立體幾何高考真題大題

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1、立體幾何高考真題大題 1．（2016高考新課標(biāo)1卷）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （Ⅰ）證明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先證明平面,結(jié)合平面,可得平面平面．（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角． 試題解析：（Ⅰ）由已知可得,,所以平面． 又平面,故平面平面． （Ⅱ）過(guò)作,垂足為,由（Ⅰ）知平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方

2、向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由（Ⅰ）知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,． 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可?。? 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可?。畡t． 故二面角的余弦值為． 考點(diǎn)：垂直問(wèn)題的證明及空間向量的應(yīng)用 【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題第一問(wèn)通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理

3、片面,該類題目難度不大,以中檔題為主．第二問(wèn)一般考查角度問(wèn)題,多用空間向量解決． 2．（2016高考新課標(biāo)2理數(shù)）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故． 因此，從而．由,得． 由得．所以，． 于是，， 故． 又，而， 所以． （Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即， 所

4、以可以?。O(shè)是平面的法向量，則， 即， 所以可以?。谑?， ． 因此二面角的正弦值是． 考點(diǎn)：線面垂直的判定、二面角． 【名師點(diǎn)睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 3．（2016高考山東理數(shù)）在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線． （Ⅰ）已知G,H

5、分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB=AC=，AB=BC．求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行；（Ⅱ）立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，其中解法一建立空間直角坐標(biāo)系求解；解法二則是找到為二面角的平面角直接求解． 試題解析： （Ⅰ）證明：設(shè)的中點(diǎn)為,連接, 在,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以 又所以 在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以， 又,所以平面平面， 因?yàn)槠矫?，所以平面? （Ⅱ）解法一： 連接,則平面， 又且是圓的直徑，所以

6、 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意得，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 所以 可得 故． 設(shè)是平面的一個(gè)法向量． 由 可得 可得平面的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量 所以． 所以二面角的余弦值為． 解法二： 連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 則有, 又平面， 所以FM⊥平面ABC, 可得 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接， 可得, 從而為二面角的平面角． 又,是圓的直徑， 所以 從而，可得 所以二面角的余弦值為． 考點(diǎn)：1．平行關(guān)系；2．異面直線所成角的計(jì)算． 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題．解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與

7、平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，給出規(guī)范的證明．立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法．本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等． 4．（2016高考天津理數(shù)）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2． （Ⅰ）求證：EG∥平面ADF； （Ⅱ）求二面角O-EF-C的正弦值； （Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 試題

8、分析：（Ⅰ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行論證（Ⅱ）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)關(guān)系求正弦值（Ⅲ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值 試題解析：依題意，，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，． （Ⅰ）證明：依題意，．設(shè)為平面的法向量，則，即 ．不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以． （Ⅱ）解：易證，為平面的一個(gè)法向量．依題意

9、，．設(shè)為平面的法向量，則，即 ．不妨設(shè)，可得． 因此有，于是，所以，二面角的正弦值為． （Ⅲ）解：由，得．因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此．所以，直線和平面所成角的正弦值為． 考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題 5．（2016年高考北京理數(shù)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，． （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在， 【解析】 試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取

10、的中點(diǎn)，連結(jié)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值． 試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，? 所以平面，所以， 又因?yàn)?，所以平面? （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 因?yàn)?，所以? 又因?yàn)槠矫?，平面平面? 所以平面． 因?yàn)槠矫?，所以? 因?yàn)椋裕? 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得， ． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，則． 所以． 又，所以． 所以直線與平面所成角的正弦值為． （3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得． 因此點(diǎn)． 因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，

11、 即，解得． 所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí)． 考點(diǎn)：1．空間垂直判定與性質(zhì)；2．異面直線所成角的計(jì)算；3．空間向量的運(yùn)用． 【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直（必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系），構(gòu)造（尋找）二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等． 6．（2016高考新課標(biāo)3理數(shù)）如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)． （Ⅰ）證明平面； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，

12、然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求直線的方向向量與平面法向量的夾角來(lái)處理與平面所成角． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，． 又，故，四邊形為平行四邊形，于是． 因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面? （Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意知，，，，， ，，． 設(shè)為平面的法向量，則，即，可取， 于是． 考點(diǎn)：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積． 【技巧點(diǎn)

13、撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線線平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理． 7．（2016高考浙江理數(shù)）如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3． （Ⅰ）求證：EF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先證，再證，進(jìn)而可證平面；（Ⅱ）方法一：先找二面角的平面角，再在中計(jì)算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空

14、間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而可得二面角的平面角的余弦值． 試題解析：（Ⅰ）延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，如圖所示． 因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以? 平面，因此， ． 又因?yàn)?，，，所? 為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則 ． 所以平面． （Ⅱ）方法一： 過(guò)點(diǎn)作，連結(jié)． 因?yàn)槠矫妫?，則平面，所以． 所以，是二面角的平面角． 在中，，，得． 在中，，，得． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 方法二： 如圖，延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形． 取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以，平面． 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線，的方向?yàn)?，的正方向? 建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意

15、得 ，，， ，，． 因此， ，，． 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為． 由，得，??； 由，得，取． 于是，． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角． 【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線． 8．（2016年高考四川理數(shù)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90． （Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一

16、點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點(diǎn)；（Ⅱ）求線面角，可以先找到這個(gè)角，即作出直線在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出線面角（通過(guò)平面的法向量與直線的方向向量的夾角來(lái)求得）． 試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行． 延長(zhǎng)AB，DC，相

17、交于點(diǎn)M（M∈平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC=ED． 所以四邊形BCDE是平行四邊形．，所以CD∥EB 從而CM∥EB． 又EB平面PBE，CM平面PBE， 所以CM∥平面PBE． （說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)） （Ⅱ）方法一： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD． 從而CD⊥PD． 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角． 所以∠PDA=45． 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2． 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接

18、PH． 易知PA⊥平面ABCD， 從而PA⊥CE． 于是CE⊥平面PAH． 所以平面PCE⊥平面PAH． 過(guò)A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE． 所以∠APH是PA與平面PCE所成的角． 在Rt△AEH中，∠AEH=45，AE=1， 所以AH=． 在Rt△PAH中，PH== ， 所以sin∠APH= =． 方法二： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD． 于是CD⊥PD． 從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角． 所以∠PDA=45． 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD． 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD

19、=2． 作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0）， 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2） 設(shè)平面PCE的法向量為n=（x,y,z）， 由 得 設(shè)x=2，解得n=（2,-2,1）． 設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα= = ． 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 ． 考點(diǎn)：線線平行、線面平行、向量法． 【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力．證

20、明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過(guò)面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫(xiě)全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角．另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可． 9．（2016高考上海理數(shù)）將邊長(zhǎng)為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)。 （1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成的角的大小。 【答案】（

21、1）．（2）． 【解析】 試題分析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑． 確定．計(jì)算后即得． （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，根據(jù)，知或其補(bǔ)角為直線與所成的角．確定，．得出． 試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑． 由的長(zhǎng)為，可知． ， ． （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，則， 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角． 由長(zhǎng)為，可知， 又，所以， 從而為等邊三角形，得． 因?yàn)槠矫?，所以? 在中，因?yàn)?，，，所以? 從而直線與所成的角的大小為． 考點(diǎn)：1．幾何體的體積；2．空間的角． 【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題．解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題．立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法．本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等．