FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

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1、第六章第 1講 1 第六章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR數(shù)字濾波器的等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 2 1 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 【 問(wèn)題的引入 】 IIR數(shù)字濾波器 優(yōu)點(diǎn) ：能借助模擬濾波器已有成果設(shè)計(jì)； 簡(jiǎn)單方便 缺點(diǎn) ：相位非線性 FIR數(shù)字濾波器 優(yōu)點(diǎn) ：嚴(yán)格線性相位；系統(tǒng)十分穩(wěn)定（傳輸 函數(shù)為全零點(diǎn)型）；進(jìn)行濾波時(shí)可采用 FFT 缺點(diǎn) ：幅度特性較差；設(shè)計(jì)繁瑣 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 3 1 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 線性相位特性 設(shè) FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為實(shí)序列 （長(zhǎng)

2、度為 N）， 則其 Z變換為： 1 0 )()( N n nznhzH )(nh 顯然為關(guān)于 的 N-1階多項(xiàng)式，它在 Z平面上有 N-1個(gè) 零點(diǎn)、在原點(diǎn)有 N-1個(gè)重極點(diǎn)。 1z 由第四章第 3節(jié)知，若 滿(mǎn)足下面的 “ 偶對(duì)稱(chēng) ” 或 “ 奇對(duì)稱(chēng) ” 條件： 則 FIR濾波器將具有嚴(yán)格的 線性相位特性 。 )(nh )1()( )1()( nNhnh nNhnh 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 4 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 下面推導(dǎo) FIR濾波器的線性相位特性 偶對(duì)稱(chēng)情形 )1()( nNhnh n N n n N n znNhznhzH 1 0 1 0 )1()()( n N n NnN

3、 N n znhzznh 1 0 )1()1( 1 0 )()( )()( 1)1( zHzzH N 2 1 )( )( 2 1 )()( 2 1 )( ) 2 1 () 2 1 ( 1 0 2/)1( )1( 1 0 1)1( N n N n N n N nNn N n N zznhz zzznhzHzzHzH 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 5 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) ) 2 1 (c o s )( |)()( 1 0 ) 2 1 ( N nnhe zHeH N n N j ez j j 其求和項(xiàng)全為實(shí)數(shù) )()()( jj eHeH 即的形式和幅度函數(shù)表示成相位函數(shù)將 ,)()()(

4、 HeH j ) 2 1 ()( ) 2 1 (c os )()( 1 0 N N nnhH N n 則： 顯然： 幅度函數(shù)是標(biāo)量函數(shù)，可正可負(fù)；相位函數(shù)是 的 線性函數(shù)，且通過(guò)原點(diǎn)，即具有嚴(yán)格的線性相位特性 。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 6 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 奇對(duì)稱(chēng)情形： )1()( nNhnh n N n n N n znNhznhzH 1 0 1 0 )1()()( n N n NnN N n znhzznh 1 0 )1()1( 1 0 )()( )()( 1)1( zHzzH N )( 2 1 )()( 2 1 )( 2 1 ) 2 1 ( 1 0 ) 2 1 ( 1

5、)1( N n N n N n N N zznhz zHzzHzH 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 7 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 1 0 2 ) 2 1 ( 1 0 ) 2 1 ( ) 2 1 (s i n )( ) 2 1 (s i n )()( N n N j N n N j j N nnhe N nnhjeeH 顯然： 相位特性同樣為一 嚴(yán)格的直線，但在零點(diǎn)處 有 的截距。 2 2 ) 2 1 ()( ) 2 1 (s i n )()( 1 0 N N nnhH N n 則： 幅度特性 相位特 性 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 8 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 2 1)()( N d

