時 ， D
9、 GP 的面積等于 3 3 ， 同理可得 ， 當(dāng) 逆時針旋轉(zhuǎn) 60 時 ， DG P 的面積也等于 3 3 ， 綜上所述 ， 將 E D F 以 點(diǎn) D 為旋轉(zhuǎn)中心 ， 順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 60 時 ， DG P 的面積等于 3 3 . 【 點(diǎn)評 】 掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng) 點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是 解題的關(guān)鍵 對應(yīng)訓(xùn)練 2 (1)(2015吉林 )如圖 ， 在 Rt ABC中 ， ACB 90 ， AC 5 cm， BC 12 cm， 將 ABC繞點(diǎn) B順時針旋轉(zhuǎn) 60 ， 得到 BDE， 連結(jié) DC交 AB于點(diǎn)
10、 F， 則 ACF與 BDF的周長之和為 ____cm. 42 (2)(2016婁底 )如圖 ， 將等腰 ABC繞頂點(diǎn) B逆時針方向旋轉(zhuǎn) 度到 A1BC1的位置 ， AB與 A1C1相交于點(diǎn) D， AC與 A1C1， BC1分別交于點(diǎn) E ， F. 求證： BCF BA1D； 當(dāng) C 度時 ， 判定四邊形 A1BCE的形狀并說明理由 證明： A B C 是等腰三角形 ， AB BC ， A C ， 將等腰 A B C 繞頂點(diǎn) B 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 度到 A 1 BC 1 的位置 ， A 1 B AB BC ， A A 1 C ， A 1 BD
11、 C B C 1 ， 在 B C F 與 BA 1 D 中 ， A 1 C ， A 1 B BC ， A 1 BD C B F ， B C F BA 1 D ( AS A ) 解：四邊形 A 1 B C E 是菱形 ， 將等腰 A B C 繞頂點(diǎn) B 逆時針方向旋 轉(zhuǎn) 度到 A 1 BC 1 的位置 ， A 1 A ， A DE A 1 DB ， A ED A 1 BD ， DE C 1 8 0 ， C ， A 1 ， A 1 BC 360 A 1 C A 1 EC 180
12、， A 1 C ， A 1 BC A E C ， 四邊形 A 1 B C E 是平行四邊形 ， A 1 B BC ， 四邊形 A 1 B C E 是菱形 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的作圖 【 例 3】 (2016聊城 )如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 已知 ABC的三個 頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A( 3， 5)， B( 2， 1)， C( 1， 3) (1)若 ABC經(jīng)過平移后得到 A1B1C1， 已知點(diǎn) C1的坐標(biāo)為 (4， 0)， 寫出 頂點(diǎn) A1， B1的坐標(biāo)； (2)若 ABC和 A2B2C2關(guān)于原點(diǎn) O成中心對稱圖形 ， 寫出 A2B2C2的各 頂點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)將 A
13、BC繞著點(diǎn) O按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90 得到 A3B3C3， 寫出 A3B3C3的各頂點(diǎn)的坐標(biāo) 解： (1)如圖 ， A1B1C1為所作 ， 因?yàn)辄c(diǎn) C( 1， 3)平移后的對應(yīng)點(diǎn) C1的 坐標(biāo)為 (4， 0)， 所以 ABC先向右平移 5個單位 ， 再向下平移 3個單位得 到 A1B1C1， 所以點(diǎn) A1的坐標(biāo)為 (2， 2)， B1點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3， 2)； (2)因 為 ABC和 A2B2C2關(guān)于原點(diǎn) O成中心對稱圖形 ， 所以 A2(3， 5)， B2(2， 1)， C2(1， 3)； (3)如圖 ， A3B3C3為所作 ， A3(5， 3)， B3(1， 2)，
14、 C3(3， 1) 【 點(diǎn)評 】 本題考查了坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn) 的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo) 常見的是旋轉(zhuǎn)特殊 角度如： 30 ， 45 ， 60 ， 90 ， 180 . 對應(yīng)訓(xùn)練 3 (2016廈門 )如圖 ， 在 ABC中 ， ACB 90 ， AB 5， BC 4 ， 將 ABC繞點(diǎn) C順時針旋轉(zhuǎn) 90 ， 若點(diǎn) A， B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) D， E， 畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形 ， 并求點(diǎn) A與點(diǎn) D之間的距離 (不要求尺規(guī) 作圖 ) 解：如圖 ， 在 A B C 中 ， A C B 90 ， AB 5 ， BC 4 , AC
15、3 ， 將 A B C 繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn) 90 ， 點(diǎn) A ， B 的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) D ， E ， AC CD 3 ， AC D 90 ， AD AC 2 CD 2 3 2 . 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用 【 例 4】 (2015東營 )如圖 ， 兩個全等的 ABC和 DEF重疊在一起 ， 固定 ABC， 將 DEF進(jìn)行如下變換： (1)如圖 ， DEF沿直線 CB向右平移 (即點(diǎn) F在線段 CB上移動 )， 連結(jié) AF， AD， BD.請直接寫出 S ABC與 S四邊形 AFBD的關(guān)系； (2)如圖 ， 當(dāng)點(diǎn) F平移到線段 BC的中點(diǎn)時 ， 若四邊