6、d 即群延時(shí) 結(jié)論： 無(wú)論是奇對(duì)稱(chēng)或偶對(duì)稱(chēng)，其群延時(shí)均為常數(shù)， 等于 個(gè)抽樣間隔。 2 1N 線性相位 FIR濾波器的幅頻特性 分四種情況討論 情形 1：偶對(duì)稱(chēng)， N取奇數(shù) ) 2 1(c o s ) 2 11(c o s )1()( NnNnN nNhnh 且 中幅度特性 1 0 )2 1(c o s )()( N n NnnhH 的各項(xiàng)相對(duì)于 對(duì)稱(chēng)的項(xiàng)相等。 2/)1( N 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 9 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 將相等項(xiàng)合并，因 N為奇數(shù)，余中間項(xiàng) )2 1( Nh 2/)3( 0 1 0 ) 2 1 (c os )(2) 2 1 ( ) 2 1 (c os )(

7、)( N n N n N nnh N h N nnhH 令 ，則： nNm 2 1 2/)1( 1 c o s)2 1(2)2 1()( N m mmNhNhH 改換 記 法 2/)3( 0 c o s)()( N n nnaH 2/)1()0( Nha 2/)1(,2,1,2/)1(2)( NnnNhna 其中 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 10 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 該類(lèi)濾波器適合于設(shè)計(jì)任何關(guān)于 為偶對(duì)稱(chēng) 特性頻率的濾波器。 2,0 ， 對(duì) 皆為偶對(duì)稱(chēng)，所以幅度函數(shù) 對(duì) 也是偶對(duì)稱(chēng)。 2,0 ， 2,0 ， ncos )(H 情形 2：偶對(duì)稱(chēng)， N取偶數(shù) 12/ 0 )2 1(c

8、o s )(2)( N n NnnhH 則 與 情形 1推導(dǎo)相同 N為偶數(shù)， 余項(xiàng) 0)2 1( Nh 令 ，得： mNn 2 2/ 1 )21(c o s )2(2)( N m mmNhH 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 11 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 改 換 記 法 2/ 1 )21(c o s )2(2)( N m mmNhH 2/ 1 )21(c o s )()( N n nnbH 其中 2,2,1),2(2)( NnnNhnb 因此這種情況不適合做在 處不等于零的濾波 器，如高通濾波器。 特點(diǎn)： 當(dāng) 時(shí)， ，故 ， 即 在 z = -1 為零點(diǎn)，且由于 對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)，因而 對(duì) 也呈

9、奇對(duì)稱(chēng)。 0) 2 1(c o s m )(H 0)( H )(zH )21(c os m 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 12 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 情形 3：奇對(duì)稱(chēng)， N為奇數(shù) 上式表明，當(dāng) 時(shí)， ，相當(dāng)于 在 z =1和 z = -1有兩個(gè)零點(diǎn)，并且由于 對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)，因而 對(duì) 也呈奇對(duì)稱(chēng)。 2,0 )(H 0)( H )(zH )sin( n 2,0 2,0 這種情況不適合做在 處為偶對(duì)稱(chēng)的濾 波器，如低通和高通濾波器。 2,0 推導(dǎo)方法與前面類(lèi)似，可得： 2 1 ,2,1), 2 1 (2)( )s i n ()()( 2/)1( 1 N nn N hnc nncH N n 對(duì)

10、 為奇對(duì)稱(chēng)， 2 1N 0) 2 1( Nh)(nh 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 13 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) 情形 4：奇對(duì)稱(chēng)， N為偶數(shù) 2 ,2,1), 2 (2)( ) 2 1 s i n ()()( 2/ 1 N nn N hnd nndH N n 這種情況不適合做在 處為偶對(duì)稱(chēng)的濾波 器，如低通濾波器。 2,0 上式表明：當(dāng) 時(shí)， ，相當(dāng)于 在 z=1處有一個(gè)零點(diǎn)；并且由于 對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)、對(duì) 呈偶對(duì)稱(chēng)，因而 也對(duì) 呈奇對(duì)稱(chēng)、對(duì) 呈偶對(duì)稱(chēng)。 2,0 )(H 0)( H )(zH )2/1s in ( n 2,0 2,0 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 14 FIR數(shù)字濾波

11、器的性質(zhì) 下表給出了上述 4種類(lèi)型的線性相位濾波器的 相位響應(yīng) 、 時(shí) 域幅度響應(yīng) 和 頻域幅度響應(yīng) 的示意圖。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 15 線性相位 FIR濾波器的零點(diǎn)特性 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) )()( 1)1( zHzzH N 偶對(duì)稱(chēng)取 “ ” 奇對(duì)稱(chēng)取 “ ” 設(shè) 是 的零點(diǎn)， iz )(zH 0)()( 1)1( iNii zHzzH 1iz 則 也是 的零點(diǎn)。 )(zH 當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)， 為實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，此時(shí) 應(yīng) 是共軛成對(duì)的，則 也是零點(diǎn)。 iz iz )(nh )(zH 對(duì)于一個(gè)實(shí)線性相位 FIR濾 波器，其零點(diǎn)相對(duì)于單位圓鏡 像共軛成對(duì)。 版權(quán)所有 違者必究

12、第六章第 1講 16 FIR數(shù)字濾波器的性質(zhì) FIR濾波器的性能特點(diǎn) FIR濾波器的主要優(yōu)點(diǎn) FIR濾波器能?chē)?yán)格做到線性相位或群延時(shí)為常數(shù)，而 IIR濾波器只能逼近線性相位； FIR濾波器是全零點(diǎn)型濾波器，總是穩(wěn)定的，不會(huì)因 濾波運(yùn)算的舍入誤差而產(chǎn)生極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。 對(duì)同樣幅度相應(yīng)的濾波器，用 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)比用 IIR濾波器實(shí)現(xiàn)需要較高的節(jié)數(shù)，多達(dá) 5-10倍。 當(dāng)濾波器的特性要求較高時(shí)，用 FIR濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)， 濾波過(guò)程需要較多的計(jì)算時(shí)間。 FIR濾波器的主要缺點(diǎn) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 17 2 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 1 0 )()( N n nznhzH jezj

13、 zHeH |)()( )( jd eH 設(shè)濾波器要求的理想頻響特性為 , 則 FIR濾波器 的設(shè)計(jì)問(wèn)題就在于： 尋求某一系統(tǒng)函數(shù) ，使該系統(tǒng)頻 響特性 逼近 ；若要求 FIR濾 波器具有 線性相位特性 ，則 必須滿(mǎn)足上節(jié)所述的 奇對(duì)稱(chēng)或偶對(duì)稱(chēng)條件。 )( jd eH )(nh “線性相位 FIR濾波器”的常用設(shè)計(jì)方法 窗函數(shù)法（傅立葉級(jí)數(shù)法） 、 頻率采樣法 、 等波紋最 佳逼近法 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 18 窗函數(shù)設(shè)計(jì)的基本方法 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 1、設(shè)計(jì)思想 在時(shí)域，設(shè)計(jì) 逼近理想 )(nh d)(nh設(shè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 ，則： deeHnh enhe

14、H jnj dd jn n d j d )( 2 1 )( )()( )(nhd 若 給定，即可求得 。但所求得的 為無(wú)限長(zhǎng)且非因果。 )(nhd)( jd eH )(nhd 顯然： 要得到一個(gè) “因果的有限長(zhǎng)的濾波器 ” ， 最直接的方法是截?cái)?，即用一個(gè)窗口函數(shù) 對(duì) 進(jìn)行加窗處理，也就是： )(nhd)(nh d )(nw )(nh )()()( nwnhnh d 選擇窗口函數(shù)的形狀和長(zhǎng)度 是窗函數(shù)法的關(guān)鍵。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 19 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 下面以理想低通濾波器為例說(shuō)明其設(shè)計(jì)過(guò)程 deenh c c njaj d 2 1)( an an an an

15、c c )( )(s in 為一 “ 以 為對(duì)稱(chēng)中心的、偶對(duì)稱(chēng)的、無(wú)限長(zhǎng)的、 非因果序列 ” 。 設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 為： c c aj j d eeH 0)( )( jd eH 其中 為濾波器的 截止頻率 ； 為 時(shí) 延常數(shù) 單位脈沖響應(yīng)為： c a a 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 20 理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗截取 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 21 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 2/)1( )()()( Na nRnhnh Nd 要得到有限長(zhǎng)的 ，最簡(jiǎn)單的方法是用一長(zhǎng)為 的矩 形窗 截?cái)?。 )(nh N )()( nRnw N )(nhd 2/)1(