16、形 AFBD為正方形 ， 那么 ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明 解： ( 1 ) S A BC S 四邊形 A FBD ， 理由：由題意可得： AD EC ， 則 S A DF S A BD ， 故 S A CF S A DF S A BD ， 則 S A BC S 四邊形 A FB D ； ( 2 ) A B C 為等腰直角三角形 ， 即： AB AC ， B AC 90 ， 理由如 下： F 為 BC 的中點(diǎn) ， CF BF ， CF AD ， AD BF ， 又 AD BF ， 四邊形 AFB D 為平行四邊形 ， AB
17、AC ， F 為 BC 的中點(diǎn) ， AF BC ， 平行四邊形 AFB D 為矩形 ， B A C 90 ， F 為 BC 的中點(diǎn) ， AF 1 2 BC BF ， 四邊形 AFB D 為正方形 【 點(diǎn)評 】 本題主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)等 知識 ， 熟練應(yīng)用正方形的判定方法是解題關(guān)鍵 對應(yīng)訓(xùn)練 4 (2016天津 )在平面直角坐標(biāo)系中 ， O為原點(diǎn) ， 點(diǎn) A(4， 0)， 點(diǎn) B(0， 3) ， 把 ABO繞點(diǎn) B逆時針旋轉(zhuǎn) ， 得 ABO， 點(diǎn) A， O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為 點(diǎn) A， O， 記旋轉(zhuǎn)角為 . (1)如圖 ， 若 90 ，
18、求 AA的長； (2)如圖 ， 若 120 ， 求點(diǎn) O的坐標(biāo)； (3)在 (2)的條件下 ， 邊 OA上 的一點(diǎn) P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為 P， 當(dāng) OP BP取 得最小值時 ， 求點(diǎn) P的坐標(biāo) (直接寫出結(jié)果即可 ) 解： ( 1 ) 如圖 ， 點(diǎn) A ( 4 ， 0 ) ， 點(diǎn) B ( 0 ， 3 ) ， OA 4 ， OB 3 ， AB 3 2 4 2 5 ， A B O 繞點(diǎn) B 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 ， 得 A B O ， BA B A ， A B A 90 ， A B A 為等腰直角三角形 ， AA 2 BA 5 2 ； ( 2
19、) 作 OH y 軸于 H ， 如圖 ， A B O 繞點(diǎn) B 逆時針旋轉(zhuǎn) 120 ， 得 AB O ， BO B O 3 ， OB O 1 2 0 ， HB O 60 ， 在 Rt B HO 中 ， BO H 90 HB O 30 ， BH 1 2 B O 3 2 ， O H 3 BH 3 3 2 ， OH OB BH 3 3 2 9 2 ， O 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 3 3 2 ， 9 2 ) ； ( 3 ) A B O 繞點(diǎn) B 逆時針旋轉(zhuǎn) 120 ， 得 A B O ， 點(diǎn) P 的對應(yīng)點(diǎn)為 P ， BP
20、 B P ， O P B P OP BP ， 作 B 點(diǎn)關(guān)于 x 軸的對稱點(diǎn) C ， 連結(jié) OC 交 x 軸于 P 點(diǎn) ， 如圖 ， 則 OP BP OP PC OC ， 此時 O P BP 的值最小 ， 點(diǎn) C 與點(diǎn) B 關(guān)于 x 軸對 稱 ， C ( 0 ， 3 ) ， 設(shè)直線 OC 的 解析式為 y kx b ， 把 O ( 3 3 2 ， 9 2 ) ， C ( 0 ， 3 ) 代入得 3 3 2 k b 9 2 ， b 3 ， 解 得 k 5 3 3 ， b 3 ， 直線 O C 的解析式為 y 5 3 3 x
21、 3 ， 當(dāng) y 0 時 ， 5 3 3 x 3 0 ， 解得 x 3 3 5 ， 則 P ( 3 3 5 ， 0 ) ， OP 3 3 5 ， O P OP 3 3 5 ， 作 P D OH 于 D ， 如圖 ， BO A B O A 90 ， BO H 30 ， DP O 30 ， O D 1 2 OP 3 3 10 ， P D 3 OD 9 10 ， DH OH OD 3 3 2 3 3 10 6 3 5 ， y P P D y O 9 10 9 2 27 5 ， P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (
22、6 3 5 ， 27 5 ) 試題 如圖 ， 正方形 ABCD的頂點(diǎn) A與正三角形 AEF的頂點(diǎn) A重合 ， 將 AEF繞其頂點(diǎn) A旋轉(zhuǎn) ， 在旋轉(zhuǎn)過程中 ， 當(dāng) BE DF時 ， BAE的大小是 ________ 錯解 15 解析： 正方形 ABCD與正三角形 AEF的頂點(diǎn) A重合 ， BE DF， AB AD， AE AF， ABE ADF(SSS)， BAE FAD. EAF 60 ， BAE FAD 30 ， BAE FAD 15 . 剖析 正三角形 AEF可以在正方形的內(nèi)部 ， 也可以在正方形的外部 ， 所 以要分兩種情況分別求解 正解 15 或
23、 165 點(diǎn)撥： (1)當(dāng)正三角形 AEF在正方形 ABCD的內(nèi)部時 ， 如圖 ， 正方形 ABCD與正三角形 AEF的頂點(diǎn) A重合 ， BE DF， AB AD， AE AF， ABE ADF(SSS)， BAE FAD. EAF 60 ， BAE FAD 30 ， BAE FAD 15 ； (2)當(dāng)正三角形 AEF在正方形 ABCD的外部時 ， 如圖 ， 正方形 ABCD 與正三角形 AEF的頂點(diǎn) A重合 ， BE DF， AB AD， AE AF， ABE ADF(SSS)， BAE FAD， EAF 60 ， 2 BAE EAF 90 360 ， BAE 165 .故答案為 15 或 165 .
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