16、Na 按照線性相位濾波器的要求， 必須偶對(duì)稱(chēng)，如上圖。 對(duì)稱(chēng)中心必須等于濾波器的延時(shí)常數(shù) )(nh 2、吉布斯（ Gibbs）效應(yīng) 頻率響應(yīng)是單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換 矩形窗截取后濾波器的頻率響應(yīng)為： jn d N n j enheH )()( 1 0 該式為有 限項(xiàng)， N越大，誤差越 小。但對(duì)矩形窗截 取還存在 “ 吉布斯 （ Gibbs）效應(yīng) ” ， 這將使濾波器的特 性很差。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 22 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 下面從頻域卷積的角度來(lái)分析由矩形窗所求得的濾波器的頻率響應(yīng) deWeHeH jjdj )()(2 1)( )( 復(fù)卷積定理 )()()( nw

17、nhnh d W eR j( ) j NjN n jn N j R e eenReW 1 1)()( 1 0 則 )2/s in ( )2/s in (2 1 Ne Nj jR eW )( 設(shè)矩形窗的頻率響應(yīng)為 )2/s in ( )2/s in ()( NW R 其中 為矩形窗的幅度響應(yīng) 。如下圖 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 23 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 主瓣 旁瓣 旁瓣 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 24 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 jdjd eHeH )()( c c dH 0 1)(則 H ed j( )將理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 表示為： deWeHeH jRj

18、dj )()()(2 1)( dWHe Rdj )()(2 1 H( ) )( jeH dWHH Rd )()(2 1)( 若用 代表所設(shè)計(jì)的低通濾波器 的幅度響應(yīng)，則 : 可見(jiàn)： 設(shè)計(jì)的濾波器的幅度響應(yīng)是矩形窗函數(shù)的幅度響 應(yīng)與理想低通濾波器的幅度響應(yīng)的卷積 （過(guò)程見(jiàn)下圖） 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 25 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 矩形窗的卷積過(guò)程 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 26 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 加矩形窗處理后，對(duì)理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生了以下兩點(diǎn)影響： 使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn) =c 處，形成了一個(gè) 過(guò) 渡帶 ，過(guò)渡帶的寬度等于矩形窗的頻率響應(yīng) WR()的主 瓣

19、寬度 = 4/N 在截止頻率 c的兩邊 =c 2/N 處（即過(guò)渡帶 的兩邊）， H()出現(xiàn) 最大的肩峰值 ，肩峰的兩側(cè)形成起 伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的 快慢，則取決于 WR()波動(dòng)的快慢。 若增加截取長(zhǎng)度 N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為： W N N N xxR ( ) s i n ( / )s i n ( / ) s i n ( / )/ s i n 22 22 隨著 x加大，函數(shù)曲線波動(dòng)的頻率加快，主瓣幅度加高，旁 瓣幅度也同樣加高，主瓣與旁瓣的相對(duì)比例保持不變。 這個(gè)相對(duì)比例由 sinx/x決定 , 即由矩形窗函數(shù)的形狀決定。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講

20、 27 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 因而，當(dāng)長(zhǎng)度 N增加時(shí)，只會(huì)減小過(guò)渡帶寬 (4/N )，而不會(huì) 改變肩峰的相對(duì)值。 在矩形窗情況下，最大相對(duì)肩峰值為 8.95%， N增加時(shí)， 4/N減小，起伏振蕩變密，但最大肩峰則總是 8.95%， 這就是吉布斯 (Gibbs)效應(yīng) 。 wn( ) h nd ( ) 由于窗譜肩峰的存在，影響到 H()通帶的平坦和阻帶的 衰減，使阻帶最小衰減只有 21dB左右，因此在實(shí)際中，矩 形窗很少采用。 為了消除吉布斯效應(yīng)，取得較好頻率特性，一般采用其 他類(lèi)型的窗函數(shù) ，對(duì) 進(jìn)行加窗處理。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 28 常用窗函數(shù) FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)

21、計(jì)方法 1、三角形窗 (Bartlett Window) 1 2 1 , 1 2 2 2 1 0, 1 2 )( Nn N N n N n N n nw )4/s in ( )4/s in (2)( NNNeW j 其頻率響應(yīng)為： 主瓣寬度為： N/8 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 29 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 )()12c o s (121)( nRN nnw N ) 1 2 () 1 2 (25.0)(5.0)( )( ) 1 2 () 1 2 (25.0)(5.0)( ) 2 1 ( N W N WWW eW e N W N WWeW RRR aj N j RRR j 其頻率

22、響應(yīng) 和幅度響應(yīng) 分別為： )( jeW )(W 是三項(xiàng)矩形窗的幅度響應(yīng) 的移位加權(quán)和，它 使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩 形窗的主瓣加寬了一倍，為 N/8 )(W )(RW 2、漢寧 (Hanning)窗，又稱(chēng)升余弦窗 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 30 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 )()12c o s (46.054.0)( nRN nnw N 其幅度響應(yīng)為： 同漢寧窗的主瓣寬度 相同，但旁瓣幅度更小， 旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1% N/8 )12()12(23.0)(54.0)( NWNWWW RRR 3、漢明 (Hamming)窗，又稱(chēng)改進(jìn)的升余弦窗 版權(quán)所有

23、 違者必究 第六章第 1講 31 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 )()14c o s (08.0)12c o s (5.042.0)( nRN nN nnw N ) 1 4 () 1 4 (04.0 ) 1 2 () 1 2 (25.0)(42.0)( N W N W N W N WWW RR RRR 其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量， 幅度響應(yīng)為： 通過(guò)加入余弦的二次諧波分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但 其主瓣寬度變?yōu)?N/12 4、布萊克曼 (Blankman)窗，又稱(chēng)二階升余弦窗 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 32 下圖為 N=31時(shí)， 矩形窗 、 三角窗 、 漢寧窗 、 漢明窗 及

24、布萊 克曼 這 5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 33 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 下圖為 N=51時(shí) 矩形窗 、 漢寧窗 、 漢明窗 及 布萊克曼 4種窗口 函數(shù)的幅度響應(yīng) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 34 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 下圖為 N=5時(shí)用 矩形窗 、 漢寧窗 、 漢明窗 及 布萊克曼 設(shè)計(jì)的 低通濾波器的幅度響應(yīng) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 35 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 5、凱澤 (Kaiser)窗 10, )( )1/(211( )( 0 2 0 Nn I NnI nw 是一個(gè)可選參數(shù)，用 來(lái)

25、選擇主瓣寬度和旁瓣 衰減之間的交換關(guān)系， 一般說(shuō)來(lái)， 越大 ,過(guò) 渡帶越寬，阻帶越小衰 減也越大。 2 1 0 )2(! 11)( k k x kxI I0()是第一類(lèi)修正零階 貝塞爾函數(shù) 一般取 1525項(xiàng)就可滿(mǎn) 足精度要求。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 36 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 若阻帶最小衰減表示為 As=-20lgs， 的確定可采用以下經(jīng) 驗(yàn)公式： 50)7.8(1 1 0 2.0 5021)21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0 210 4.0 ss sss s AA AAA A 凱 澤 窗 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 37 FIR濾波器的窗函

26、數(shù)設(shè)計(jì)方法 濾波器通帶和阻帶波紋相等即 p =s時(shí)，濾波器節(jié)數(shù)可 通過(guò)下式確定： 22 1 36.14 95.7l o g20 10 ps p F F N 式中 p、 s分別為數(shù)字低通濾波器的通帶邊頻與阻帶邊頻 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 38 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 幾種常用的理想濾波器 1、理想高通濾波器 an an an an nh e eH c HP c c aj j HP 1 )( )(s i n )( 00 )( 頻率響應(yīng)： 單位脈沖響應(yīng)： 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 39 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 an an an an an an nh e eH cc

27、 cc BP cc cc aj j BP 12 12 11 12 )( )(s i n )( )(s i n )( ,00 )( 頻率響應(yīng)： 單位脈沖響應(yīng)： 2、理想帶通濾波器 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 40 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 an an an an an an an an nh e eH cc cc BP cc cc aj j BP 12 12 12 11 1 )( )(s i n )( )(s i n )( )(s i n )( 0 ,0 )( 頻率響應(yīng)： 單位脈沖響應(yīng)： 3、理想帶阻濾波器 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 41 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 hn

28、( )和低通時(shí)的情況一樣，為了得到有限長(zhǎng)的 ， wn( ) )(nh d 需用一長(zhǎng)為 N的窗函數(shù) 截?cái)?。 hn( ) 2/)1( N 按照線性相位濾波器的要求， 必須是偶對(duì)稱(chēng)的， 并且濾波器的時(shí)延常數(shù) 1)( H )( 因線性相位濾波器的幅度響應(yīng)為： 相位響應(yīng)為： 同時(shí)為了保證高通、帶阻濾波器的可實(shí)現(xiàn)性， N必須為 奇數(shù)，這樣 ,就必須為整數(shù) . 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 42 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 0 2 0 2)( jjd e f ejeH )( 頻率響應(yīng)： |)(| jd e f eH幅度響應(yīng)： 相位響應(yīng)： 4、理想線性相位線性差分濾波器 由于線性差分濾波器的幅度隨頻

29、率作線性變化，在 w=0 處為奇對(duì)稱(chēng)。 為實(shí)現(xiàn)線性相位的特性，其單位脈沖響應(yīng) 為奇對(duì)稱(chēng)且節(jié)數(shù) N為奇數(shù)。即： n n nnh n d e f 0 )( )1( )( 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 43 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 00)( j jeH j 為奇數(shù) 為偶數(shù) n n n n nh n 2 0)1(1 )( 希爾伯特變換 器的頻率響應(yīng)： 單位脈沖響應(yīng)： 5、理想線性相位希爾伯特（ Hilbert）變換器 N 12 對(duì)于 的有限長(zhǎng) N的實(shí)現(xiàn)，為了獲得線性相位的特性， 其單位脈沖響應(yīng)必須具有 的延時(shí)，為了保證 為 整數(shù)， N必須奇數(shù) 。 )(nh 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1

30、講 44 為奇數(shù) 為偶數(shù) )( )( 2 )(0 )( )1(1 )( n n n n nh n 0 2 0 2)( 此時(shí)實(shí)際的相位響應(yīng)為： FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 45 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 窗函數(shù)法小結(jié)與實(shí)例 H ed j( ) H ed j( ) 0 2 nkMjkMj d M k M eeHMnh 221 0 )(1)( h nd( )若得不到 封閉式或不能用上式計(jì)算 時(shí)，可對(duì) 在 到 間等間隔采樣 M，用下式代替上 式的積分 deeHnh njjdd )()( 2 1 利用窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR濾波器的過(guò)程可總結(jié)如下： 利用 ， 由給定的

31、濾波器的幅頻響應(yīng)參數(shù)求出理想的單位脈沖 響應(yīng) 。 )(nh d 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 46 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)方法 )(nhM當(dāng) M足夠大時(shí)，就可保證 能足夠好的逼近 h nd( ) h nd( ) )()()( nRrMnhnh Md r M )(nhM按照頻率采樣定理， 與 的關(guān)系為： ssA lg20 )(nw AN 按允許的過(guò)渡帶寬度 及阻帶衰減 ， 選擇合適的窗函數(shù) ，并估計(jì)節(jié)數(shù) N： 其中 A由窗函數(shù)的類(lèi)型決定。 2 1 N 確定延時(shí)值 （即濾波器的對(duì)稱(chēng)中心） )()()( nwnhnh d 求 jnN n j enheH )()( 1 0 必要時(shí)驗(yàn)算頻率響應(yīng)：

32、 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 47 典 型 例 題 例 1 設(shè)計(jì)一線性相位 FIR數(shù)字低通濾波器 ,截止頻率 ，過(guò)渡帶寬度 ，阻帶衰減 dB。 2.0c 4.0 40sA 解： )( )(s i n 2 1)( n ndeenh cjnj d c c )(nw 選擇窗函數(shù) ，估計(jì)節(jié)數(shù) N。僅從要求阻帶衰減 40sA dB來(lái)說(shuō)，可選擇 漢寧窗 、 海明窗 、 布拉克曼窗 或 凱塞窗 等，若再考慮從濾波器節(jié)數(shù)最小的原則出 發(fā)，可選擇 漢寧窗 或 海明窗 。 204.0 8 AN 38.0218 亦可取 N=21，這時(shí)實(shí)際的過(guò)渡帶寬將為： 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 48 典 型 例

33、 題 102 1 N 確定延時(shí)值 )()()( nwnhnh hd )12c os (121 N n )( )(s in n nc )(nRN )10(2 )10(2.0s i n )1.0c o s (1 n nn )(21 nR )(nwh 采用漢寧窗 ，求得： jnN n j enheH )()( 1 0 求頻率響應(yīng) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 49 典 型 例 題 顯然： 在通帶范圍內(nèi)其相位為 線性相位 的； 在阻帶，濾波器滿(mǎn)足了所要求的衰減特性。 幅 頻 響 應(yīng) 相 頻 響 應(yīng) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 50 例 2 典 型 例 題 用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)一線性相位 FI

34、R數(shù)字高通濾波器， 截止頻率 ，阻帶邊頻 ，外阻帶 衰減 不小于 60 dB。 6.0c 3.0c sA dBA s 60 6533.5)7.8(1102.0 sA 15.02 3.022 psF 26136.14 95.7lo g20 10 FN p 確定節(jié)數(shù) N ，由式（ 6 2 16），可 求得： 再 求得節(jié)數(shù) N： 對(duì)于高通濾波器， N必須為奇數(shù)，故取 N=27 解： 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 51 132/)1( N 確定延時(shí)值 26,1,0 131 13 )13( )13(s i n )13( )13(s i n )( n n n n n n n nh c c HP 計(jì)算

35、理想高通的單位脈沖響應(yīng) : )()()( nwnhnh kd 求高通數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)： )(nwk 計(jì)算凱塞窗函數(shù) ，將所求 和 N值代入下式即可 10, )( )1/(211()( 0 2 0 Nn I NnInw k 典 型 例 題 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 52 典 型 例 題 幅 頻 響 應(yīng) 相 頻 響 應(yīng) 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 53 例 3 典 型 例 題 分別用矩形窗和布拉克曼窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位的 希爾伯特變換器，取 N=29。 )()()( nwnhnh d 142/)1( N解 ： 計(jì)算對(duì)稱(chēng)中心： )(nhd 按式（ 6-2-9）計(jì)算理想 希爾伯特變換 器的 單位脈沖響應(yīng) 計(jì)算實(shí)際 希爾伯特變換 器的單位脈沖響應(yīng) 14 分別取矩形窗和按式（ 6-2-14a）計(jì)算關(guān)于 對(duì)稱(chēng)的按布拉克曼窗； 從以上的分析和例子可見(jiàn)窗口法設(shè)計(jì)的最大優(yōu)點(diǎn)是十分簡(jiǎn)單實(shí) 用，其頻域特性容易滿(mǎn)足要求。 缺點(diǎn)是在大多數(shù)情況，設(shè)計(jì)所得的頻響的邊界頻率往往不能?chē)?yán) 格控制，同時(shí)等波紋最佳設(shè)計(jì)相比，由窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器 長(zhǎng)度往往較大。 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 54 典 型 例 題 用矩形窗設(shè)計(jì)的希爾伯特變換器（ N=29） 版權(quán)所有 違者必究 第六章第 1講 55 用布拉克曼窗設(shè)計(jì)的希爾伯特變換器（ N=29） 典 型 例 題